《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》經(jīng)典課件概率論1

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1、2021-5-15 1 概 率 論 與 數(shù) 理 統(tǒng) 計 2 3 u第 一 章 概 率 論 的 基 本 概 念 1.1 隨 機 試 驗 1.2 樣 本 空 間 1.3 概 率 和 頻 率 1.4 等 可 能 概 型 （ 古 典 概 型 ） 1.5 條 件 概 率 1.6 獨 立 性u第 二 章 隨 機 變 量 及 其 分 布 2.1 隨 機 變 量 2.2 離 散 型 隨 機 變 量 及 其 分 布 2.3 隨 機 變 量 的 分 布 函 數(shù) 2.4 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 及 其 概 率 密 度 2.5 隨 機 變 量 的 函 數(shù) 的 分 布u第 三 章 多 維 隨 機 變 量 及 其 分

2、 布 3.1 二 維 隨 機 變 量 3.2 邊 緣 分 布 3.3 條 件 分 布 3.4 相 互 獨 立 的 隨 機 變 量 3.5 兩 個 隨 機 變 量 的 函 數(shù) 的 分 布 4 u第 四 章 隨 機 變 量 的 數(shù) 字 特 征 4.1 數(shù) 學(xué) 期 望 4.2 方 差 4.3 協(xié) 方 差 及 相 關(guān) 系 數(shù) 4.4 矩 、 協(xié) 方 差 矩 陣u第 五 章 大 數(shù) 定 律 和 中 心 極 限 定 理 5.1 大 數(shù) 定 律 5.2 中 心 極 限 定 理 u第 六 章 數(shù) 理 統(tǒng) 計 的 基 本 概 念 6.1 總 體 和 樣 本 6.2 常 用 的 分 布 5 u第 七 章 參 數(shù)

3、估 計 7.1 參 數(shù) 的 點 估 計 7.2 估 計 量 的 評 選 標 準 7.3 區(qū) 間 估 計 u第 八 章 假 設(shè) 檢 驗 8.1 假 設(shè) 檢 驗 8.2 正 態(tài) 總 體 均 值 的 假 設(shè) 檢 驗 8.3 正 態(tài) 總 體 方 差 的 假 設(shè) 檢 驗 8.4 置 信 區(qū) 間 與 假 設(shè) 檢 驗 之 間 的 關(guān) 系 8.5 樣 本 容 量 的 選 取 8.6 分 布 擬 合 檢 驗 8.7 秩 和 檢 驗u第 九 章 方 差 分 析 及 回 歸 分 析 9.1 單 因 素 試 驗 的 方 差 分 析 9.2 雙 因 素 試 驗 的 方 差 分 析 9.3 一 元 線 性 回 歸 9.4

4、 多 元 線 性 回 歸 6 u第 十 章 隨 機 過 程 及 其 統(tǒng) 計 描 述 10.1 隨 機 過 程 的 概 念 10.2 隨 機 過 程 的 統(tǒng) 計 描 述 10.3 泊 松 過 程 及 維 納 過 程u第 十 一 章 馬 爾 可 夫 鏈 11.1 馬 爾 可 夫 過 程 及 其 概 率 分 布 11.2 多 步 轉(zhuǎn) 移 概 率 的 確 定 11.3 遍 歷 性u第 十 二 章 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 12.1 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 的 概 念 12.2 各 態(tài) 歷 經(jīng) 性 12.3 相 關(guān) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 12.4 平 穩(wěn) 過 程 的 功 率 譜 密 度 9 1 隨 機 試

5、驗確 定 性 現(xiàn) 象 ： 結(jié) 果 確 定不 確 定 性 現(xiàn) 象 ： 結(jié) 果 不 確 定 確 定 性 現(xiàn) 象不 確 定 性 現(xiàn) 象確 定不 確 定不 確 定自 然 界 與 社 會 生 活 中 的 兩 類 現(xiàn) 象v例 ： v 向 上 拋 出 的 物 體 會 掉 落 到 地 上 明 天 天 氣 狀 況 買 了 彩 票 會 中 獎 10 概 率 統(tǒng) 計 中 研 究 的 對 象 ： 隨 機 現(xiàn) 象 的 數(shù) 量 規(guī) 律 對 隨 機 現(xiàn) 象 的 觀 察 、 記 錄 、 試 驗 統(tǒng) 稱 為 隨 機 試 驗 。 它 具 有 以 下 特 性 ： 可 以 在 相 同 條 件 下 重 復(fù) 進 行 事 先 知 道 可

6、能 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果 進 行 試 驗 前 并 不 知 道 哪 個 試 驗 結(jié) 果 會 發(fā) 生 v例 ： 拋 一 枚 硬 幣 ， 觀 察 試 驗 結(jié) 果 ； 對 某 路 公 交 車 某 停 靠 站 登 記 下 車 人 數(shù) ； 對 某 批 電 子 產(chǎn) 品 測 試 其 輸 入 電 壓 ； 對 聽 課 人 數(shù) 進 行 一 次 登 記 ； 11 2 樣 本 空 間 隨 機 事 件(一 )樣 本 空 間 定 義 ： 隨 機 試 驗 E的 所 有 結(jié) 果 構(gòu) 成 的 集 合 稱 為 E的 樣 本 空 間 ， 記 為 S=e， 稱 S中 的 元 素 e為 基 本 事 件 或 樣 本 點 S=0,1,2, ；

7、 S=正 面 ， 反 面 ；S=(x,y)|T 0 y x T1；S= x|a x b 記 錄 一 城 市 一 日 中 發(fā) 生 交 通 事 故 次 數(shù)v 例 ： 一 枚 硬 幣 拋 一 次 記 錄 某 地 一 晝 夜 最 高 溫 度 x， 最 低 溫 度 yv 記 錄 一 批 產(chǎn) 品 的 壽 命 x 12 (二 ) 隨 機 事 件 一 般 我 們 稱 S的 子 集 A為 E的 隨 機 事 件 A， 當 且僅 當 A所 包 含 的 一 個 樣 本 點 發(fā) 生 稱 事 件 A發(fā) 生 。S 0,1,2, ；記 A 至 少 有 10人 候 車 10,11,12, S，A為 隨 機 事 件 ， A可 能

8、 發(fā) 生 ， 也 可 能 不 發(fā) 生 。例 ： 觀 察 89路 公 交 車 浙 大 站 候 車 人 數(shù) ， 如 果 將 S亦 視 作 事 件 ， 則 每 次 試 驗 S總 是 發(fā) 生 ， 故 又 稱 S為 必 然 事 件 。為 方 便 起 見 ， 記 為 不 可 能 事 件 ， 不 包 含 任 何 樣 本 點 。 13 3 頻 率 與 概 率(一 )頻 率 定 義 ： 記 其 中 A發(fā) 生 的 次 數(shù) (頻 數(shù) )； n 總 試 驗 次 數(shù) 。 稱 為 A在 這 n次 試 驗 中 發(fā) 生 的 頻 率 。 例 ：中 國 國 家 足 球 隊 ， “ 沖 擊 亞 洲 ” 共 進 行 了 n次 ， 其

9、 中 成 功 了一 次 ， 則 在 這 n次 試 驗 中 “ 沖 擊 亞 洲 ” 這 事 件 發(fā) 生 的 頻 率 為某 人 一 共 聽 了 17次 “ 概 率 統(tǒng) 計 ” 課 ， 其 中 有 15次 遲 到 ， 記A=聽 課 遲 到 ， 則 # 頻 率 反 映 了 事 件 A發(fā) 生 的 頻 繁 程 度 。An( ) nAf An n ；( )nf A 1 n；( ) 15 17 88%nf A ( )nf A 試 驗序 號 n =5 n =50 n =500nH fn(H) nH fn(H) nH fn(H)12345678910 2315124233 0.40.60.21.00.20.40.

10、80.40.60.6 22252125242118242731 0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62 251249256253251246244258262247 0.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表 1 例：拋硬幣 出現(xiàn) 的正面的頻 率 15 實 驗 者 n nH fn(H)德摩根 2048 1061 0.5181蒲 豐 4040 2048 0.5069K皮 爾 遜 12000 6019 0.5016K皮 爾 遜 24000 12012 0.5005表 2 16 * 頻 率 的 性

11、質(zhì) ：且 隨 n的 增 大 漸 趨 穩(wěn) 定 ， 記 穩(wěn) 定 值 為 p( ) nf A 1 2 11 1 0 ( ) 12 ( ) 13 , ( ) ( )nn k kk n i n iiif Af SA A A f A f A 。 。 。 若 , , 兩 兩 互 不 相 容 ， 則 17 4 等 可 能 概 型 （ 古 典 概 型 ）定 義 ： 若 試 驗 E滿 足 ：vS中 樣 本 點 有 限 (有 限 性 )v出 現(xiàn) 每 一 樣 本 點 的 概 率 相 等 (等 可 能 性 ) AP A S 所 包 含 的 樣 本 點 數(shù)中 的 樣 本 點 數(shù)稱 這 種 試 驗 為 等 可 能 概 型

12、(或 古 典 概 型 )。 18 v例 2： 從 上 例 的 袋 中 不 放 回 的 摸 兩 球 ，v 記 A=恰 是 一 紅 一 黃 ， 求 P(A)v 解 ： 1 1 23 5 8 15( ) / 53.6%28P A CC C ( ) / , 0,1, , k n k nk D N D NP A C C C k n 0LmC （ 注 ： 當 Lm或 L0， i=1,2, ,n；則 稱 ： 1 2 nA AS AB AB AB 1 ( ) ( | )( | ) ( ) ( | )i ii n j jj P B P A BP B A P B P A B ( )( | ) ( )ii P BA

13、P B A P A i jAB ABi j與不 相 容1( ) ( ) ( | )n j jjP A P B P A B 為 全 概 率 公 式1( ) ( )n jjP A P AB 1 ( ) ( | )n j jj P B P A B B1B2 BnSA 證 明 ： 定 理 ： 接 上 定 理 條 件 ， 稱 此 式 為 Bayes公 式 。 28 13.當 滿 足 什 么 條 件 時 稱 事 件 組 A1,A2, ,An為 樣 為 本 空 間 的 一 個 劃 分 ？14.設(shè) A,B,C為 三 隨 機 事 件 ， 當 AB， 且 P(A)0, P(B)0時 ，P(C|A)+P(C|B)有

14、 意 義 嗎 ？ 試 舉 例 說 明 。15.設(shè) A,B,C為 三 隨 機 事 件 ,且 P(C)0,問 P(A B|C)=P(A|C)+P(B|C) P(AB|C)是 否 成 立 ？若 成 立 ， 與 概 率 的 加 法 公 式 比 較 之 。 29 第 二 章 隨 機 變 量 及 其 分 布關(guān) 鍵 詞 ：隨 機 變 量 概 率 分 布 函 數(shù) 離 散 型 隨 機 變 量 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 隨 機 變 量 的 函 數(shù) 30 例 ： 設(shè) 有 80臺 同 類 型 設(shè) 備 ， 各 臺 工 作 是 相 互獨 立 的 ， 發(fā) 生 故 障 的 概 率 都 是 0.01， 且 一 臺 設(shè)備 的

15、故 障 能 有 一 個 人 處 理 。 考 慮 兩 種 配 備 維 修 工 人 的 方 法 ， 其 一 是 由 4個 人 維 護 ， 每 人 負 責 20臺 ； 其 二 是 由 3個 人 共 同 維 護 80臺 。 試 比 較 這 兩 種 方 法 在 設(shè) 備 發(fā) 生 故 障 時 不 能 及時 維 修 的 概 率 的 大 小 。 31 1,2,3,4 20iXA i i解 ： 以 記 “ 第 一 人 維 護 的 20臺 中 同 一 時 刻 發(fā) 生 故 障 的 臺 數(shù) ” 。 以 表 示 事 件 “ 第 人 維 護 的 臺 中 發(fā) 生 故 障 不 能 及 時 維 修 ” ， 則 知 80臺 中 發(fā)

16、 生 故 障 不按 第 一 種 方 法 。 能 及 時 維 修 的 概 率 為 ： 1 2 3 4 1 2P A A A A P A P X 20,0.01 ,X b而 故 有 ： 102 1 kP X P X k 1 202001 0.01 0.99 0.0169k kkk C 1 2 3 4 0.0169P A A A A 即 有 ： 80, 80,0.01 ,80 YY b按 第 二 種 以 記 臺 中 同 一 時 刻 發(fā) 生 故 障 的 臺 數(shù) ，此 時故 臺 中 發(fā) 生 故 障 而 不 能 及 時 維 修方 法 。 的 概 率 為 ： 3 808004 1 0.01 0.99 0.0

17、087k kkkP Y C 32 例 ： 在 區(qū) 間 (-1,2)上 隨 機 取 一 數(shù) X， 試 寫 出 X的 概 率 密 度 。 并 求 的 值 ； 若 在 該 區(qū) 間 上 隨 機 取 10個 數(shù) ， 求 10個 數(shù) 中 恰有 兩 個 數(shù) 大 于 0的 概 率 。 1, 1 2( ) 30, xf x 其 他2( 0) ,3P X 2 (10, )3Y b 2 8210 2 1( 2) 3 3PY C ( 0)P X 解 ： X在 區(qū) 間 (-1,2)上 均 勻 分 布 設(shè) 10個 數(shù) 中 有 Y個 數(shù) 大 于 0，則 ： 33 2 10t N tt Poisson TT 例 ： 某 大

18、型 設(shè) 備 在 任 何 長 度 為 的 區(qū) 間 內(nèi) 發(fā) 生 故 障 的 次 數(shù) 服 從 參 數(shù) 為 的 分 布 ， 記 設(shè) 備 無 故 障 運 行 的 時 間 為 1 求 的 概 率 分 布 函 數(shù) ； 已 知 設(shè) 備 無 故 障 運 行 個 小 時 ， 求 再 無 故 障 運 行 8個 小 時 的 概 率 。 / !, 0,1,2,ktP N t k e t k k 解 ： 1 0 0 Tt F t 當 時 ， 1TF t P T t P T t 0 1 0 1 tTt F t P N t e 當 時 ， 8182 18| 10 810P TP T T e P TP T 34 X的 取 值

19、呈 中 間 多 ， 兩 頭 少 ， 對 稱 的 特 性 。 當 固 定 時 ， 越 大 ， 曲 線 的 峰 越 低 ， 落在 附 近 的 概 率 越 小 ， 取 值 就 越 分 散 ， 是 反 映 X的 取 值 分 散 性 的 一 個 指 標 。 在 自 然 現(xiàn) 象 和 社 會 現(xiàn) 象 中 ， 大 量 隨 機 變 量服 從 或 近 似 服 從 正 態(tài) 分 布 。 35 復(fù) 習(xí) 思 考 題 21.什 么 量 被 稱 為 隨 機 變 量 ？ 它 與 樣 本 空 間 的 關(guān) 系 如 何 ？2.滿 足 什 么 條 件 的 試 驗 稱 為 “ n重 貝 努 里 試 驗 ” ？3.事 件 A在 一 次 試

20、 驗 中 發(fā) 生 的 概 率 為 p,0p1。 若 在 n次 獨 立 重 復(fù) 的 試驗 中 ， A發(fā) 生 的 總 次 數(shù) 為 X,則 X服 從 什 么 分 布 ？ 并 請 導(dǎo) 出 ：4.什 么 條 件 下 使 用 泊 松 近 似 公 式 等 式 較 為 合 適 ？5.什 么 樣 的 隨 機 變 量 稱 為 連 續(xù) 型 的 ？6.若 事 件 A為 不 可 能 事 件 ， 則 P(A)=0,反 之 成 立 嗎 ？ 又 若 A為 必 然 事 件 ， 則 P(A)=1， 反 之 成 立 嗎 ？7.若 連 續(xù) 型 隨 機 變 量 X在 某 一 區(qū) 間 上 的 概 率 密 度 為 0， 則 X落 在 該 區(qū) 間 的 概 率 為 0， 對 嗎 ？ 8.若 隨 機 變 量 X在 區(qū) 間 (a,b)上 均 勻 分 布 ， 則 X落 入 (a,b)的 任 意 一 子 區(qū) 間 (a1,b1)上 的 概 率 為 (b1-a1)/(b-a),對 嗎 ？9.若 X N(,2)， 則 X的 概 率 密 度 函 數(shù) f(x)在 x=處 值 最 大 ， 因 此 X落 在附 近 的 概 率 最 大 ， 對 嗎 ？ 1 , 0,1, ,n kk knP X k C p k k n 2021-5-15 課 件 待 續(xù) !