2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例學(xué)案【含解析】新人教A版必修1

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1、32.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例導(dǎo)入新知1常見(jiàn)的函數(shù)模型(1)正比例函數(shù)模型：f(x)kx(k為常數(shù)，k0)；(2)反比例函數(shù)模型：f(x)(k為常數(shù)，k0)；(3)一次函數(shù)模型：f(x)kxb(k，b為常數(shù)，k0)；(4)二次函數(shù)模型：f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b0，b1)；(6)對(duì)數(shù)函數(shù)模型：f(x)mlogaxn(m，n，a為常數(shù)，m0，a0，a1)；(7)冪函數(shù)模型：f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n1)2建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的框圖表示化解疑難求解函數(shù)應(yīng)用題的程序二次函數(shù)模型例1已知某種商品漲價(jià)x成

2、(1成10%)時(shí)，每天的銷(xiāo)售量減少x(其中x0)成(1)應(yīng)該漲價(jià)多少，才能使每天的營(yíng)業(yè)額(售出的總金額)最大？(2)如果適當(dāng)漲價(jià)，能使每天的營(yíng)業(yè)額增加，求x的取值范圍解設(shè)商品原價(jià)格為m，每天的原銷(xiāo)售量為n，則每天的原營(yíng)業(yè)額為mn，漲價(jià)后每天的營(yíng)業(yè)額為ymn.(1)ymnmn.當(dāng)x，即漲價(jià)125%時(shí)，每天的營(yíng)業(yè)額最大(2)要使?jié)q價(jià)后每天的營(yíng)業(yè)額比原來(lái)增加，則需mnmn，即2x25x0，變形得x(2x5)0，故0x.x的取值范圍為.類(lèi)題通法利用二次函數(shù)模型解決問(wèn)題的方法在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求

3、函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問(wèn)題中的利潤(rùn)最大、用料最省等問(wèn)題活學(xué)活用活學(xué)活用如圖所示，已知邊長(zhǎng)為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE4米，CD6米為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上(1)設(shè)MPx米，PNy米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值解：(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y)米，EQ(x4)米又EPQEDF，所以，即.所以yx10，定義域?yàn)閤|4x8(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S平方米，則S(x)xyx(x10)250，S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x10，所以當(dāng)x4,8時(shí)，

4、S(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x8時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米.分段函數(shù)模型例2提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度v(單位：千米/時(shí))是車(chē)流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛/千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車(chē)流速度v是車(chē)流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車(chē)流密度x為多大時(shí)，車(chē)流量(單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀(guān)測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))

5、解(1)由題意，當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb(a0)，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并結(jié)合(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201 200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)(x100)2，當(dāng)且僅當(dāng)x100時(shí)，等號(hào)成立所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333.即當(dāng)車(chē)流密度為100輛/千米時(shí)，車(chē)流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時(shí)類(lèi)題通法構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點(diǎn)建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分

6、段的各邊界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對(duì)每一區(qū)間進(jìn)行分類(lèi)討論，從而寫(xiě)出函數(shù)的解析式活學(xué)活用某醫(yī)療研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測(cè)：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時(shí)間t之間近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn)(1)寫(xiě)出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于4 g時(shí)治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥為上午7：00，問(wèn)：一天中怎樣安排服藥時(shí)間(共4次)效果最佳？解：(1)依題意得y(2)設(shè)第二次服藥時(shí)在第一次服藥后t1小時(shí)，則t14，解得t14，因而第二次服藥應(yīng)在11：00.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，

7、即有t2(t24)4，解得t29，故第三次服藥應(yīng)在16：00.設(shè)第四次服藥在第一次服藥后t3(t310)小時(shí)，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完，血液中含藥量應(yīng)為第二、第三次的和(t34)(t39)4，解得t313.5，故第四次服藥應(yīng)在20：30.指數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型例3一片森林原來(lái)面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹(shù)，且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變?yōu)?為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，所剩森林面積至少要為原面積的.已知到今年為止，森林面積為a.(1)求p%的值(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)該森林今后最多還能砍伐多少年？解(1)由題意得a(1p%)10，即(1p%)10，解得p%1.(2

8、)設(shè)經(jīng)過(guò)m年森林面積為a，則a(1p%)ma，即，解得m5.故到今年為止，已砍伐了5年(3)設(shè)從今年開(kāi)始，n年后森林面積為a(1p%)n.令a(1p%)na，即(1p%)n，得，解得n15，故今后最多還能砍伐15年類(lèi)題通法指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用在實(shí)際問(wèn)題中，有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示通常可以表示為yN(1p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長(zhǎng)率，x為時(shí)間)的形式活學(xué)活用某化工廠(chǎng)生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)要求，雜質(zhì)含量不能超過(guò)0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過(guò)濾一次可使雜質(zhì)含量減少，問(wèn)：至少應(yīng)過(guò)濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求？(已知： lg 20.301 0，lg 30.4

9、77 1)解：依題意，得n，即n.則n(lg 2lg 3)(1lg 2)，故n7.4，考慮到nN，即至少要過(guò)濾8次才能達(dá)到市場(chǎng)要求典例(12分)甲、乙兩人連續(xù)6年對(duì)某縣農(nóng)村甲魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)律(總產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查，提供了兩個(gè)方面的信息，分別得到如下兩圖甲調(diào)查表明：每個(gè)甲魚(yú)池平均出產(chǎn)量從第一年1萬(wàn)只甲魚(yú)上升到第六年2萬(wàn)只；乙調(diào)查表明：甲魚(yú)池個(gè)數(shù)由第一年30個(gè)減到第六年10個(gè)請(qǐng)你根據(jù)提供的信息說(shuō)明：(1)第二年甲魚(yú)池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚(yú)總數(shù)(2)到第六年，這個(gè)縣的甲魚(yú)養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第一年是擴(kuò)大了還是縮小了？說(shuō)明理由(3)哪一年的規(guī)模最大？說(shuō)明理由解題流程活學(xué)活用某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市

10、場(chǎng)銷(xiāo)售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷(xiāo)售單價(jià)x元與日銷(xiāo)售量y件之間有如下關(guān)系：銷(xiāo)售單價(jià)x/元30404550日銷(xiāo)售量y/件6030150(1)在坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)設(shè)經(jīng)營(yíng)此商品的日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷(xiāo)售單價(jià)x為多少時(shí)，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)解：實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，由圖可知y是x的一次函數(shù)(1)設(shè)f(x)kxb，則解得f(x)3x150,30x50，檢驗(yàn)成立(2)P(x30)(3x150)3x2240x4 500,30x50，對(duì)稱(chēng)軸x4030,50答：當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為40元時(shí)

11、，才能獲得最大日銷(xiāo)售利潤(rùn)隨堂即時(shí)演練1某電視新產(chǎn)品投放市場(chǎng)后第一個(gè)月銷(xiāo)售100臺(tái)，第二個(gè)月銷(xiāo)售200臺(tái)，第三個(gè)月銷(xiāo)售400臺(tái)，第四個(gè)月銷(xiāo)售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷(xiāo)量y與投放市場(chǎng)的月數(shù)x(1x4，xN*)之間關(guān)系的是()Ay100xBy50x250x100Cy502x Dy100x解析：選C當(dāng)x4時(shí)，A中，y400；B中，y700；C中，y800；D中，y1004.故選C.2已知A，B兩地相距150千米，某人開(kāi)汽車(chē)以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地，則汽車(chē)離開(kāi)A地的距離x關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)解析式是()Ax60tBx15050t

12、CxDx解析：選D顯然出發(fā)、停留、返回三個(gè)過(guò)程中行車(chē)速度是不同的，故應(yīng)分三段表示函數(shù)3由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低，則現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)15年后的價(jià)格應(yīng)降為_(kāi)元解析：ya，所以當(dāng)x15時(shí)，y8 10038 1002 400(元)答案：2 4004.如圖所示，折線(xiàn)是某電信局規(guī)定打長(zhǎng)途電話(huà)所需要付的電話(huà)費(fèi)y(元)與通話(huà)時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系圖象，根據(jù)圖象填空：(1)通話(huà)2分鐘，需付的電話(huà)費(fèi)為_(kāi)元；(2)通話(huà)5分鐘，需付的電話(huà)費(fèi)為_(kāi)元；(3)如果t3，則電話(huà)費(fèi)y(元)與通話(huà)時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)解析：(1)由題圖可知，當(dāng)t3時(shí)，電

13、話(huà)費(fèi)都是3.6元(2)由題圖可知，當(dāng)t5時(shí)，y6，即需付電話(huà)費(fèi)6元(3)當(dāng)t3時(shí)，y關(guān)于x的圖象是一條直線(xiàn)，且經(jīng)過(guò)(3，3.6)和(5,6)兩點(diǎn)，故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為yktb，則解得故y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y1.2t(t3)答案：(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)5在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無(wú)債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專(zhuān)賣(mài)店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無(wú)息貸款沒(méi)有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開(kāi)支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)在甲提供的資料中：這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；該店月銷(xiāo)量Q(百件)

14、與銷(xiāo)量?jī)r(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示；每月需各種開(kāi)支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每百件多少元時(shí)，月利潤(rùn)扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？解：設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng)元，則由題設(shè)得LQ(P14)1003 6002 000，由銷(xiāo)量圖易得Q代入式得L(1)當(dāng)14P20時(shí)，Lmax450元，此時(shí)P19.5元；當(dāng)205時(shí)，f(x)5552(0.25x0.5)12x；所以f(x)(2)當(dāng)05時(shí)，f(x)12x12.故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為475件時(shí)，當(dāng)年獲得的利潤(rùn)最大11國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，飛機(jī)票價(jià)格為900元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，飛機(jī)票價(jià)格就減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止旅行團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元(1)寫(xiě)出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？解：(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x，飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y即y(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S即S因?yàn)镾900x15 000在區(qū)間(0,30上單調(diào)遞增，當(dāng)x30時(shí)，S取最大值12 000，又因?yàn)镾10(x60)221 000在區(qū)間(30,75上，當(dāng)x60時(shí)，S取最大值21 000.故當(dāng)x60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)14