2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例學(xué)案【含解析】新人教A版必修1

32.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例導(dǎo)入新知1常見的函數(shù)模型(1)正比例函數(shù)模型：f(x)kx(k為常數(shù)，k0)；(2)反比例函數(shù)模型：f(x)(k為常數(shù)，k0)；(3)一次函數(shù)模型：f(x)kxb(k，b為常數(shù)，k0)；(4)二次函數(shù)模型：f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)；(5)指數(shù)函數(shù)模型：f(x)abxc(a，b，c為常數(shù)，a0，b>0，b1)；(6)對數(shù)函數(shù)模型：f(x)mlogaxn(m，n，a為常數(shù)，m0，a>0，a1)；(7)冪函數(shù)模型：f(x)axnb(a，b，n為常數(shù)，a0，n1)2建立函數(shù)模型解決問題的框圖表示化解疑難求解函數(shù)應(yīng)用題的程序二次函數(shù)模型例1已知某種商品漲價(jià)x成(1成10%)時(shí)，每天的銷售量減少x(其中x>0)成(1)應(yīng)該漲價(jià)多少，才能使每天的營業(yè)額(售出的總金額)最大？(2)如果適當(dāng)漲價(jià)，能使每天的營業(yè)額增加，求x的取值范圍解設(shè)商品原價(jià)格為m，每天的原銷售量為n，則每天的原營業(yè)額為mn，漲價(jià)后每天的營業(yè)額為ymn.(1)ymnmn.當(dāng)x，即漲價(jià)125%時(shí)，每天的營業(yè)額最大(2)要使?jié)q價(jià)后每天的營業(yè)額比原來增加，則需mnmn，即2x25x0，變形得x(2x5)<0.又x>0，故0x.x的取值范圍為.類題通法利用二次函數(shù)模型解決問題的方法在函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位根據(jù)實(shí)際問題建立二次函數(shù)解析式后，可以利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等問題活學(xué)活用活學(xué)活用如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE4米，CD6米為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上(1)設(shè)MPx米，PNy米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值解：(1)作PQAF于Q，所以PQ(8y)米，EQ(x4)米又EPQEDF，所以，即.所以yx10，定義域?yàn)閤|4x8(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S平方米，則S(x)xyx(x10)250，S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為x10，所以當(dāng)x4,8時(shí)，S(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x8時(shí)，矩形BNPM的面積取得最大值，為48平方米.分段函數(shù)模型例2提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))解(1)由題意，當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb(a0)，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并結(jié)合(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201 200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)(x100)2，當(dāng)且僅當(dāng)x100時(shí)，等號成立所以，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333.即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時(shí)類題通法構(gòu)建分段函數(shù)模型的關(guān)鍵點(diǎn)建立分段函數(shù)模型的關(guān)鍵是確定分段的各邊界點(diǎn)，即明確自變量的取值區(qū)間，對每一區(qū)間進(jìn)行分類討論，從而寫出函數(shù)的解析式活學(xué)活用某醫(yī)療研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時(shí)間t之間近似滿足如圖所示的曲線(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4 g時(shí)治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥為上午7：00，問：一天中怎樣安排服藥時(shí)間(共4次)效果最佳？解：(1)依題意得y(2)設(shè)第二次服藥時(shí)在第一次服藥后t1小時(shí)，則t14，解得t14，因而第二次服藥應(yīng)在11：00.設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時(shí)，則此時(shí)血液中含藥量應(yīng)為前兩次服藥后的含藥量的和，即有t2(t24)4，解得t29，故第三次服藥應(yīng)在16：00.設(shè)第四次服藥在第一次服藥后t3(t3>10)小時(shí)，則此時(shí)第一次服進(jìn)的藥已吸收完，血液中含藥量應(yīng)為第二、第三次的和(t34)(t39)4，解得t313.5，故第四次服藥應(yīng)在20：30.指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型例3一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且使森林面積每年比上一年減少p%,10年后森林面積變?yōu)?為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，所剩森林面積至少要為原面積的.已知到今年為止，森林面積為a.(1)求p%的值(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)該森林今后最多還能砍伐多少年？解(1)由題意得a(1p%)10，即(1p%)10，解得p%1.(2)設(shè)經(jīng)過m年森林面積為a，則a(1p%)ma，即，解得m5.故到今年為止，已砍伐了5年(3)設(shè)從今年開始，n年后森林面積為a(1p%)n.令a(1p%)na，即(1p%)n，得，解得n15，故今后最多還能砍伐15年類題通法指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題常可以用指數(shù)函數(shù)模型表示通?？梢员硎緸閥N(1p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間)的形式活學(xué)活用某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場要求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%，若初時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少，問：至少應(yīng)過濾幾次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場要求？(已知： lg 20.301 0，lg 30.477 1)解：依題意，得n，即n.則n(lg 2lg 3)(1lg 2)，故n7.4，考慮到nN，即至少要過濾8次才能達(dá)到市場要求典例(12分)甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農(nóng)村甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)律(總產(chǎn)量)進(jìn)行調(diào)查，提供了兩個(gè)方面的信息，分別得到如下兩圖甲調(diào)查表明：每個(gè)甲魚池平均出產(chǎn)量從第一年1萬只甲魚上升到第六年2萬只；乙調(diào)查表明：甲魚池個(gè)數(shù)由第一年30個(gè)減到第六年10個(gè)請你根據(jù)提供的信息說明：(1)第二年甲魚池的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)甲魚總數(shù)(2)到第六年，這個(gè)縣的甲魚養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模比第一年是擴(kuò)大了還是縮小了？說明理由(3)哪一年的規(guī)模最大？說明理由解題流程活學(xué)活用某商場經(jīng)營一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場銷售中發(fā)現(xiàn)此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間有如下關(guān)系：銷售單價(jià)x/元30404550日銷售量y/件6030150(1)在坐標(biāo)系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實(shí)數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點(diǎn)，并確定x與y的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)設(shè)經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關(guān)系式寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出銷售單價(jià)x為多少時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤解：實(shí)數(shù)對(x，y)對應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，由圖可知y是x的一次函數(shù)(1)設(shè)f(x)kxb，則解得f(x)3x150,30x50，檢驗(yàn)成立(2)P(x30)(3x150)3x2240x4 500,30x50，對稱軸x4030,50答：當(dāng)銷售單價(jià)為40元時(shí)，才能獲得最大日銷售利潤隨堂即時(shí)演練1某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售100臺，第二個(gè)月銷售200臺，第三個(gè)月銷售400臺，第四個(gè)月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x(1x4，xN*)之間關(guān)系的是()Ay100xBy50x250x100Cy502x Dy100x解析：選C當(dāng)x4時(shí)，A中，y400；B中，y700；C中，y800；D中，y1004.故選C.2已知A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/時(shí)的速度從A地到達(dá)B地，在B地停留1小時(shí)后再以50千米/時(shí)的速度返回A地，則汽車離開A地的距離x關(guān)于時(shí)間t(時(shí))的函數(shù)解析式是()Ax60tBx15050tCxDx解析：選D顯然出發(fā)、停留、返回三個(gè)過程中行車速度是不同的，故應(yīng)分三段表示函數(shù)3由于電子技術(shù)的飛速發(fā)展，計(jì)算機(jī)的成本不斷降低，若每隔5年計(jì)算機(jī)的價(jià)格降低，則現(xiàn)在價(jià)格為8 100元的計(jì)算機(jī)15年后的價(jià)格應(yīng)降為_元解析：ya，所以當(dāng)x15時(shí)，y8 10038 1002 400(元)答案：2 4004.如圖所示，折線是某電信局規(guī)定打長途電話所需要付的電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系圖象，根據(jù)圖象填空：(1)通話2分鐘，需付的電話費(fèi)為_元；(2)通話5分鐘，需付的電話費(fèi)為_元；(3)如果t3，則電話費(fèi)y(元)與通話時(shí)間t(分)之間的函數(shù)關(guān)系式為_解析：(1)由題圖可知，當(dāng)t3時(shí)，電話費(fèi)都是3.6元(2)由題圖可知，當(dāng)t5時(shí)，y6，即需付電話費(fèi)6元(3)當(dāng)t3時(shí)，y關(guān)于x的圖象是一條直線，且經(jīng)過(3，3.6)和(5,6)兩點(diǎn)，故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為yktb，則解得故y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y1.2t(t3)答案：(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)5在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)在甲提供的資料中：這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；該店月銷量Q(百件)與銷量價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖所示；每月需各種開支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每百件多少元時(shí)，月利潤扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？解：設(shè)該店月利潤余額為L元，則由題設(shè)得LQ(P14)1003 6002 000，由銷量圖易得Q代入式得L(1)當(dāng)14P20時(shí)，Lmax450元，此時(shí)P19.5元；當(dāng)20<P26時(shí)，Lmax元，此時(shí)P元故當(dāng)P19.5元時(shí)，月利潤余額最大，為450元(2)設(shè)可在n年后脫貧，依題意有12n45050 00058 0000，解得n20.即最早可望在20年后脫貧課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測一、選擇題1一個(gè)模具廠一年中12月份的產(chǎn)量是1月份產(chǎn)量的m倍，那么該模具廠這一年中產(chǎn)量的月平均增長率是()A.B.C.1 D.1解析：選D設(shè)每月的產(chǎn)量增長率為x,1月份產(chǎn)量為a，則a(1x)11ma，所以1x，即x1.2某自行車存車處在某一天總共存放車輛4 000輛次，存車費(fèi)為：電動自行車0.3元/輛，普通自行車0.2元/輛若該天普通自行車存車x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()Ay0.2x(0x4 000)By0.5x(0x4 000)Cy0.1x1 200(0x4 000)Dy0.1x1 200(0x4 000)解析：選C由題意得y0.3(4 000x)0.2x0.1x1 200.3下面是一幅統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個(gè)數(shù)是()(1)這幾年生活水平逐年得到提高；(2)生活費(fèi)收入指數(shù)增長最快的一年是2013年；(3)生活價(jià)格指數(shù)上漲速度最快的一年是2014年；(4)雖然2015年生活費(fèi)收入增長緩慢，但生活價(jià)格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善A1 B2C3 D4解析：選C由題意知，“生活費(fèi)收入指數(shù)”減去“生活價(jià)格指數(shù)”的差是逐年增大的，故(1)正確；“生活費(fèi)收入指數(shù)”在20132014年最陡；故(2)正確；“生活價(jià)格指數(shù)”在20142015年比較平緩，故(3)不正確；“生活價(jià)格指數(shù)”略呈下降，而“生活費(fèi)收入指數(shù)”呈上升趨勢，故(4)正確4某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計(jì)算，計(jì)算公式為y其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)為60，則該公司擬錄用人數(shù)為()A15 B40C25 D130解析：選C若4x60，則x1510，不合題意；若2x1060，則x25，滿足題意；若1.5x60，則x40100，不合題意故擬錄用25人5某城市出租汽車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)為6元，行程不超過2千米者均按此價(jià)收費(fèi)；行程超過2千米，超過部分按3元/千米收費(fèi)(不足1千米按1千米計(jì)價(jià))；另外，遇到堵車或等候時(shí)，汽車雖沒有行駛，但仍按6分鐘折算1千米計(jì)算(不足1千米按1千米計(jì)價(jià))陳先生坐了一趟這種出租車，車費(fèi)24元，車上儀表顯示等候時(shí)間為11分30秒，那么陳先生此趟行程的取值范圍是()A5,6) B(5,6C6,7) D(6,7解析：選B若按x(xZ)千米計(jì)價(jià)，則6(x2)32324，得x6.故實(shí)際行程應(yīng)屬于區(qū)間(5,6二、填空題6在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(米/秒)和燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)的函數(shù)關(guān)系式是v2 000ln.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的_倍時(shí)，火箭的最大速度可達(dá)12千米/秒解析：當(dāng)v12 000時(shí)，2 000ln12 000，ln6，e61.答案：e617一水池有2個(gè)進(jìn)水口、1個(gè)出水口，2個(gè)進(jìn)水口的進(jìn)水速度如圖甲、乙所示，出水口的排水速度如圖丙所示，某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丁所示給出以下3個(gè)論斷：0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水其中一定正確的論斷序號是_解析：從0點(diǎn)到3點(diǎn)，兩個(gè)進(jìn)水口的進(jìn)水量為9，故正確；由排水速度知正確；4點(diǎn)到6點(diǎn)可以是不進(jìn)水，不出水，也可以是開一個(gè)進(jìn)水口(速度快的)、一個(gè)排水口，故不正確答案：8某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批后方可投入生產(chǎn)已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)n(n1)(2n1)噸，但如果年產(chǎn)量超過150噸，將會給環(huán)境造成危害為保護(hù)環(huán)境，環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是_年解析：由題意知，第一年產(chǎn)量為a11233；以后各年產(chǎn)量分別為anf(n)f(n1)n(n1)(2n1)n(n1)(2n1)3n2(nN*)，令3n2150，得1n51n7，故生產(chǎn)期限最長為7年答案：7三、解答題9某租車公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí)，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金每增加60元時(shí)，未租出的車將會增加一輛，租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)160元，未租出的車每月需要維護(hù)費(fèi)40元(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3 900元時(shí)，能租出多少輛車？(2)當(dāng)每輛車的月租金為多少元時(shí)，租車公司的月收益最大？最大月收益是多少？解：(1)租金增加了900元，9006015，所以未租出的車有15輛，一共租出了85輛(2)設(shè)租金提高后有x輛未租出，則已租出(100x)輛租賃公司的月收益為y元，y(3 00060x)(100x)160(100x)40x，其中x0,100，xN，整理，得y60x23 120x284 00060(x26)2324 560，當(dāng)x26時(shí)，y324 560，即最大月收益為324 560元此時(shí)，月租金為3 00060264 560(元)10某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年需投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)1百件這樣的產(chǎn)品，還需增加投入0.25萬元，經(jīng)市場調(diào)查知這種產(chǎn)品年需求量為5百件，產(chǎn)品銷售數(shù)量為t(百件)時(shí)，銷售所得的收入為萬元(1)該公司這種產(chǎn)品的年生產(chǎn)量為x百件，生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品得到的利潤為當(dāng)年產(chǎn)量x的函數(shù)f(x)，求f(x)；(2)當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為多大時(shí)當(dāng)年所獲得的利潤最大解：(1)當(dāng)x5時(shí)，f(x)5xx2(0.25x0.5)x；當(dāng)x>5時(shí)，f(x)5552(0.25x0.5)12x；所以f(x)(2)當(dāng)0<x5時(shí)，f(x)x2，故當(dāng)x百件475件時(shí)，f(x)max(萬元)；當(dāng)x>5時(shí)，f(x)12x<12<.故當(dāng)該公司的年產(chǎn)量為475件時(shí)，當(dāng)年獲得的利潤最大11國慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若旅行團(tuán)人數(shù)在30人或30人以下，飛機(jī)票價(jià)格為900元；若旅行團(tuán)人數(shù)多于30人，則給予優(yōu)惠：每多1人，飛機(jī)票價(jià)格就減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75人為止旅行團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15 000元(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤？解：(1)設(shè)旅行團(tuán)人數(shù)為x，飛機(jī)票價(jià)格為y元，則y即y(2)設(shè)旅行社獲利S元，則S即S因?yàn)镾900x15 000在區(qū)間(0,30上單調(diào)遞增，當(dāng)x30時(shí)，S取最大值12 000，又因?yàn)镾10(x60)221 000在區(qū)間(30,75上，當(dāng)x60時(shí)，S取最大值21 000.故當(dāng)x60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤14