（課標(biāo)通用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課時跟蹤檢測45 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

課時跟蹤檢測(四十五) 高考基礎(chǔ)題型得分練12017·河北秦皇島模擬已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E為AA1的中點，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案：C解析：以D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AA12AB2，則D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，E(1,0,1)，D1(0,0,2)所以(0，1,1)，(0，1,2)，所以cos，.2正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點M在AC1上且1，N為B1B的中點，則|()A.a B.a C.a D.a答案：A解析：以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.設(shè)M(x，y，z)，點M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，x，y，z，則M，| a.3在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B. C. D.答案：B解析：以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，所以有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，cosn1，n2.故所成的銳二面角的余弦值為.4在正四棱錐SABCD中，O為頂點在底面上的射影，P為側(cè)棱SD的中點，且 SOOD，則直線BC與平面PAC所成的角是()A30° B45° C60° D90°答案：A解析：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)ODSOOAOBOCa，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)，P.則(2a,0,0)，(a，a,0)，設(shè)平面PAC的一個法向量為n，設(shè)n(x，y，z)，則解得可取n(0,1,1)，則cos，n，n60°，直線BC與平面PAC所成的角是90°60°30°.5設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，則點D1到平面A1BD的距離是()A. B. C. D.答案：D解析：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系則D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,2,0)設(shè)平面A1BD的法向量為n(x，y，z)，則令z1，得n(1,1,1)D1到平面A1BD的距離d.62017·河南鄭州模擬在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，則D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為_答案：解析：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n(x，y，z)為平面A1BC1的法向量則即令z2，則y1，x2，于是n(2,1,2)，(0,2,0)，設(shè)所求線面角為，則sin |cosn，|.7正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的正弦值為_答案：解析：取BC中點O，連接AO，DO，建立如圖所示坐標(biāo)系，設(shè)BC1，則A，B，D.，.設(shè)平面ABD的法向量為n(x0，y0，z0)，則·n0，且·n0，z00，且x00，因此取x01，得平面ABD的一個法向量n(1，1)由于為平面BCD的一個法向量，cosn，sinn，.8如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，點E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是_答案：60°解析：以BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)ABBCAA12，則C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(xiàn)(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，EF和BC1所成的角為60°.9如圖，在四棱錐 PABCD中，PC底面 ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中點(1)求證：平面EAC平面PBC；(2)若二面角 PACE的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值(1)證明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC.AB2，ADCD1，ADC90°，ACBC，AC2BC2AB2，ACBC.又BCPCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面PBC.(2)解：如圖，以C為原點，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)設(shè)P(0,0，a)(a0)，則E，(1,1,0)，(0,0，a)，取m(1，1,0)，則m·m·0，m為平面PAC的一個法向量設(shè)n(x，y，z)為平面EAC的法向量，則n·n·0，即取xa，ya，z2，則n(a，a，2)依題意，|cosm，n|，則a1.于是n(1，1，2)，(1,1，1)設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則sin |cos，n|，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.10如圖，在四棱錐 PABCD中，底面ABCD是菱形，ADC60°，側(cè)面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，CD2，M為PB的中點(1)求證：PA平面CDM；(2)求二面角 DMCB的余弦值(1)證明：證法一：取PA的中點N，連接MN，DN，又M為PB的中點，所以MNAB，又菱形ABCD中，ABCD，所以MNCD，所以C，D，M，N四點共面取DC的中點O，連接PO.因為側(cè)面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDDC，又因為PODC，所以PO底面ABCD.因為底面ABCD為菱形且ADC60°，DC2，DO1，故OADC.因為POAOO，所以DC平面POA，所以DCPA.在PAD中，PDAD2，N為PA的中點，所以DNPA.又DNDCD，DN平面CDNM，DC平面CDNM，所以PA平面CDNM，即PA平面CDM.證法二：取DC的中點O，連接PO，OA，因為側(cè)面PDC是正三角形，平面PDC平面ABCD.所以PO底面ABCD，因為底面ABCD為菱形且ADC60°，DC2，DO1，則OADC.以O(shè)原點，分別以O(shè)A，OC，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A(，0,0)，P(0,0，)，B(，2,0)，C(0,1,0)，D(0，1,0)，所以M，所以，(，0，)，(0,2,0)，所以·×0×2()×0，·×00×2()×00，所以，所以PA平面DMC.(2)解：，(，1,0)，設(shè)平面BMC的法向量為n(x，y，z)，由n·0，得xz0，由n·0，得xy0.取x1，則y，z1，所以一個法向量n(1，1)由(1)知，平面CDM的一個法向量可取(，0，)所以cosn，.觀察可知二面角 DMCB為鈍角，所以所求二面角的余弦值是. 沖刺名校能力提升練1如圖，PDC所在的平面與長方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.點E是CD邊的中點，點F，G分別在線段AB，BC上，且AF2FB，CG2GB.(1)求證：PEFG；(2)求二面角PADC的正切值；(3)求直線PA與直線FG所成角的余弦值解：在PCD中，E為CD的中點，且PCPD，PECD.又平面PCD平面ABCD，且平面PCD平面ABCDCD，PE平面PCD，PE平面ABCD，取AB的中點H，連接EH，四邊形ABCD是長方形，則EHCD，如圖所示，以E為原點，EH，EC，EP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，PDPC4，AB6，BC3，AF2FB，CG2GB，E(0,0,0)，P(0,0，)，F(xiàn)(3,1,0)，G(2,3,0)，A(3，3,0)，D(0，3,0)，C(0,3,0)(1)證明：(0,0，)，(1,2,0)，且·(0,0，)·(1,2,0)0，即EPFG.(2)解：PE平面ABCD，平面ABCD的法向量為(0,0，)設(shè)平面ADP的一個法向量為n(x1，y1，z1)，(3,3，)，(0,3，)，由于即令z13，則x10，y1，n(0，3)由圖可知二面角PADC是銳角，設(shè)為，則cos ，sin ，tan .(3)解：(3,3，)，(1,2,0)，設(shè)直線PA與直線FG所成角為，則cos ，直線PA與FG所成角的余弦值為.22017·湖北黃岡模擬在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADBC，ABC60°，N是BC的中點，將梯形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn) 90°，得到梯形ABCD(如圖)(1)求證：AC平面ABC；(2)求證：CN平面ADD；(3)求二面角ACNC的余弦值(1)證明：ADBC，N是BC的中點，ADNC，又ADBC，四邊形ANCD是平行四邊形，ANDC.又ABC60°，ABBNAD，四邊形ANCD是菱形，ACBDCB30°，BAC90°，即ACAB.又平面CBA平面ABC，平面CBA平面ABCAB，AC平面ABC.(2)證明：ADBC，ADBC，ADADA，BCBCB，平面ADD平面BCC，又CN平面BCC，CN平面ADD.(3)解：AC平面ABC，AC平面ABC，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，則B(1,0,0)，C(0，0)，C(0,0，)，N，(1,0，)，(0，)設(shè)平面CNC的法向量為n(x，y，z)，則即取z1，則x，y1，n(，1,1)AC平面ABC，平面CAN平面ABC，又BDAN，平面CAN平面ABCAN，BD平面CAN.設(shè)BD與AN交于點O，則O為AN的中點，故O，平面CAN的法向量.cosn，.由圖形可知二面角ACNC為鈍角，二面角ACNC的余弦值為.