（課標通用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列大題沖關(guān) 理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

第六章 數(shù)列高考中數(shù)列問題的熱點題型對近幾年高考試題統(tǒng)計看，新課標全國卷中的數(shù)列與三角基本上交替考查，難度不大但自主命題的省市高考題每年都考查，難度中等考查內(nèi)容主要集中在兩個方面：一是以選擇題和填空題的形式考查等差、等比數(shù)列的運算和性質(zhì)，題目多為常規(guī)試題；二是等差、等比數(shù)列的通項與求和問題，有時結(jié)合函數(shù)、不等式等進行綜合考查，涉及內(nèi)容較為全面，試題題型規(guī)范、方法可循熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題 解決等差、等比數(shù)列的綜合問題時，重點在于讀懂題意，靈活利用等差、等比數(shù)列的定義、通項公式及前n項和公式解決問題，求解這類問題要重視方程思想的應(yīng)用典題12015·湖北卷設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項公式；(2)當d>1時，記cn，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)由題意， 即解得 或 故或(2)由d>1知，an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.，得Tn23，故Tn6.用錯位相減法解決數(shù)列求和問題的步驟第一步：(判斷結(jié)構(gòu))若數(shù)列an·bn是由等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn(公比q)的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，則可用此法求和第二步：(乘公比)設(shè)an·bn的前n項和為Tn，然后兩邊同乘以q.第三步：(錯位相減)乘以公比q后，向后錯開一位，使含有qk(kN*)的項對應(yīng)，然后兩邊同時作差第四步：(求和)將作差后的結(jié)果求和，從而表示出Tn.技巧點撥1分析已知條件和求解目標，確定為最終解決問題需要首先求解的中間問題，如為求和需要先求出通項、為求出通項需要先求出首項和公差(公比)等，確定解題的邏輯次序2等差數(shù)列和等比數(shù)列可以相互轉(zhuǎn)化，若數(shù)列bn是一個公差為d的等差數(shù)列，則abn(a0，a1)就是一個等比數(shù)列，其公比qad；反之，若數(shù)列bn是一個公比為q(q0)的正項等比數(shù)列，則logabn(a0，a1)就是一個等差數(shù)列，其公差dlogaq.設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bnln a3n1，n1,2，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)由已知，得a22.設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a22，可得a1，a32q，又S37，所以22q7，即2q25q20，解得q2或q.q1，q2，a11.故數(shù)列an的通項公式為an2n1.(2)由(1)，得a3n123n，bnln 23n3nln 2.又bn1bn3ln 2，數(shù)列bn為等差數(shù)列Tnb1b2bnln 2.熱點二數(shù)列的通項與求和數(shù)列的通項與求和是高考必考的一種題型，重點在于靈活運用等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項公式與前n項和公式其中求通項是解答題目的基礎(chǔ)同時要重視方程思想的應(yīng)用典題22015·天津卷已知數(shù)列an滿足an2qan(q為實數(shù)，且q1)，nN*，a11，a22，且a2a3，a3a4，a4a5成等差數(shù)列(1)求q的值和an的通項公式；(2)設(shè)bn，nN*，求數(shù)列bn的前n項和解(1)由已知，有(a3a4)(a2a3)(a4a5)(a3a4)，即a4a2a5a3，所以a2(q1)a3(q1)又q1，所以a3a22.由a3a1q，得q2.當n2k1(kN*)時，ana2k12k12 ；當n2k(kN*)時，ana2k2k2.所以an的通項公式為an(2)由(1)，得bn，nN*.設(shè)bn的前n項和為Sn，則Sn1×2×3×(n1)×n×，Sn1×2×3×(n1)×n×，上述兩式相減，得Sn12，整理，得Sn4，nN*.所以數(shù)列bn的前n項和為4，nN*.1根據(jù)所給條件的特點，確定合適的方法求通項，如根據(jù)an與Sn的關(guān)系求an.根據(jù)遞推關(guān)系求an.2根據(jù)數(shù)列的特點選擇合適的求和方法，常用的有分組求和，裂項求和、錯位相減法求和等2017·安徽合肥模擬已知數(shù)列an1an的前n項和Sn2n12，a10.(1)求數(shù)列an1an的通項公式；(2)求數(shù)列an的通項公式解：(1)設(shè)an1anbn.當n2時，bnSnSn1(2n12)(2n2)2n.當n1時，b1S12，滿足n2時bn的形式所以an1anbn2n.(2)由(1)，得an1an2n，則an2an12n1.兩式相減，得an2an2n.當n為奇數(shù)時，ana1(a3a1)(a5a3)(an2an4)(anan2)021232n42n2.當n為偶數(shù)時，由(1)知，a10，a2a12，得a22.ana2(a4a2)(a6a4)(an2an4)(anan2)222242n42n22.綜上所述，數(shù)列an的通項公式是an熱點三數(shù)列與不等式的綜合問題數(shù)列與不等式知識相結(jié)合的考查方式主要有三種：一是判斷數(shù)列問題中的一些不等關(guān)系；二是以數(shù)列為載體，考查不等式的恒成立問題；三是考查與數(shù)列問題有關(guān)的不等式的證明在解決這些問題時，如果是證明題要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法等如果是解不等式問題，要使用不等式的各種不同解法，如數(shù)軸法、因式分解法等主要有以下幾個命題角度：考查角度一放縮法證明數(shù)列不等式典題3設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn滿足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.(1)求a1的值；(2)求數(shù)列an的通項公式；(3)求證：對一切正整數(shù)n，有.(1)解由題意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*.令n1，有S(1213)S13×(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2，又an為正數(shù)，所以a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN*，可得(Sn3)(Snn2n)0，則Snn2n或Sn3，又數(shù)列an的各項均為正數(shù)，所以Snn2n，所以當n2時，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a122×1，所以an2n，nN*.(3)證明當n1時，成立；當n 2時，所以.所以對一切正整數(shù)n，有.數(shù)列中不等式可以通過對中間過程或最后的結(jié)果放縮得到即先放縮再求和或先求和再放縮考查角度二數(shù)列中不等式的恒成立問題典題4已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列an滿足a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，對任意正整數(shù)n，Sn(nm)an10恒成立，試求m的取值范圍解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項為a1，公比為q.依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420， 解得 或 又an單調(diào)遞增， an2n.(2)bn2n·log2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n，2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1，得Sn222232nn×2n1n×2n12n1n×2n12.由Sn(nm)an10，得2n1n×2n12n×2n1m×2n10對任意正整數(shù)n恒成立，m×2n122n1，即m1對任意正整數(shù)n恒成立11，m1，即m的取值范圍是(，1數(shù)列中有關(guān)項或前n項和的恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為數(shù)列的最值問題；求項或前n項和的不等關(guān)系可以利用不等式的性質(zhì)或基本不等式求解