2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.1.1 平面學(xué)案【含解析】新人教A版必修2

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1、21.1平面平面提出問(wèn)題寧?kù)o的湖面、海面，生活中的課桌面、黑板面，一望無(wú)垠的草原給你什么樣的感覺(jué)？問(wèn)題1：生活中的平面有大小之分嗎？提示：有問(wèn)題2：幾何中的“平面”是怎樣的？提示：從物體中抽象出來(lái)的，絕對(duì)平，無(wú)大小之分導(dǎo)入新知1平面的概念幾何里所說(shuō)的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來(lái)的幾何里的平面是無(wú)限延展的2平面的畫(huà)法(1)水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，它的銳角通常畫(huà)成45，且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍如圖.(2)如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫(huà)出來(lái)如圖.3平面的表示法圖的平面可表示為平面、平面ABCD、平面AC或平面BD

2、.化解疑難幾何中的平面有以下幾個(gè)特點(diǎn)(1)平面是平的；(2)平面是沒(méi)有厚度的；(3)平面是無(wú)限延展而沒(méi)有邊界的平面的基本性質(zhì)提出問(wèn)題問(wèn)題1：若把直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點(diǎn)和桌面有何關(guān)系？提示：在桌面上問(wèn)題2：為什么自行車(chē)后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車(chē)？提示：撐腳和自行車(chē)的兩個(gè)輪子與地面的接觸點(diǎn)不在一條直線上問(wèn)題3：兩張紙面相交有幾條直線？提示：一條導(dǎo)入新知平面的基本性質(zhì)公理內(nèi)容圖形符號(hào)公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)Al，Bl，且A，Bl公理2過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線存在唯一的使A，B，C公理3如果

3、兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線P，Pl，且Pl化解疑難從集合角度理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系(1)直線可以看成無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，故點(diǎn)與直線的關(guān)系是元素與集合的關(guān)系，用“”或“”表示；(2)平面也可以看成點(diǎn)集，故點(diǎn)與平面的關(guān)系也是元素與集合的關(guān)系，用“”或“”表示；(3)直線和平面都是點(diǎn)集，它們之間的關(guān)系可看成集合與集合的關(guān)系，故用“”或“”表示.文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化例1根據(jù)圖形用符號(hào)表示下列點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系(1)點(diǎn)P與直線AB；(2)點(diǎn)C與直線AB；(3)點(diǎn)M與平面AC；(4)點(diǎn)A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB

4、與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.解(1)點(diǎn)P直線AB；(2)點(diǎn)C 直線AB；(3)點(diǎn)M平面AC；(4)點(diǎn)A1平面AC；(5)直線AB直線BC點(diǎn)B；(6)直線AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直線AB.類(lèi)題通法三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先仔細(xì)觀察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語(yǔ)言表示，再用符號(hào)語(yǔ)言表示(2)根據(jù)符號(hào)語(yǔ)言或文字語(yǔ)言畫(huà)相應(yīng)的圖形時(shí)，要注意實(shí)線和虛線的區(qū)別活學(xué)活用根據(jù)下列符號(hào)表示的語(yǔ)句，說(shuō)明點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)點(diǎn)A

5、在平面內(nèi)，點(diǎn)B不在平面內(nèi)，如圖；(2)直線l在平面內(nèi)，直線m與平面相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，如圖；(3)直線l經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)P和平面內(nèi)一點(diǎn)Q，如圖.點(diǎn)、線共面問(wèn)題例2證明兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)解已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)法一：(納入平面法)l1l2A，l1和l2確定一個(gè)平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.又Bl3，Cl3，l3.直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)法二：(輔助平面法)l1l2A，l1，l2確定一個(gè)平面.l2l3B，l2，l3確定一個(gè)平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B

6、，B，C，C.不共線的三個(gè)點(diǎn)A，B，C既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)類(lèi)題通法證明點(diǎn)、線共面問(wèn)題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有以下幾種(1)先由部分點(diǎn)、線確定一個(gè)面，再證其余的點(diǎn)、線都在這個(gè)平面內(nèi)，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點(diǎn)、線確定一個(gè)平面，其余點(diǎn)、線確定另一個(gè)平面，再證平面與重合，即用“同一法”；(3)假設(shè)不共面，結(jié)合題設(shè)推出矛盾，用“反證法”活學(xué)活用下列說(shuō)法正確的是()任意三點(diǎn)確定一個(gè)平面；圓上的三點(diǎn)確定一個(gè)平面；任意四點(diǎn)確定一個(gè)平面；兩條平行線確定一個(gè)平面ABC D答案：C共線問(wèn)題例3已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿(mǎn)足ABP，

7、BCQ，ACR，如圖所示求證：P，Q，R三點(diǎn)共線解證明：法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面的交線上P，Q，R三點(diǎn)共線法二：APARA，直線AP與直線AR確定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三點(diǎn)共線類(lèi)題通法點(diǎn)共線：證明多點(diǎn)共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過(guò)證明點(diǎn)分別在兩個(gè)平面內(nèi)，證明點(diǎn)在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其他點(diǎn)也在其上活學(xué)活用如圖

8、所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)線段A1C與平面ABC1D1交于點(diǎn)Q，求證：B，Q，D1三點(diǎn)共線證明：如圖所示，連接A1B，CD1.顯然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三點(diǎn)共線典例(12分)如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)解題流程活學(xué)活用如圖所示，在空間四邊形各邊A

9、D，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF，GH交于一點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P在直線BD上證明：EFGHP，PEF且PGH.又EF平面ABD，GH平面CBD，P平面ABD，且P平面CBD，又P平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，由公理3可得PBD.點(diǎn)P在直線BD上隨堂即時(shí)演練1若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面內(nèi)，則Q，b，之間的關(guān)系可記作()AQbBQbCQb DQb答案：B2兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面()A相交 B重合C相交或重合 D以上都不對(duì)答案：C3下列對(duì)平面的描述語(yǔ)句：平靜的太平洋面就是一個(gè)平面；8個(gè)平面重疊起來(lái)比6個(gè)平面重疊起來(lái)厚；四邊形確定一個(gè)平面；平面可以看

10、成空間中點(diǎn)的集合，它當(dāng)然是一個(gè)無(wú)限集其中正確的是_(填序號(hào))答案：4設(shè)平面與平面交于直線l，A，B，且直線ABlC，則直線AB_.答案：C5將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言(1)a，bA，Aa.(2)c，a，b，ac，bcP.解：(1)(2)課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面外”，正確的是()AAl，lBAl，lCAl，l DAl，l答案：B2下列說(shuō)法正確的是()A三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面B一條直線和一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面C四邊形是平面圖形D兩條相交直線可以確定一個(gè)平面答案：D3空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是()A1 B2C3 D1或3答案：D4下列推斷中，錯(cuò)誤的

11、是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線，重合答案：C5在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF與HG交于點(diǎn)M，那么()AM一定在直線AC上BM一定在直線BD上CM可能在直線AC上，也可能在直線BD上DM既不在直線AC上，也不在直線BD上答案：A二、填空題6線段AB在平面內(nèi)，則直線AB與平面的位置關(guān)系是_答案：直線AB平面7把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的字母編號(hào)填在題后橫線上(1)A，a_.(2)a，P且P_.(3)a，aA_.(4)a，c，b，abcO_.答案：(1)C(2)D(3)A(4

12、)B8平面平面l，點(diǎn)A，B，點(diǎn)C平面且Cl，ABlR，設(shè)過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的平面為平面，則_.答案：CR三、解答題9求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那么這四條直線共面解：已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：直線a，b，c和l共面證明：如圖所示，因?yàn)閍b，由公理2可知直線a與b確定一個(gè)平面，設(shè)為.因?yàn)閘aA，lbB，所以Aa，Bb，則A，B.又因?yàn)锳l，Bl，所以由公理1可知l.因?yàn)閎c，所以由公理2可知直線b與c確定一個(gè)平面，同理可知l.因?yàn)槠矫婧推矫娑及本€b與l，且lbB，而由公理2的推論2知，經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面，所以平面與平面重合，所以直線a，

13、b，c和l共面10已知正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點(diǎn)，ACBDP，A1C1EFQ.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn)，則P，Q，R三點(diǎn)共線證明：如圖(1)連接B1D1，EF是D1B1C1的中位線，EFB1D1.在正方體AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD確定一個(gè)平面，即D，B，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面(2)正方體AC1中，設(shè)平面A1ACC1確定的平面為，又設(shè)平面BDEF為.QA1C1，Q.又QEF，Q.則Q是與的公共點(diǎn)，同理P是與的公共點(diǎn)，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，則RPQ.故P，Q，R三點(diǎn)共線- 10 -