機(jī)器視覺(jué)應(yīng)用實(shí)例第二章

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1、,,,,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,,,,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,,,,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,,,,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,,,,,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,,,*,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,第二章 空間幾何變換與攝像機(jī)模型,,2.

2、1 空間幾何變換,,2.2 幾何變換的不變量,,2.3 歐式空間的剛體變換,,2.4 攝像機(jī)透視投影模型,,2.5 攝像機(jī)透視投影近似模型,空間幾何變換與計(jì)算機(jī)視覺(jué)有著密切的關(guān)系，是計(jì)算機(jī)視覺(jué)的重要數(shù)學(xué)工具之一！,,2.1 空間幾何變換,空間幾何變換描述的是空間幾何從一種狀態(tài)按照一定的原則轉(zhuǎn)換到另一種狀態(tài),2.1.1 齊次坐標(biāo),齊次坐標(biāo)：,所謂齊次坐標(biāo)就是用n+1維矢量表示一個(gè)n維矢量。n維空間中點(diǎn)的位置矢量用非齊次坐標(biāo)表示時(shí)，具有n個(gè)坐標(biāo)分（P,1,,P,2,,...,P,n,)，且是唯一的。若用齊次坐標(biāo)表示時(shí)，此矢量有n+1個(gè)坐標(biāo)矢量（hP,1,,hP,2,,...,hP,n,,h)，且不

3、是唯一。,例：,若二維點(diǎn)（x,y）的齊次坐標(biāo)表示為（hx,hy,h）,則（h,1,x,h,1,y,h,1,)，(h,2,x,h,2,y,h,2,)，...，（h,m,x,h,m,y,h,m,)都表示二維空間中同一點(diǎn)（x,y)的齊次坐標(biāo)。,,為什么要使用齊次坐標(biāo)？,齊次坐標(biāo)的,優(yōu)越性,有以下兩點(diǎn),：,1、提供了用矩陣運(yùn)算二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效方法。,2、可以表示無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,例：n+1維中，h=0的齊次坐標(biāo)實(shí)際上表示了一個(gè)n維的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,,2.1.2 射影變換（projective transformation),射影變換是一個(gè)最為廣義的線性變換,一

4、維射影變換,如右圖所示：過(guò)O點(diǎn)的直線束分別交直線L,1,與L,2,于A,B,C,D和A',B',C',D'。對(duì)于L,1,上的任意一點(diǎn)，例如，點(diǎn)A，總可以在L,2,上找到與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A'，A'為OA射線與L,2,的交點(diǎn)。,當(dāng)OA與L,2,平行時(shí)，則定義OA與,,L,2,的交點(diǎn)A'為L(zhǎng),2,上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,實(shí)際上這種幾何關(guān)系給出了L,1,與L,2,之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的變換，稱之為,一維中心射影變換,。,以上兩個(gè)中心射影變換的積就表示了L,1,到L,3,之間的變換關(guān)系，于是我們就稱,由有限次中心射影變換的積定義的兩條直線間的一一對(duì)應(yīng)變換為,一維射影變換,。,,同樣，L2上的點(diǎn)列A',B',C',D'

5、又可以通過(guò)以另一點(diǎn)O'為中心的一維中心射影變換為L(zhǎng)3上的點(diǎn)列A'',B'',C'',D''。,,n維射影空間的射影變換可以用代數(shù)式表示為ρy=T,P,x，其中，ρ為一比例因子，x與y分別為變換前后空間店的齊次坐標(biāo)，x=(x,1,,x,2,,...,x,n+1,),T,，y=(y,1,,y,2,,...,y,n+1,),T,,T,P,為滿秩的（n+1),×(n+1)矩陣。攝影變換由T,P,矩陣決定，矩陣T,P,有（n+1),2,個(gè)參數(shù)，但T,P,與,k,T,P,表示同一變換（因等式兩邊都是齊次坐標(biāo)），故T,P,的獨(dú)立參數(shù)為（n+1),2,－1。,以一維射影變換為例寫出上述變換：,,由該式得：,由

6、以上兩式相除，并取,,，,，得到變換前后點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)的關(guān)系,射影變換中用非齊次坐標(biāo)表示的關(guān)系是非線性的。,,如右圖所示,在三維射影空間，射影變換矩陣Tp可以表示為：,式中，Tp為4,×4可逆矩陣，它有16個(gè)參數(shù)，但可以用一個(gè)非零的比例因子歸一，因此有15個(gè)自由度。,,仿射變換,是射影變換的特例，在射影變換中，當(dāng)射影中心平面變?yōu)闊o(wú)限遠(yuǎn)處時(shí)，射影變換就變成了仿射變換。如圖所示：,2.1.3 仿射變換（affine transformation),同樣，以一維仿射變換為例寫出上述變換,將以上兩式相除得到變化前后點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)關(guān)系：,由上式得：,可以看出用非齊次坐標(biāo)表示的射影變換為非線性變換，而仿射

7、變換為線性變換。,,三維仿射空間，仿射變換矩陣可以表示為：,用其次坐標(biāo)，上式可重新寫成ρy=T,A,x，其中仿射變換矩陣T,A,可以表示為：,仿射變換有12個(gè)自由度。,,2.1.4 比例變換（metric transformation),比例變換,是帶有一比例因子的歐氏變換。,比例變換不改變物體空間的形狀，只是改變大小,，所以有時(shí)將比例變換稱為相似變換。,在三維比例空間中其變換形式可表示為：,δ是比例因子，稱為縮放因子。,用齊次坐標(biāo)，上式可重新寫成ρy=T,M,x，其中比例變換矩陣T,M,可以表示為：,r,ij,組成了一個(gè)正交矩陣。它是一旋轉(zhuǎn)矩陣，該旋轉(zhuǎn)矩陣有3個(gè)自由度。,比例變換有7個(gè)自由度

8、，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移和1個(gè)比例因子。,,2.1.5 歐氏變換（Euclidean transformation),歐氏變換,是在歐式空間進(jìn)行的變換，與比例變換很類似，只是比例因子取為1。,歐氏變換代表了在歐式空間中的剛體運(yùn)動(dòng)或剛體變換。,在三維歐式空間其變換形式為：,r,ij,組成了一個(gè)正交矩陣。它是一旋轉(zhuǎn)矩陣，該旋轉(zhuǎn)矩陣有3個(gè)自由度。,用齊次坐標(biāo)，上式可重新寫成ρy=T,E,x，其中歐氏變換矩陣T,E,可以表示為：,歐氏變換有6個(gè)自由度，其中3個(gè)旋轉(zhuǎn)，3個(gè)平移。,,2.1 幾何變換的不變量,上節(jié)所講的空間幾何變換中，某些幾何特性在變換前后具有不變化的特性，這樣的特性或特征量稱為,不變特性

9、或不變量,。,不變量廣泛用于計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的特征點(diǎn)的提取及模式識(shí)別等，在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中起著重要作用。,2.2.1 簡(jiǎn)比（simple ratio)與交比(cross ratio),如圖，直線L上三個(gè)點(diǎn)A、B、C，以A、B為基礎(chǔ)點(diǎn)，點(diǎn)C為分點(diǎn)（該點(diǎn)C為內(nèi)分點(diǎn)或外分點(diǎn)），由分點(diǎn)與基礎(chǔ)點(diǎn)所確定的兩個(gè)有向線段之比稱為,簡(jiǎn)比,，記為,,,,SR(A,B;C)=,一條直線上四個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)簡(jiǎn)比的比值稱為交比，如圖直線L上的四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D的,交比,為：,CR(A,B;C,D)=,,對(duì)于上圖中，線束O中任意4條直線的交比稱為,線束交比,CR(l,1,,l,2,;l,3,,l,4,),既有：,CR(l,1,,l

10、,2,;l,3,,l,4,)=,,2.2.2 不變量,下面給出各種幾何變換的一些基本且重要的不變形和不變量，在此不做證明。,射影變換不變量和不變性如下：,1、同素性（幾何元素點(diǎn)、線、面等變換后仍保持原先的種類）和接合性是射影不變換性質(zhì)；,,2、保持直線上點(diǎn)列的交比不變；,,3、保持線束的交比不變；,,4、如果平面內(nèi)有一線束的四直線被任一直線所截，則截點(diǎn)列的交比和線束的交比相等；,,5、點(diǎn)列交比是射影變換的基本不變量，是射影變換的充分必要條件，且共線四點(diǎn)交比具有如下特性：（如前頁(yè)圖所示）,1) CR(A,B;C,D)=CR(C,D;A,B);,,2) CR(A,B;C,D)=CR(B,A;D

11、,C);,,3) CR(A,B;C,D)=1/CR(A,B;D,C)=1/CR(B,A;C,D);,,4) CR(A,B;C,D)=1－CR(A,C;B,D)=1－CR(D,B;C,A)。,,仿射變換除具有以上射影變換不變性外，還具有如下特性：,仿射變換是攝影變換的特例,1、兩條直線間的平行性是仿射變換的不變換；,,2、共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是仿射變換的基本不變量；,,3、兩個(gè)三角形的面積之比是仿射不變量；,,4、兩條封閉曲線所圍成的面積之比是仿射不變量。,比例變換不變性：,比例變換除具有仿射變換的不變性外，還保持兩條相交直線的夾角不變，因此，其形狀保持不變。,歐氏變換不變性：,歐氏變換不僅保持兩

12、條相交直線的夾角不變，而且還保持任意兩點(diǎn)的距離不變，因此其形狀和大小均保持不變。,,不變量在計(jì)算機(jī)視覺(jué)中有著廣泛應(yīng)用，下面我們來(lái)看一個(gè)交比應(yīng)用于空間平面多邊形識(shí)別的例子：,右圖示出了空間平面多邊形的一種攝影關(guān)系，為清晰起見(jiàn)，空間平面多邊形ABCDEF及其射影多邊形A'B'C'D'E'F'分別重繪如下：,,由交比的不變性，有：,CR(P,1,,P,2;,P,3,,P,4,)=CR(P,1,',P,2,';P,3,',P,4,',),在空間平面中有：,CR(P,1,,P,2,;P,3,,P,4,)=CR(AB,AE;AC,AD),類似地，在投影平面中，也可以得到：,CR(P,1,',P,2,';P

13、,3,',P,4,',)=CR(A'B',A'E';A'C',A'D'),于是對(duì)于頂點(diǎn)A及其投影點(diǎn)A'，有：,CR(AB,AE;AC,AD)=CR(A'B',A'E';A'C',A'D'),,即由頂點(diǎn)的其他四個(gè)相鄰頂點(diǎn)連線計(jì)算的交比是射影不變的。同理，對(duì)其他頂點(diǎn)也可分別計(jì)算出其交比值，于是得到一個(gè)交比序列。因此，對(duì)于平面多邊形的頂點(diǎn)A,B,C,D,E,F,得到交比序列：,CR=(CR,A,,CR,B,,CR,C,,CR,D,,CR,E,,CR,F,),其維數(shù)為多邊形的頂點(diǎn)數(shù)。另外，多邊形各頂點(diǎn)的凹凸性在射影變換中是不變的。于是，可以把各頂點(diǎn)凹凸性加入到交比序列中，如以正值表示凸頂點(diǎn)，以負(fù)值表示

14、凹頂點(diǎn)，形成該平面多邊形的一個(gè),特征矢量CR。,特征矢量CR反映了空間平面多邊形的結(jié)構(gòu)和形狀，可由投影圖像精確獲得其與視點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，可以作為平面多邊形的一個(gè)不變形狀描述子，能定量地區(qū)分兩個(gè)相似形狀的細(xì)微差別。,,2.3 歐氏空間的剛體變換,計(jì)算機(jī)視覺(jué)中，剛體變換通常用于兩個(gè)方面：,一是,計(jì)算一個(gè)剛體經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移后的新坐標(biāo)，,另一是,計(jì)算同一個(gè)剛體在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。本節(jié)介紹剛體變換的過(guò)程和旋轉(zhuǎn)矩陣的表示形式。,2.3.1 剛體變換過(guò)程,在歐氏空間當(dāng)物體被看做理想的剛體時(shí)，無(wú)論該物體的位置和方向發(fā)生任意變化，或者是在不同的坐標(biāo)系觀察同一物體，物體的形狀和大小均保持不變，并且都可看成是剛體坐標(biāo)

15、的變換。,如圖，在歐氏空間有一點(diǎn)P，P點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是p=(x,y,z),T,和p'=(x',y',z'),T,,則有下列變換公式：,p'=Rp+,t,t=(t,x,,t,y,,t,z,),T,是一個(gè)三維向量，稱為平移向量，表示第一個(gè)坐標(biāo)系遠(yuǎn)點(diǎn)在第二個(gè)坐標(biāo)系上的坐標(biāo)。,R是一個(gè)3×3的正交矩陣且它的行列式值等于一，表示旋轉(zhuǎn)變換。,且有：,該式表明P點(diǎn)在第二個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p'是由其在第一個(gè)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)p通過(guò)旋轉(zhuǎn)和平移變換得到的。,,旋轉(zhuǎn)矩R有9個(gè)參數(shù)，但并不是互相獨(dú)立的，具有如下特性：,1、RR,T,=R,T,R=I,因此R,-1,=R,T,;,,2、||RU||=||U||;,

16、,3、RU?RV=U?V;,,4、RU×RV=R(U×V)。,其中，I是3,×3單位矩陣，U和V為兩個(gè)任意的三維向量，|| ? ||為向量的模。,因此，R只有3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即R的9個(gè)元素滿足以下六個(gè)約束條件：,,實(shí)際上，式p'=Rp+,t描述了第一個(gè)坐標(biāo)系到第二個(gè)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換過(guò)程，即旋轉(zhuǎn)第一個(gè)坐標(biāo)系，使其方向與第二個(gè)坐標(biāo)系完全一致，然后再將第一個(gè)坐標(biāo)系平移到第二個(gè)坐標(biāo)系的位置上，則兩個(gè)坐標(biāo)系完全重合,。,,2.3.2 旋轉(zhuǎn)矩陣的表示形式,比較常用的旋轉(zhuǎn)矩陣的表示形式有三種：歐拉角表示法、四元數(shù)表示法和旋轉(zhuǎn)軸表示法，本節(jié)主要介紹前兩種表示法。,1、歐拉角表示法：,如圖：被稱為,歐拉角的三個(gè)角度ψ

17、、θ和φ,能很好描述剛體的旋轉(zhuǎn)變換：,繞x軸旋轉(zhuǎn)ψ角（偏轉(zhuǎn)）,；,繞y軸旋轉(zhuǎn)θ角（俯仰）,，,繞z軸旋轉(zhuǎn)φ角（側(cè)傾）,。各角度旋轉(zhuǎn)正方向定義為從坐標(biāo)系原點(diǎn)沿各軸正方向觀察時(shí)的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向。且對(duì)應(yīng)上節(jié)定義的旋轉(zhuǎn)矩陣R，有如下關(guān)系：,,,用旋轉(zhuǎn)矩陣表示剛體的旋轉(zhuǎn)變換簡(jiǎn)化了許多運(yùn)算，但它需要9個(gè)元素來(lái)完全描述這種旋轉(zhuǎn)變換，比較麻煩。,,2、四元數(shù)表示法：,四元數(shù)是一個(gè)四元矢量q=(q,1,,q,2,,q,3,,q,4,),可用來(lái)描述坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)。,如圖所示，對(duì)于二維平面上的單位圓，單位圓的任何一個(gè)位置對(duì)應(yīng)于一個(gè)旋轉(zhuǎn)角，即極角。聯(lián)想三維空間中的單位球體，任意一個(gè)位置對(duì)應(yīng)于繞x軸和繞y軸旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)角,ψ、

18、θ，但是繞z軸的旋轉(zhuǎn)角φ卻無(wú)法描述。這時(shí)考慮如果再增加一個(gè)自由度就可以表示所有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角，這樣就產(chǎn)生了,四維空間的單位球，,且定義如下：,三維空間中的所有三個(gè)旋轉(zhuǎn)角度可以通過(guò)四維單位球上的點(diǎn)來(lái)表示，四維單位球上點(diǎn)的四元坐標(biāo)構(gòu)成了,單位四元數(shù)。,一個(gè)旋轉(zhuǎn)可以用兩個(gè)單位四元數(shù)來(lái)表示（q和-q），但是，給定一個(gè)四元數(shù)只對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)旋轉(zhuǎn)。針對(duì)計(jì)算機(jī)視覺(jué)，旋轉(zhuǎn)角一般不超過(guò)π，所以可附加條件，保證一個(gè)四元數(shù)的第一個(gè)元素為正。這樣，旋轉(zhuǎn)和四元數(shù)之間就有了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。,,用單位四元數(shù)表示剛體變換的旋轉(zhuǎn)矩陣（即上節(jié)定義矩陣R）如下：,其中：,所以：在計(jì)算出單位四元數(shù)之后，就可以利用上式計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣。,剛體變換

19、可以很方便的用七個(gè)元素(q,0,,q,1,,q,2,,q,3,,q,4,,q,5,,q,6,)表示 ，前四個(gè)量是單位四元數(shù)，后三個(gè)量是平移量。若用,R(q),表示對(duì)應(yīng)于單位四元數(shù)的旋轉(zhuǎn)矩陣，則剛體變換式為：,p'=,R(q),p+(q,4,,,q,5,,q,6,),T,,2.4 攝像機(jī)透視投影模型,攝像機(jī)通過(guò)成像透鏡將三維場(chǎng)景投影到攝像機(jī)二維平面上，這個(gè)投影可用成像變換描述，即,攝像機(jī)成像模型。,2.4.1 圖像坐標(biāo)系、攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系,1、圖像坐標(biāo)系：,攝像機(jī)采集的圖像以標(biāo)準(zhǔn)電視信號(hào)的形式經(jīng)高速圖像采集系統(tǒng)變換為數(shù)字圖像，并輸入計(jì)算機(jī)。,每幅數(shù)字圖像在計(jì)算機(jī)內(nèi)為M×N數(shù)組，M行N列的

20、圖像中的每一個(gè)元素(,稱為像素，pixel,)的數(shù)值即是圖像點(diǎn)的,亮度(或稱灰度)。,如圖，在圖像上定義直角坐標(biāo)系u,v，每一像素的坐標(biāo)(u,v)分別是該像素在數(shù)組中的列數(shù)與行數(shù)，所以，(u,v)是以像素為單位的,圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)。,由于(u,v)只表示像素位于數(shù)組中的列數(shù)與行數(shù)，并沒(méi)有用物理單位表示出該像素在圖像中的位置，因此，需要再建立,以物理單位（如mm)表示的圖像坐標(biāo)系,。該坐標(biāo)系以圖像內(nèi)某一點(diǎn)O,1,為原點(diǎn)，X軸Y軸分別于u,v平行。,,原點(diǎn)O,1,定義在攝像機(jī)光軸與圖像平面的交點(diǎn)，一般位于圖像中心。,,,其中，(u,v)表示以像素為單位的圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)，(X,Y)表示以mm為單位的

21、圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)。如若O,1,在u,v坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（u,0,,v,0,)，每一個(gè)像素在X軸與Y軸方向上的物理尺寸為dX,dY,則圖像中任意一個(gè)像素在兩個(gè)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)有如下關(guān)系：,為使用方便，用齊次坐標(biāo)與矩陣形式將上式表示為：,逆關(guān)系為：,,2、攝像機(jī)坐標(biāo)系：,攝像機(jī)幾何關(guān)系如右圖所示，其中O點(diǎn)稱為攝像機(jī)光心，x軸和y軸與圖像的X軸和Y軸平行，z軸為攝像機(jī)光軸，它與圖像平面垂直。光軸與圖像平面的交點(diǎn)，記為圖像坐標(biāo)系的原點(diǎn)，由點(diǎn)O與x,y,z軸組成的直角坐標(biāo)系為,攝像機(jī)坐標(biāo)系。,OO,1,為攝像機(jī)焦距。,由于攝像機(jī)可安放在環(huán)境中的任意位置，在環(huán)境中選擇一個(gè)基準(zhǔn)坐標(biāo)系來(lái)描述攝像機(jī)的位置，并用它

22、描述環(huán)境中任何物體的位置，該坐標(biāo)系稱為,世界坐標(biāo)系，,它由X,w,,Y,w,,Z,w,軸組成（如上圖）。攝像機(jī)坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系之間的關(guān)系可以用旋轉(zhuǎn)矩陣R與平移向量t來(lái)描述：,3、世界坐標(biāo)系：,其中Xw=(X,w,,Y,w,,Z,w,,1),T,與x=(x,y,z,1),T,分別為空間中某一點(diǎn)P在世界坐標(biāo)系和攝像機(jī)坐標(biāo)系下得齊次坐標(biāo)。,R為3,×3正交單位矩陣；t為三維平移向量；0=(0,0,0,),T,;M,1,為4×4矩陣。,,2.4.2 針孔成像模型（線性攝像機(jī)模型）,空間任何一點(diǎn)P在圖像中的成像位置可以用針孔成像模型近似表示。,即，任何點(diǎn)P在圖像中的投影位置p'，為光心O與P點(diǎn)的連線O

23、P與圖像平面的交點(diǎn)。這種關(guān)系也稱為中心射影或透視投影。,由比例關(guān)系有如下關(guān)系式：,(X,Y)為p點(diǎn)的圖像坐標(biāo);(x,y,z)為空間點(diǎn)P在攝像機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。,用齊次坐標(biāo)和矩陣表示上述透視投影關(guān)系為：,s為一比例因子，P為透視投影矩陣。,,將前面所得式子整合，得到一世界坐標(biāo)系表示的P點(diǎn)坐標(biāo)與其投影點(diǎn)p的坐標(biāo)(u,v)的關(guān)系：,且令：M,1,M,2,X,w,=MX,w,其中，ɑ,x,=f/dX為u軸上尺度因子，或稱為u軸上歸一化焦距；ɑ,y,=f/dY，為v軸上尺度因子，或稱為v軸上歸一化焦距；M為3,×3矩陣，稱為投影矩陣；M,1,由ɑ,x,、ɑ,y,、u,0,、v,0,決定，由于ɑ,x,、ɑ

24、,y,、u,0,、v,0,只與攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)有關(guān)，稱這些參數(shù)為,攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù),；M,2,由攝像機(jī)相對(duì)與世界坐標(biāo)系的方位決定，稱為,攝像機(jī)外部參數(shù),。確定某一攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，成為,攝像機(jī)定標(biāo),。,,有如下結(jié)論：,1、如果已知攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，就知道投影矩陣M；,,2、這時(shí)，對(duì)于任何空間點(diǎn)P，如已知它的坐標(biāo)X,w,=(X,w,,Y,w,,Z,w,,1)T，就可以 求出它的圖像點(diǎn)p的位置(u,v)。,,3、反之，如果已知某空間點(diǎn)P的圖像坐標(biāo)p的位置(u,v)，即使知道攝像機(jī)的內(nèi)外參數(shù)，X,w,也是不能唯一確定的。,,2.4.3 非線性模型,實(shí)際上，由于實(shí)際的鏡頭并不是理想的透視成像

25、，而是帶有不同程度的畸變，使得空間點(diǎn)所成的像并不在線性模型所描述的位置(X,Y)，而是在受到鏡頭失,,真影響而偏移的實(shí)際像平面坐標(biāo)(X',Y')處，有：,δ,x,和δ,y,是線性畸變值，他與圖像點(diǎn)在圖像中的位置有關(guān)。,理論上鏡頭會(huì)同時(shí)存在徑向畸變和切向畸變。但一般來(lái)講切向畸變比較小，徑向畸變的修正量距圖像中心的徑向距離的偶次冪多項(xiàng)式模型來(lái)表示，即：,其中,(u0,v0)是主點(diǎn)位置坐標(biāo)的精確值，而：,,上式表明，X方向和Y方向的畸變相對(duì)值(δ,x,/X,δ,y,/Y)與徑向半徑的平方成正比，即,在圖像邊緣處的畸變較大,。對(duì)一般計(jì)算機(jī)視覺(jué)，一階徑向畸變已足夠描述非線性畸變，這是可寫成：,線性模型參

26、數(shù),ɑ,x,、ɑ,y,、u,0,、v,0,與非線性畸變參數(shù),k,1,和k,2,一起構(gòu)成了,非線性模型的攝像機(jī)內(nèi)部參數(shù)。,,2.4 攝像機(jī)透視投影近似模型,,在某些條件下，透視模型可以很好地用線性模型近似。這種近似可大大簡(jiǎn)化推導(dǎo)和計(jì)算。,例如：攝像機(jī)的視場(chǎng)很小，并且物體的尺寸相對(duì)于到攝像機(jī)的距離也很小。,2.5.1 正投影(orthographic projection),特點(diǎn)：,完全忽略了深度信息。,適用情況：,當(dāng)物體到攝像機(jī)的垂直距離（深度信息）和物體到光軸的距離 （位置信息）都可以忽略時(shí)。,最簡(jiǎn)單的線性近似稱為,正投影。,正投影公式為：,x=X,y=Y。這里,(x,y,z)是三維點(diǎn)在攝像

27、機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，(X,Y)是三維點(diǎn)像點(diǎn)的圖像坐標(biāo)。,,2.5.2 弱透視(weak projective),如果攝像機(jī)的視場(chǎng)比較小，而且物體表面深度拜變化相對(duì)其到攝像機(jī)機(jī)的距離很小的話，物體上各點(diǎn)的深度可以用以固定的深度值z(mì),0,近似，這個(gè)值一般取物體質(zhì)心的深度。這樣的透視稱為,弱透視，,其模型近似為：,這種近似可以看作是兩次投影的合成。,首先,，整個(gè)物體按平行于光軸的方向正投影到經(jīng)過(guò)物體質(zhì)心并與圖像平面平行的平面上；,然后,，再按透視模型將上述物平面的圖形投影到攝像機(jī)的圖像平面上，這一步實(shí)際是全局的放縮。因此，,弱透視也稱為放縮正投影。,,弱透視模型可寫成與透視投影類似的形式：,其中：,弱

28、透視模型中，猶豫物體上各點(diǎn)的深度使用一固定值z(mì),0,來(lái)近似，因此二維點(diǎn)像和三維點(diǎn)像具有線性對(duì)應(yīng)關(guān)系。,下面來(lái)推導(dǎo)這種近似帶來(lái)的成像誤差。設(shè)三維物點(diǎn)M的實(shí)際深度值為z=z,0,+Δz。該點(diǎn)按透視模型投影為m,p,,而弱透視的結(jié)果為m,wp,,m,error,為成像誤差，運(yùn)用泰勒公式得到：,m,error,=m,p,－m,wp,,1、弱透視模型不僅與物體的深度變化(Δz)有關(guān)，而且還與物體的位置信息(x,y,z)有關(guān)系；,,2、誤差對(duì)物體的不同部分是不同的；,,3、在實(shí)際中使用弱透視模型一般要求物體到攝像機(jī)的距離大于10倍物體表面深度變化。,結(jié)論：,2.5.3 平行透視(paraperspecti

29、ve projective),在,平行透視中,，投影過(guò)程仍分為兩個(gè)過(guò)程：首先仍是把物體平行投影到過(guò)質(zhì)心且與像平面平行的平面上，不過(guò)這次的投影線不是平行于光軸，而是平行于質(zhì)心G和攝像機(jī)光心O點(diǎn)的連線OG。這克服了物體離光軸較遠(yuǎn)，弱透視帶來(lái)的大誤差。另一過(guò)程與弱透視相同。平行透視公式為：,(x,0,,y,0,,z,0,)為質(zhì)心的三維坐標(biāo)。,,將該模型寫成與透視投影類似的形式：,其中：,上式表明平行透視中二維像點(diǎn)和三維物點(diǎn)也具有線性對(duì)應(yīng)關(guān)系。,,下面來(lái)推導(dǎo)平行透視引入的誤差，設(shè)三維物點(diǎn)M的實(shí)際位置為(x,y,z),T,=(x0+Δx,y0+Δx,z0+Δx),T,,用與弱透視類似的方法得到：,m,e

30、rror,=m,p,－m,wp,,由誤差表達(dá)式可知，在弱透視情況下，像點(diǎn)誤差是三維點(diǎn)的一階無(wú)窮小；在平行透視情況下，像點(diǎn)誤差是三維點(diǎn)的二階無(wú)窮小。這說(shuō)明,平行透視確實(shí)是比弱透視更好的近似。,下圖是線性近似和透視模型的比較：,由上圖也可看出，各模型的近似程度和前面分析是一致的。,m,otth,、m,wp,、m,pp,和m,p,分別是物體上的三維點(diǎn)M在正投影、弱透視、平行透視和透視投影下的投影點(diǎn)，G為物體的質(zhì)心。,,透視投影還有一種誤差更小的線性近似，即,正透視(orthoperspective),。同樣從兩個(gè)過(guò)程來(lái)考慮，正透視與平行透視的區(qū)別在于第一過(guò)程的投影平面不是與圖像平面平行，而是經(jīng)過(guò)質(zhì)心

31、和OG(即攝像機(jī)光心和質(zhì)心的連線)垂直。,正透視也可看作以下三步操作的合成：,1、攝像機(jī)繞光心O旋轉(zhuǎn)，直至光軸與OG重合；,,2、進(jìn)行弱透視投影；,,3、將攝像機(jī)旋轉(zhuǎn)回原位置，這引起圖像平面上的一個(gè)仿射變換。,,2.5.4 仿射攝像機(jī),觀察在正投影、弱透視和平行透視下的投影矩陣，我們發(fā)現(xiàn)它們都具有如下的形式：,P,A,是3,×4矩陣，它決定了一個(gè)三維空間到二維平面的線性映射（用齊次坐標(biāo)表示），所以我們把P,A,稱為,仿射攝像機(jī)。,仿射攝像機(jī)具有下列性質(zhì)：,1、保平行性：三維空間的平行線投影為二維空間的平行線；,,2、把三維點(diǎn)集的質(zhì)心投影為對(duì)應(yīng)二維投影點(diǎn)的質(zhì)心。,,仿射攝像機(jī)的,缺點(diǎn),是幾何意義不明顯，它是前幾節(jié)介紹的各種透視投影線性近似的推廣。這種推廣可按下面兩種方式來(lái)理解：,1、允許三維物體作某種非剛性變形。,,2、無(wú)需標(biāo)定攝相機(jī)內(nèi)參數(shù)。,注意：,仿射攝像機(jī)是實(shí)際攝像機(jī)的近似，它只在感興趣目標(biāo)的深度變化相對(duì)其深度而言可忽略不計(jì)時(shí)才適用。,next chapter!,,