2017-2018學年度高中數(shù)學 第二章 點、直線、平面之間的位置關系 2.1.1 平面學案【含解析】新人教A版必修2

21.1平面平面提出問題寧靜的湖面、海面，生活中的課桌面、黑板面，一望無垠的草原給你什么樣的感覺？問題1：生活中的平面有大小之分嗎？提示：有問題2：幾何中的“平面”是怎樣的？提示：從物體中抽象出來的，絕對平，無大小之分導入新知1平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的幾何里的平面是無限延展的2平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍如圖.(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來如圖.3平面的表示法圖的平面可表示為平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.化解疑難幾何中的平面有以下幾個特點(1)平面是平的；(2)平面是沒有厚度的；(3)平面是無限延展而沒有邊界的平面的基本性質提出問題問題1：若把直尺邊緣上的任意兩點放在桌面上，直尺的邊緣上的其余點和桌面有何關系？提示：在桌面上問題2：為什么自行車后輪旁只安裝一只撐腳就能固定自行車？提示：撐腳和自行車的兩個輪子與地面的接觸點不在一條直線上問題3：兩張紙面相交有幾條直線？提示：一條導入新知平面的基本性質公理內容圖形符號公理1如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內Al，Bl，且A，Bl公理2過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線存在唯一的使A，B，C公理3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P，Pl，且Pl化解疑難從集合角度理解點、線、面之間的關系(1)直線可以看成無數(shù)個點組成的集合，故點與直線的關系是元素與集合的關系，用“”或“”表示；(2)平面也可以看成點集，故點與平面的關系也是元素與集合的關系，用“”或“”表示；(3)直線和平面都是點集，它們之間的關系可看成集合與集合的關系，故用“”或“”表示.文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化例1根據(jù)圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系(1)點P與直線AB；(2)點C與直線AB；(3)點M與平面AC；(4)點A1與平面AC；(5)直線AB與直線BC；(6)直線AB與平面AC；(7)平面A1B與平面AC.解(1)點P直線AB；(2)點C 直線AB；(3)點M平面AC；(4)點A1平面AC；(5)直線AB直線BC點B；(6)直線AB平面AC；(7)平面A1B平面AC直線AB.類題通法三種語言的轉換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示(2)根據(jù)符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別活學活用根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：(1)A，B；(2)l，mA，Al；(3)Pl，P，Ql，Q.解：(1)點A在平面內，點B不在平面內，如圖；(2)直線l在平面內，直線m與平面相交于點A，且點A不在直線l上，如圖；(3)直線l經(jīng)過平面外一點P和平面內一點Q，如圖.點、線共面問題例2證明兩兩相交且不共點的三條直線在同一平面內解已知：如圖所示，l1l2A，l2l3B，l1l3C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內法一：(納入平面法)l1l2A，l1和l2確定一個平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可證C.又Bl3，Cl3，l3.直線l1，l2，l3在同一平面內法二：(輔助平面法)l1l2A，l1，l2確定一個平面.l2l3B，l2，l3確定一個平面.Al2，l2，A.Al2，l2，A.同理可證B，B，C，C.不共線的三個點A，B，C既在平面內，又在平面內平面和重合，即直線l1，l2，l3在同一平面內類題通法證明點、線共面問題的理論依據(jù)是公理1和公理2，常用方法有以下幾種(1)先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入法”；(2)先由其中一部分點、線確定一個平面，其余點、線確定另一個平面，再證平面與重合，即用“同一法”；(3)假設不共面，結合題設推出矛盾，用“反證法”活學活用下列說法正確的是()任意三點確定一個平面；圓上的三點確定一個平面；任意四點確定一個平面；兩條平行線確定一個平面ABC D答案：C共線問題例3已知ABC在平面外，其三邊所在的直線滿足ABP，BCQ，ACR，如圖所示求證：P，Q，R三點共線解證明：法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理3可知，點P在平面ABC與平面的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面的交線上P，Q，R三點共線法二：APARA，直線AP與直線AR確定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三點共線類題通法點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上活學活用如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，設線段A1C與平面ABC1D1交于點Q，求證：B，Q，D1三點共線證明：如圖所示，連接A1B，CD1.顯然B平面A1BCD1，D1平面A1BCD1.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1.平面ABC1D1平面A1BCD1BD1.A1C平面ABC1D1Q，Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1，Q平面A1BCD1.QBD1，即B，Q，D1三點共線典例(12分)如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFCDHHA23.求證：EF，GH，BD交于一點解題流程活學活用如圖所示，在空間四邊形各邊AD，AB，BC，CD上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF，GH交于一點P，求證：點P在直線BD上證明：EFGHP，PEF且PGH.又EF平面ABD，GH平面CBD，P平面ABD，且P平面CBD，又P平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，由公理3可得PBD.點P在直線BD上隨堂即時演練1若點Q在直線b上，b在平面內，則Q，b，之間的關系可記作()AQbBQbCQb DQb答案：B2兩個平面若有三個公共點，則這兩個平面()A相交 B重合C相交或重合 D以上都不對答案：C3下列對平面的描述語句：平靜的太平洋面就是一個平面；8個平面重疊起來比6個平面重疊起來厚；四邊形確定一個平面；平面可以看成空間中點的集合，它當然是一個無限集其中正確的是_(填序號)答案：4設平面與平面交于直線l，A，B，且直線ABlC，則直線AB_.答案：C5將下列符號語言轉化為圖形語言(1)a，bA，Aa.(2)c，a，b，ac，bcP.解：(1)(2)課時達標檢測一、選擇題1用符號表示“點A在直線l上，l在平面外”，正確的是()AAl，lBAl，lCAl，l DAl，l答案：B2下列說法正確的是()A三點可以確定一個平面B一條直線和一個點可以確定一個平面C四邊形是平面圖形D兩條相交直線可以確定一個平面答案：D3空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數(shù)是()A1 B2C3 D1或3答案：D4下列推斷中，錯誤的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線，重合答案：C5在空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果EF與HG交于點M，那么()AM一定在直線AC上BM一定在直線BD上CM可能在直線AC上，也可能在直線BD上DM既不在直線AC上，也不在直線BD上答案：A二、填空題6線段AB在平面內，則直線AB與平面的位置關系是_答案：直線AB平面7把下列符號敘述所對應的圖形的字母編號填在題后橫線上(1)A，a_.(2)a，P且P_.(3)a，aA_.(4)a，c，b，abcO_.答案：(1)C(2)D(3)A(4)B8平面平面l，點A，B，點C平面且Cl，ABlR，設過點A，B，C三點的平面為平面，則_.答案：CR三、解答題9求證：如果兩兩平行的三條直線都與另一條直線相交，那么這四條直線共面解：已知：abc，laA，lbB，lcC.求證：直線a，b，c和l共面證明：如圖所示，因為ab，由公理2可知直線a與b確定一個平面，設為.因為laA，lbB，所以Aa，Bb，則A，B.又因為Al，Bl，所以由公理1可知l.因為bc，所以由公理2可知直線b與c確定一個平面，同理可知l.因為平面和平面都包含著直線b與l，且lbB，而由公理2的推論2知，經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面，所以平面與平面重合，所以直線a，b，c和l共面10已知正方體ABCD A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為D1C1，C1B1的中點，ACBDP，A1C1EFQ.求證：(1)D，B，F(xiàn)，E四點共面；(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線證明：如圖(1)連接B1D1，EF是D1B1C1的中位線，EFB1D1.在正方體AC1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD確定一個平面，即D，B，F(xiàn)，E四點共面(2)正方體AC1中，設平面A1ACC1確定的平面為，又設平面BDEF為.QA1C1，Q.又QEF，Q.則Q是與的公共點，同理P是與的公共點，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，則RPQ.故P，Q，R三點共線- 10 -