(課標(biāo)通用)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列大題沖關(guān) 理-人教版高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

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1、第六章 數(shù)列高考中數(shù)列問題的熱點(diǎn)題型對(duì)近幾年高考試題統(tǒng)計(jì)看,新課標(biāo)全國卷中的數(shù)列與三角基本上交替考查,難度不大但自主命題的省市高考題每年都考查,難度中等考查內(nèi)容主要集中在兩個(gè)方面:一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運(yùn)算和性質(zhì),題目多為常規(guī)試題;二是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和問題,有時(shí)結(jié)合函數(shù)、不等式等進(jìn)行綜合考查,涉及內(nèi)容較為全面,試題題型規(guī)范、方法可循熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題 解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時(shí),重點(diǎn)在于讀懂題意,靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式解決問題,求解這類問題要重視方程思想的應(yīng)用典題12015湖北卷設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項(xiàng)

2、和為Sn,等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1,b22,qd,S10100.(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)當(dāng)d1時(shí),記cn,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意, 即解得 或 故或(2)由d1知,an2n1,bn2n1,故cn,于是Tn1,Tn.,得Tn23,故Tn6.用錯(cuò)位相減法解決數(shù)列求和問題的步驟第一步:(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列anbn是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn(公比q)的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,則可用此法求和第二步:(乘公比)設(shè)anbn的前n項(xiàng)和為Tn,然后兩邊同乘以q.第三步:(錯(cuò)位相減)乘以公比q后,向后錯(cuò)開一位,使含有qk(kN*)的項(xiàng)對(duì)應(yīng),然后兩邊同時(shí)作差第四步:(求和)

3、將作差后的結(jié)果求和,從而表示出Tn.技巧點(diǎn)撥1分析已知條件和求解目標(biāo),確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題,如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等,確定解題的邏輯次序2等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化,若數(shù)列bn是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列,則abn(a0,a1)就是一個(gè)等比數(shù)列,其公比qad;反之,若數(shù)列bn是一個(gè)公比為q(q0)的正項(xiàng)等比數(shù)列,則logabn(a0,a1)就是一個(gè)等差數(shù)列,其公差dlogaq.設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知S37,且a13,3a2,a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)令bnln a3n1,

4、n1,2,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解:(1)由已知,得a22.設(shè)數(shù)列an的公比為q,由a22,可得a1,a32q,又S37,所以22q7,即2q25q20,解得q2或q.q1,q2,a11.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由(1),得a3n123n,bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2,數(shù)列bn為等差數(shù)列Tnb1b2bnln 2.熱點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)與求和數(shù)列的通項(xiàng)與求和是高考必考的一種題型,重點(diǎn)在于靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式其中求通項(xiàng)是解答題目的基礎(chǔ)同時(shí)要重視方程思想的應(yīng)用典題22015天津卷已知數(shù)列an滿足an2qan(q為實(shí)數(shù),且q1

5、),nN*,a11,a22,且a2a3,a3a4,a4a5成等差數(shù)列(1)求q的值和an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn,nN*,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由已知,有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4),即a4a2a5a3,所以a2(q1)a3(q1)又q1,所以a3a22.由a3a1q,得q2.當(dāng)n2k1(kN*)時(shí),ana2k12k12 ;當(dāng)n2k(kN*)時(shí),ana2k2k2.所以an的通項(xiàng)公式為an(2)由(1),得bn,nN*.設(shè)bn的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn123(n1)n,Sn123(n1)n,上述兩式相減,得Sn12,整理,得Sn4,nN*.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為4,nN

6、*.1根據(jù)所給條件的特點(diǎn),確定合適的方法求通項(xiàng),如根據(jù)an與Sn的關(guān)系求an.根據(jù)遞推關(guān)系求an.2根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)選擇合適的求和方法,常用的有分組求和,裂項(xiàng)求和、錯(cuò)位相減法求和等2017安徽合肥模擬已知數(shù)列an1an的前n項(xiàng)和Sn2n12,a10.(1)求數(shù)列an1an的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解:(1)設(shè)an1anbn.當(dāng)n2時(shí),bnSnSn1(2n12)(2n2)2n.當(dāng)n1時(shí),b1S12,滿足n2時(shí)bn的形式所以an1anbn2n.(2)由(1),得an1an2n,則an2an12n1.兩式相減,得an2an2n.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),ana1(a3a1)(a5a3)(an2an4)

7、(anan2)021232n42n2.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由(1)知,a10,a2a12,得a22.ana2(a4a2)(a6a4)(an2an4)(anan2)222242n42n22.綜上所述,數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an熱點(diǎn)三數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式知識(shí)相結(jié)合的考查方式主要有三種:一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系;二是以數(shù)列為載體,考查不等式的恒成立問題;三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明在解決這些問題時(shí),如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法,如比較法、綜合法、分析法等如果是解不等式問題,要使用不等式的各種不同解法,如數(shù)軸法、因式分解法等主要有以下幾個(gè)命題角度:考查角度一放縮法證明數(shù)

8、列不等式典題3設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0,nN*.(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(3)求證:對(duì)一切正整數(shù)n,有.(1)解由題意知,S(n2n3)Sn3(n2n)0,nN*.令n1,有S(1213)S13(121)0,可得SS160,解得S13或2,即a13或2,又an為正數(shù),所以a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0,nN*,可得(Sn3)(Snn2n)0,則Snn2n或Sn3,又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),所以Snn2n,所以當(dāng)n2時(shí),anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a1221,所以an2n,nN

9、*.(3)證明當(dāng)n1時(shí),成立;當(dāng)n 2時(shí),所以.所以對(duì)一切正整數(shù)n,有.數(shù)列中不等式可以通過對(duì)中間過程或最后的結(jié)果放縮得到即先放縮再求和或先求和再放縮考查角度二數(shù)列中不等式的恒成立問題典題4已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428,且a32是a2,a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若bnanlogan,Snb1b2bn,對(duì)任意正整數(shù)n,Sn(nm)an10恒成立,試求m的取值范圍解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q.依題意,有2(a32)a2a4,代入a2a3a428,得a38.a2a420, 解得 或 又an單調(diào)遞增, an2n.(2)bn2nlog2nn2n,Sn12222323n2n,2Sn122223324(n1)2nn2n1,得Sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.由Sn(nm)an10,得2n1n2n12n2n1m2n10對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,m2n122n1,即m1對(duì)任意正整數(shù)n恒成立11,m1,即m的取值范圍是(,1數(shù)列中有關(guān)項(xiàng)或前n項(xiàng)和的恒成立問題,往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題;求項(xiàng)或前n項(xiàng)和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解

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