(課標(biāo)通用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤檢測(cè)45 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

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1、課時(shí)跟蹤檢測(cè)(四十五) 高考基礎(chǔ)題型得分練12017河北秦皇島模擬已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA12AB,E為AA1的中點(diǎn),則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案:C解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)AA12AB2,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,0,1),D1(0,0,2)所以(0,1,1),(0,1,2),所以cos,.2正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,點(diǎn)M在AC1上且1,N為B1B的中點(diǎn),則|()A.a B.a C.a D.a答案:A解析:以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxy

2、z,則A(a,0,0),C1(0,a,a),N.設(shè)M(x,y,z),點(diǎn)M在AC1上且,(xa,y,z)(x,ay,az),x,y,z,則M,| a.3在正方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)E為BB1的中點(diǎn),則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B. C. D.答案:B解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,設(shè)棱長(zhǎng)為1,則A1(0,0,1),E,D(0,1,0),(0,1,1),.設(shè)平面A1ED的一個(gè)法向量為n1(1,y,z),所以有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一個(gè)法向量為n2(0,0,1),cosn1,n2.故所成的銳二面角的余弦值為.4在正

3、四棱錐SABCD中,O為頂點(diǎn)在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點(diǎn),且 SOOD,則直線BC與平面PAC所成的角是()A30 B45 C60 D90答案:A解析:如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P.則(2a,0,0),(a,a,0),設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量為n,設(shè)n(x,y,z),則解得可取n(0,1,1),則cos,n,n60,直線BC與平面PAC所成的角是906030.5設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)D1到平面A1BD的距離是()A. B. C. D.答案:D解析:如圖,建立空

4、間直角坐標(biāo)系則D1(0,0,2),A1(2,0,2),B(2,2,0),(2,0,0),(2,2,0)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x,y,z),則令z1,得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距離d.62017河南鄭州模擬在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AB2,BCAA11,則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_答案:解析:以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)n(x,y,z)為平面A1BC1的法向量則即令z2,則y1,x2,于是n(2,1,2),(0,2,0),設(shè)所求線面角為,則sin |cosn,|.7正ABC與正BCD所在平面垂直,則二面角AB

5、DC的正弦值為_答案:解析:取BC中點(diǎn)O,連接AO,DO,建立如圖所示坐標(biāo)系,設(shè)BC1,則A,B,D.,.設(shè)平面ABD的法向量為n(x0,y0,z0),則n0,且n0,z00,且x00,因此取x01,得平面ABD的一個(gè)法向量n(1,1)由于為平面BCD的一個(gè)法向量,cosn,sinn,.8如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1底面ABC,ABBCAA1,ABC90,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角是_答案:60解析:以BC為x軸,BA為y軸,BB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12,則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1),則(0

6、,1,1),(2,0,2),2,cos,EF和BC1所成的角為60.9如圖,在四棱錐 PABCD中,PC底面 ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD2CD2,E是PB的中點(diǎn)(1)求證:平面EAC平面PBC;(2)若二面角 PACE的余弦值為,求直線PA與平面EAC所成角的正弦值(1)證明:PC平面ABCD,AC平面ABCD,ACPC.AB2,ADCD1,ADC90,ACBC,AC2BC2AB2,ACBC.又BCPCC,AC平面PBC.AC平面EAC,平面EAC平面PBC.(2)解:如圖,以C為原點(diǎn),分別為x軸、y軸、z軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0)

7、,A(1,1,0),B(1,1,0)設(shè)P(0,0,a)(a0),則E,(1,1,0),(0,0,a),取m(1,1,0),則mm0,m為平面PAC的一個(gè)法向量設(shè)n(x,y,z)為平面EAC的法向量,則nn0,即取xa,ya,z2,則n(a,a,2)依題意,|cosm,n|,則a1.于是n(1,1,2),(1,1,1)設(shè)直線PA與平面EAC所成角為,則sin |cos,n|,即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.10如圖,在四棱錐 PABCD中,底面ABCD是菱形,ADC60,側(cè)面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD,CD2,M為PB的中點(diǎn)(1)求證:PA平面CDM;(2)求二面角 DMC

8、B的余弦值(1)證明:證法一:取PA的中點(diǎn)N,連接MN,DN,又M為PB的中點(diǎn),所以MNAB,又菱形ABCD中,ABCD,所以MNCD,所以C,D,M,N四點(diǎn)共面取DC的中點(diǎn)O,連接PO.因?yàn)閭?cè)面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCDDC,又因?yàn)镻ODC,所以PO底面ABCD.因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形且ADC60,DC2,DO1,故OADC.因?yàn)镻OAOO,所以DC平面POA,所以DCPA.在PAD中,PDAD2,N為PA的中點(diǎn),所以DNPA.又DNDCD,DN平面CDNM,DC平面CDNM,所以PA平面CDNM,即PA平面CDM.證法二:取DC的中點(diǎn)O,連接PO,OA

9、,因?yàn)閭?cè)面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD.所以PO底面ABCD,因?yàn)榈酌鍭BCD為菱形且ADC60,DC2,DO1,則OADC.以O(shè)原點(diǎn),分別以O(shè)A,OC,OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz,則A(,0,0),P(0,0,),B(,2,0),C(0,1,0),D(0,1,0),所以M,所以,(,0,),(0,2,0),所以02()0,002()00,所以,所以PA平面DMC.(2)解:,(,1,0),設(shè)平面BMC的法向量為n(x,y,z),由n0,得xz0,由n0,得xy0.取x1,則y,z1,所以一個(gè)法向量n(1,1)由(1)知,平面CDM的一個(gè)法向

10、量可取(,0,)所以cosn,.觀察可知二面角 DMCB為鈍角,所以所求二面角的余弦值是. 沖刺名校能力提升練1如圖,PDC所在的平面與長(zhǎng)方形ABCD所在的平面垂直,PDPC4,AB6,BC3.點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),點(diǎn)F,G分別在線段AB,BC上,且AF2FB,CG2GB.(1)求證:PEFG;(2)求二面角PADC的正切值;(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值解:在PCD中,E為CD的中點(diǎn),且PCPD,PECD.又平面PCD平面ABCD,且平面PCD平面ABCDCD,PE平面PCD,PE平面ABCD,取AB的中點(diǎn)H,連接EH,四邊形ABCD是長(zhǎng)方形,則EHCD,如圖所示,以E為原點(diǎn),EH,

11、EC,EP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,PDPC4,AB6,BC3,AF2FB,CG2GB,E(0,0,0),P(0,0,),F(xiàn)(3,1,0),G(2,3,0),A(3,3,0),D(0,3,0),C(0,3,0)(1)證明:(0,0,),(1,2,0),且(0,0,)(1,2,0)0,即EPFG.(2)解:PE平面ABCD,平面ABCD的法向量為(0,0,)設(shè)平面ADP的一個(gè)法向量為n(x1,y1,z1),(3,3,),(0,3,),由于即令z13,則x10,y1,n(0,3)由圖可知二面角PADC是銳角,設(shè)為,則cos ,sin ,tan .(3)解:(3,3,),(1

12、,2,0),設(shè)直線PA與直線FG所成角為,則cos ,直線PA與FG所成角的余弦值為.22017湖北黃岡模擬在等腰梯形ABCD中,ADBC,ADBC,ABC60,N是BC的中點(diǎn),將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn) 90,得到梯形ABCD(如圖)(1)求證:AC平面ABC;(2)求證:CN平面ADD;(3)求二面角ACNC的余弦值(1)證明:ADBC,N是BC的中點(diǎn),ADNC,又ADBC,四邊形ANCD是平行四邊形,ANDC.又ABC60,ABBNAD,四邊形ANCD是菱形,ACBDCB30,BAC90,即ACAB.又平面CBA平面ABC,平面CBA平面ABCAB,AC平面ABC.(2)證明:ADBC,ADBC,ADADA,BCBCB,平面ADD平面BCC,又CN平面BCC,CN平面ADD.(3)解:AC平面ABC,AC平面ABC,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB1,則B(1,0,0),C(0,0),C(0,0,),N,(1,0,),(0,)設(shè)平面CNC的法向量為n(x,y,z),則即取z1,則x,y1,n(,1,1)AC平面ABC,平面CAN平面ABC,又BDAN,平面CAN平面ABCAN,BD平面CAN.設(shè)BD與AN交于點(diǎn)O,則O為AN的中點(diǎn),故O,平面CAN的法向量.cosn,.由圖形可知二面角ACNC為鈍角,二面角ACNC的余弦值為.

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