北京航空航天大學電磁場理論教學團隊

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1、電磁場理論講稿第 10講靜磁場北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 2 內容: 1.靜磁場的矢量位,磁矢位和磁標位2.位場在遠離源的區(qū)域中的多極子展開式計算靜磁場的方法有兩種1.直接法：畢奧-沙瓦定律2.磁場的矢量位北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 3 畢奧_沙瓦定律：由電流分布直接求磁場 H r J r 一.電流

2、元產生的磁場 mAr isIdHd PQ rQP /41 2 安培定律Ids Q QPr PHd rQPi 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 4 二.閉合電流線產生的磁場 2 /4 QP Q Q rC QPds iIH A mr PQI sQd QC QP r 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 5 利用式計算一個圓形電流線在圓心處的磁場強度 x yI 0z H(0,0,0)sQd (P) RQPr

3、 2 /4 Q Q rQPC QPds iIH A mr 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 6 有: mARIidsRIiRdsiIH zCzC Qz /2440,0,0 22 三.分布電流產生的磁場電流分布在某個空間區(qū)域內,電流分布的區(qū)域為電流密度為取體積元 QV QrJ QdV體積元到觀察點的位移矢量為QPr 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 7 Q QPV QQP rQP dVr irJ

4、rH 2 )(41)( QV QJ r QdV QPr P 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 8 磁場的矢量位一.靜磁場方程)()( rJrH 0)( 0 rH 0)( rJ 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 9 電流一定是無散的,即電流線是連續(xù)的,若電流分布在有限區(qū)域中,電流線應是閉合的.磁力線所在的平面都應與該處的電流線垂直.即磁場無通量源.二.磁場的矢量位是無散的,任何矢量場的旋度都是無散

5、的.可設為某一矢量場的旋度. 0H 0H )()(0 rArH 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 10 矢量場即可稱為靜磁場的矢量位,但對于靜磁場, 并不是唯一的 rA rA )()()( rfrArA 0 f故: )()()()()( 0 rHrArfrArA 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 11 由亥姆霍爾定理可知,唯一確定一個矢量場必須給定它的旋度和散度0)( rA 三.磁矢量位的方程

6、我們定義磁矢量位的目的是通過它來求解靜磁場.)()( 0 rJrA 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 12 )()( 02 rJrA )()( 02 rJrA kk zyxk ,四.磁矢位方程的解)()( 02 rJrA kk zyxk ,與靜電位的泊松方程對比,將 02 rr 中的換成 0 r Qk rJ 0得: 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 13 QV QQPQkPk dVr rJrA

7、)(4)( 0 zyxk ,解為: )/()(4)( 0 mWbdVrrJrA Q QPQP 對于穩(wěn)定閉合電流線,磁矢位為)/(4)( 0 mWbrsdIrA QC QPQP 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 14而一個電流元產生的磁矢量位應是sId電流元產生的磁矢量位的方向與電流元的方向平行QPr sIdAd 40 QQ C QQPC QPQP sdrImWbrsdIrA 4)/(4)( 00 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學

8、電磁場理論教學團隊 15 磁場強度H )/()(41)(1)( 000 mAdVrrJrArH QQPQPP 由式 AfAfAf 有: QQV QPPQV QPQP dVrJrdVrrJH QQ )()1(41)(41 )/()(41 2 mAdVr irJ QV QP rQQ QP 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 16 五.磁矢位的物理意義一般書中,只是將作為處理靜電場時所用的數學手段,并不賦予具體的物理意義.近來,一些著作中,對的物理意義做了某些解釋,對于這些解釋,學術

9、界尚無公認的結果,讀者可根據自己的理解作些探討。 rA rA 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 17 六.邊界條件靜磁場的場方程,相應的邊界條件為KHHin )( 21 0)( 2010 HHin 0)( 21 KJJin 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 18 6.1.3 例題1.求出圖6-5所示的載流直導線在xoy平面上產生的磁場強度。zIl -l PQds0 x yQPrcr圖6-5 北京

10、航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 19 解：由圖6-5可知，電流線上的電流元應為。Idziz電流元與xoy 面上的任一點P 之間的距離21)( 22 QCQP zrr 這樣，我們根據式 QPr sIdAd 40 可知電流元產生的磁矢位為北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 20因此，整個電流線產生的磁矢位應為21)(4 4 2200 QC QzQPQzP zr IdzirIdziAd 北京航空

11、航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 21xoy平面上的磁場沒有z分量，故可用上式的磁矢量位來求磁場強度 llr llrIizr IdzirA CCzll QC Qz 22 220220 ln4)(4)( 21 )/(ln2 220 mWbr llrIi CCz 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 22其中如圖6-5所示。當時，即為一條無限長的直導線,則即可得到l ,1cos,0 )/(cos22)(1)( 22

12、0 mArIilrr lIirArH CCC 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 23 )/(2)( mArIirH C與以前所求得的無限長電流線的磁場結果一致。2. 現(xiàn)在，我們來求一個圓形電流環(huán)在遠離環(huán)的空間產生的電場。系統(tǒng)如圖6-6所示。北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 24Ix z yP0 a Q Qr QPrsr Qds 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北

13、京航空航天大學電磁場理論教學團隊 25 由式可知，電流環(huán)產生的磁矢位為2 0 0 0 ( sin cos )( ) 4 4Q Q z Q y Q QC QP QPds i iI IAr adr r )/(4)( 0 mWbrsdIrA QC QPQP 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 26 其中ds的變換可由圖6-7得到。由余弦定理可得到在的條件下，我們有ar 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學

14、電磁場理論教學團隊 27 通過級數展開，略去高次項，可得)cos11)cos21(11 21 SSSSQP rarrarr （將此式代入式中，即有 20 0 0 ( sin cos )( ) 4 4Q Q z Q y Q QC QP QPds i iI IA r adr r 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 28注意到 P點得坐標是，Q點的坐標是，是和之間的夾角，則可得 Qa ,2, ,sr Pr Qr 200 )cossin)(cos1(4)( QQyQzSS dii

15、rarIarA QQyQzS diirIa )cossin(cos4 20220 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 29 QQS QP ar rr sinsinsincoscossincos 代入式即有 200 )cossin)(cos1(4)( QQyQzSS diirarIarA 2 20 2 0 cos ( sin cos )4 z Q y Q QSIa i i dr 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教

16、學團隊 30上式中的四個積分中，第一個積分和第四個積分均為零，而 20 20 22 cossin QQQQ dd 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 31 因此可得)/(sin4)(4sin)cossin()( 20220 mWbrmiIariirA SSyx 其中)( 22 mAIam 稱為電流環(huán)的磁偶極矩。由此可得電流環(huán)在遠處的磁場為北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 32 )/)(sin

17、cos2(4)(1)( 20 mAiirmrArH SrS 同矢量電偶極矩相對應，矢量磁偶極矩的方向定義為與電流環(huán)中電流流動方向成右手螺旋的方向。在本例中，就是的方向，因此，在本題中，電流環(huán)的矢量磁偶極矩可寫為zi )( 22 mAIaim z 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 33 應該注意的是，在計算時，通常遇到的是矢量積分，這時，一般以在直角坐標系中運算較為方便，因為直角坐標系的單位矢量是常矢量，矢量積分容易化為標量積分。 rA 北京航空航天大學電磁場理論教

18、學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 34 標量位只在無旋區(qū)域才能定義0)( rH 0)( rJ 要求在求解區(qū)域內: 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 35 磁標位一.磁標位的定義若討論的區(qū)域內,不存在電流分布,這樣的區(qū)域,磁場是保守場,可用一個標量場的梯度來表示,稱為該磁場的磁標位 ,記為 m )()( rrH m 若想保持在無源場區(qū)域中的單值性,則該區(qū)域只能是單連域 rm 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京

19、航空航天大學電磁場理論教學團隊 36 ( ) ( ) ( )m P Pr H r ds A 參考點靜電場的標量位并不要求區(qū)域是單連域.這是他們的不同點.原因是:計算式( ) ( ) ( )m P Pr H r ds A 參考點時,若積分路徑繞電流一圈,積分值就增加一個電流值,繞n圈,積分值就增加n倍電流值.復通域不能保證的單值性.而在圖6-9中,可保證單值性 r m 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 37 y xs y x y xss單連域圖6-9 北京航空

20、航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 38 二.磁標位的方程和方程解族和靜電問題一樣,首先應得到的方程和方程的解在無電流分布的區(qū)域中,可用磁標位求解磁場問題,磁標位是應該滿足拉普拉斯方程的.已知磁標位是滿足拉普拉斯方程,求方程解族的工作與在靜電場中討論過的完全一樣.但在解釋方程解的物理意義方面,磁標位與靜電位是有不能類比之處的。不能類比的情況如下: 02 rm rm r m rm rm r 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論

21、教學團隊 39 crBA ln1、在柱坐標中，的拉普拉斯方程解，對于靜電位來說，反映的是無限長均勻帶電直線的電場位形式，但對于磁標位來說，這種形式的解是沒有物理意義的。2、在球坐標中，的拉普拉斯方程解，對于靜電位來說，反映的是點電荷的電位形式，但對于磁標位來說，這種形式的解也是沒有意義的。rm SrBA r rm 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 40 解釋：這兩種形式的解都出現(xiàn)在給定的靜電系統(tǒng)凈電荷量不為零的情況，反映了凈電荷量對位場的貢獻。若系統(tǒng)的凈電荷量為零，就不會出現(xiàn)這

22、兩種形式的解了。而對于磁場來說，因為沒有磁荷存在，自然也就不會存在凈磁荷不為零的系統(tǒng)，因此，這兩種形式的解就不存在了。3、拉普拉斯方程中，形式的解，對于靜電位來說，反映的是角的兩邊分別是常數電位的二維角域中電場位的形式，其中的變化范圍小于2 。而對于磁標位來說，這種形式的解反映的是無限長電流直線產生的磁標位，的變化范圍是全方位的、 DC rm 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 41 4.球坐標中，形式的拉普拉斯方程解，對于靜電位來說，反映的是兩個電位分別為常數的共頂點共軸線的錐面間區(qū)

23、域內的電場位形式。而對于磁標位來說，這種形式的解沒有物理意義。 r rm 2ln tgDC四.邊界條件: nKmm iiirKrr | 12 | 21 n rn r mm 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 42 注意這里沒有 ,因為它與式 nKmm iiirKrr | 12 矛盾 | 21 rr mm 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 43 6.3 位函數在遠區(qū)的多極子展開式處理遠離有限分布源所

24、在的電磁場分布規(guī)律的問題通常使用多極子展開式。分布在內的電荷，在觀察點 P產生的電位，QV Qr QV QPQP Vdrrr Q 04 1 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 440 x z yP(x,y,z)Q(x ,y,z) VQrQ rP rqp)( Qr圖6-14 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 45 其中)()()( 222 zzyyxxrr QPQP QPQP rrr 所謂遠區(qū)，就

25、是遠離源分布的區(qū)域，所以有 maxQP rr 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 46 一、的級數展開式QPr 1多元函數和處的值可以在展開為級數，即 zyxf , zzyyxxf , zyx , 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 47 zyxfzzyyxxn zyxfzzyyxx zyxfzzyyxxzyxf zfyzfxyfx fzfyfx zfyfxfzyxfzzyyxxf n yzx

26、zxy zzyyxx zyx,!1 ,!21 ,!11, )222 (!21 , 2222 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 48 其中， .。 zyxfxfx , zyxfyxfxy ,2現(xiàn)在若令 QPrzzyyxxf 1, 則有 sP rrzyxfzzyyxx 11, 代入式北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 49 zyxfzzyyxxn zyxfzzyyxx zyxfzzyyxxzyxf

27、zfyzfxyfx fzfyfx zfyfxfzyxfzzyyxxf n yzxzxy zzyyxx zyx,!1 ,!21 ,!11, )222 (!21 , 2222 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 50 有如果將簡寫為，即定義 zzyyxx Qr sn sssQP rzzyyxxn rzzyyxxrzzyyxxrr 1!1)1( 1!21111 2 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 5

28、1 Qrzzyyxx 則可得 snQn sQsQsQP rrn rrrrrr 1!)1( 1!21111 2 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 52 這樣就得到了在處的展開式。QPr1 )( sP rr 二. 的展開式 r . 10 PnPPP rrrr 其中 0 00 01 414 4QQ QP QV SQ QVS r Srr dVr Qr dVr r 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 53

29、 1 02 20 01 1 4 14 4Qs QP Q Q QV Sr rsQ Q QVS sr r r dVri p ir r dVr r 相當于將內所有電荷的總量集中在原點處后,在空間產生的電位. 稱為的零級電位 QV Pr0 Prp QV QQQ dVrr 稱為內分布電荷的偶極矩QV 稱為的一級電位,它是內分布電荷的偶極子勢 Pr1 Pr QV 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 54 依此類推: QQV SQP dVrrrr 0 1214 1 202稱為的二級電位,它是內分布

30、電荷的四極子勢 Pr QV QQV SnQnPn dVrrrnr 0 1!114 1 0稱為的n級電位,它是內分布電荷的極子勢 Pr QV n2 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 55 顯然: 11n nSr r 三.電位多極子展開式的物理意義 r遠離電荷分布區(qū)域的空間中,當時 . 10 rrrr nP 物理上,說明分布在有限區(qū)域中的電荷系統(tǒng)在遠離系統(tǒng)的空間中產生的場是由點電荷場和各種多極子場構成的. max)( QS rr 北京航空航天大學電磁場理論教學

31、團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 56 mDmCPrBrAr mmmnn nm nS nnSnP sincoscos0 0 1 與多極子展開式對照,可知: srBAr 00 mDmCPrBrAr mmmm SS sincoscos11 0 2111 . mDmCPrBrAr mmmnnm nS nSnn sincoscos0 1 . 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 57 四.多極子展開式的應用 ,.1,.,1,1 1210 nsnss rrrrrr 11

32、 sr .111.111 2132 nsnsnssss rrrrrr . 1110 rrrrr nnn 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 58 對于電荷分布區(qū)內靜電荷量不為零的系統(tǒng),它的遠區(qū)場 SnetQV QsOPP rQdVrrrr Q 00 44 1 如果系統(tǒng)靜電荷為零,則 ,此時: 1 2 04 rsP P sp ir r r 00 r 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 59x y z-qq0 Pr P圖6-15 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 60 x y z-q2q q q-q2q -2q2q 2q qi z 3圖6-16(a) (b) (c) 北京航空航天大學電磁場理論教學團隊北京航空航天大學電磁場理論教學團隊 61 作業(yè)nPp146： 2nPp224:37,38,39

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