北京航空航天大學(xué)電磁場(chǎng)理論教學(xué)團(tuán)隊(duì)

電 磁 場(chǎng) 理 論 講 稿 第 10講 靜 磁 場(chǎng)北 京 航 空 航 天 大 學(xué)電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 2 內(nèi)容: 1.靜磁場(chǎng)的矢量位,磁矢位和磁標(biāo)位2.位場(chǎng)在遠(yuǎn)離源的區(qū)域中的多極子展開(kāi)式計(jì)算靜磁場(chǎng)的方法有兩種1.直接法：畢奧-沙瓦定律2.磁場(chǎng)的矢量位 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 3 畢奧_沙瓦定律：由電流分布直接求磁場(chǎng) H r J r 一.電流元產(chǎn)生的磁場(chǎng) mAr isIdHd PQ rQP /41 2 安培定律Ids Q QPr PHd rQPi 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 4 二.閉合電流線產(chǎn)生的磁場(chǎng) 2 /4 QP Q Q rC QPds iIH A mr PQI sQd QC QP r 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 5 利用式計(jì)算一個(gè)圓形電流線在圓心處的磁場(chǎng)強(qiáng)度 x yI 0z H(0,0,0)sQd (P) RQPr 2 /4 Q Q rQPC QPds iIH A mr 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 6 有: mARIidsRIiRdsiIH zCzC Qz /2440,0,0 22 三.分布電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)電流分布在某個(gè)空間區(qū)域內(nèi),電流分布的區(qū)域?yàn)?電流密度為 取體積元 QV QrJ QdV體積元到觀察點(diǎn)的位移矢量為QPr 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 7 Q QPV QQP rQP dVr irJrH 2 )(41)( QV QJ r QdV QPr P 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 8 磁場(chǎng)的矢量位一.靜磁場(chǎng)方程)()( rJrH 0)( 0 rH 0)( rJ 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 9 電流一定是無(wú)散的,即電流線是連續(xù)的,若電流分布在有限區(qū)域中,電流線應(yīng)是閉合的.磁力線所在的平面都應(yīng)與該處的電流線垂直.即磁場(chǎng)無(wú)通量源.二.磁場(chǎng)的矢量位 是無(wú)散的,任何矢量場(chǎng)的旋度都是無(wú)散的.可設(shè) 為某一矢量場(chǎng)的旋度. 0H 0H )()(0 rArH 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 10 矢量場(chǎng) 即可稱(chēng)為靜磁場(chǎng)的矢量位,但對(duì)于靜磁場(chǎng), 并不是唯一的 rA rA )()()( rfrArA 0 f故: )()()()()( 0 rHrArfrArA 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 11 由亥姆霍爾定理可知,唯一確定一個(gè)矢量場(chǎng)必須給定它的旋度和散度0)( rA 三.磁矢量位的方程我們定義磁矢量位的目的是通過(guò)它來(lái)求解靜磁場(chǎng).)()( 0 rJrA 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 12 )()( 02 rJrA )()( 02 rJrA kk zyxk ,四.磁矢位方程的解)()( 02 rJrA kk zyxk ,與靜電位的泊松方程對(duì)比,將 02 rr 中的 換成 0 r Qk rJ 0得: 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 13 QV QQPQkPk dVr rJrA )(4)( 0 zyxk ,解為: )/()(4)( 0 mWbdVrrJrA Q QPQP 對(duì)于穩(wěn)定閉合電流線,磁矢位為)/(4)( 0 mWbrsdIrA QC QPQP 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 14而一個(gè)電流元 產(chǎn)生的磁矢量位應(yīng)是sId電流元產(chǎn)生的磁矢量位的方向與電流元的方向平行QPr sIdAd 40 QQ C QQPC QPQP sdrImWbrsdIrA 4)/(4)( 00 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 15 磁場(chǎng)強(qiáng)度H )/()(41)(1)( 000 mAdVrrJrArH QQPQPP 由式 AfAfAf 有: QQV QPPQV QPQP dVrJrdVrrJH QQ )()1(41)(41 )/()(41 2 mAdVr irJ QV QP rQQ QP 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 16 五.磁矢位的物理意義一般書(shū)中,只是將 作為處理靜電場(chǎng)時(shí)所用的數(shù)學(xué)手段,并不賦予具體的物理意義.近來(lái),一些著作中,對(duì) 的物理意義做了某些解釋,對(duì)于這些解釋,學(xué)術(shù)界尚無(wú)公認(rèn)的結(jié)果,讀者可根據(jù)自己的理解作些探討。 rA rA 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 17 六.邊界條件靜磁場(chǎng)的場(chǎng)方程,相應(yīng)的邊界條件為KHHin )( 21 0)( 2010 HHin 0)( 21 KJJin 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 18 6.1.3 例題1.求出圖6-5所示的載流直導(dǎo)線在xoy平面上產(chǎn)生的磁場(chǎng)強(qiáng)度。zIl -l PQds0 x yQPrcr圖6-5 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 19 解： 由圖6-5可知，電流線上的電流元應(yīng)為 。Idziz電流元與xoy 面上的任一點(diǎn)P 之間的距離21)( 22 QCQP zrr 這樣，我們根據(jù)式 QPr sIdAd 40 可知電流元產(chǎn)生的磁矢位為 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 20因此，整個(gè)電流線產(chǎn)生的磁矢位應(yīng)為21)(4 4 2200 QC QzQPQzP zr IdzirIdziAd 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 21xoy平面上的磁場(chǎng)沒(méi)有z分量，故可用上式的磁矢量位來(lái)求磁場(chǎng)強(qiáng)度 llr llrIizr IdzirA CCzll QC Qz 22 220220 ln4)(4)( 21 )/(ln2 220 mWbr llrIi CCz 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 22其中 如圖6-5所示。當(dāng) 時(shí)，即為一條無(wú)限長(zhǎng)的直導(dǎo)線,則 即可得到l ,1cos,0 )/(cos22)(1)( 220 mArIilrr lIirArH CCC 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 23 )/(2)( mArIirH C與以前所求得的無(wú)限長(zhǎng)電流線的磁場(chǎng)結(jié)果一致。2. 現(xiàn)在，我們來(lái)求一個(gè)圓形電流環(huán)在遠(yuǎn)離環(huán)的空間產(chǎn)生的電場(chǎng)。系統(tǒng)如圖6-6所示。 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 24Ix z yP0 a Q Qr QPrsr Qds 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 25 由式 可知，電流環(huán)產(chǎn)生的磁矢位為2 0 0 0 ( sin cos )( ) 4 4Q Q z Q y Q QC QP QPds i iI IAr adr r )/(4)( 0 mWbrsdIrA QC QPQP 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 26 其中ds的變換可由圖6-7得到。 由余弦定理可得到在 的條件下，我們有ar 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 27 通過(guò)級(jí)數(shù)展開(kāi)，略去高次項(xiàng)，可得)cos11)cos21(11 21 SSSSQP rarrarr （將此式代入式中，即有 20 0 0 ( sin cos )( ) 4 4Q Q z Q y Q QC QP QPds i iI IA r adr r 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 28注意到 P點(diǎn)得坐標(biāo)是 ，Q點(diǎn)的坐標(biāo)是 ， 是 和 之間的夾角，則可得 Qa ,2, ,sr Pr Qr 200 )cossin)(cos1(4)( QQyQzSS diirarIarA QQyQzS diirIa )cossin(cos4 20220 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 29 QQS QP ar rr sinsinsincoscossincos 代入式 即有 200 )cossin)(cos1(4)( QQyQzSS diirarIarA 2 20 2 0 cos ( sin cos )4 z Q y Q QSIa i i dr 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 30上式中的四個(gè)積分中，第一個(gè)積分和第四個(gè)積分均為零，而 20 20 22 cossin QQQQ dd 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 31 因此可得)/(sin4)(4sin)cossin()( 20220 mWbrmiIariirA SSyx 其中)( 22 mAIam 稱(chēng)為電流環(huán)的磁偶極矩。由此可得電流環(huán)在遠(yuǎn)處的磁場(chǎng)為 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 32 )/)(sincos2(4)(1)( 20 mAiirmrArH SrS 同矢量電偶極矩相對(duì)應(yīng)，矢量磁偶極矩的方向定義為與電流環(huán)中電流流動(dòng)方向成右手螺旋的方向。在本例中，就是 的方向，因此，在本題中，電流環(huán)的矢量磁偶極矩可寫(xiě)為zi )( 22 mAIaim z 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 33 應(yīng)該注意的是，在計(jì)算 時(shí)，通常遇到的是矢量積分，這時(shí)，一般以在直角坐標(biāo)系中運(yùn)算較為方便，因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的單位矢量是常矢量，矢量積分容易化為標(biāo)量積分。 rA 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 34 標(biāo)量位只在無(wú)旋區(qū)域才能定義0)( rH 0)( rJ 要求在求解區(qū)域內(nèi): 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 35 磁標(biāo)位一.磁標(biāo)位的定義若討論的區(qū)域內(nèi),不存在電流分布,這樣的區(qū)域,磁場(chǎng)是保守場(chǎng),可用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度來(lái)表示,稱(chēng)為 該磁場(chǎng)的磁標(biāo)位 ,記為 m )()( rrH m 若想保持 在無(wú)源場(chǎng)區(qū)域中的單值性,則 該區(qū)域只能是單連域 rm 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 36 ( ) ( ) ( )m P Pr H r ds A 參考點(diǎn)靜電場(chǎng)的標(biāo)量位并不要求區(qū)域是單連域.這是他們的不同點(diǎn).原因是:計(jì)算式( ) ( ) ( )m P Pr H r ds A 參考點(diǎn)時(shí),若積分路徑繞電流一圈,積分值就增加一個(gè)電流值,繞n圈,積分值就增加n倍電流值.復(fù)通域不能保證 的單值性.而在圖6-9中,可保證單值性 r m 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 37 y xs y x y xss單連域圖6-9 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 38 二.磁標(biāo)位的方程和方程解族和靜電問(wèn)題一樣,首先應(yīng)得到 的方程和方程的解在無(wú)電流分布的區(qū)域中,可用磁標(biāo)位求解磁場(chǎng)問(wèn)題,磁標(biāo)位 是應(yīng)該滿(mǎn)足拉普拉斯方程的.已知磁標(biāo)位 是滿(mǎn)足拉普拉斯方程,求方程解族的工作與在靜電場(chǎng)中討論過(guò)的完全一樣.但在解釋方程解的物理意義方面,磁標(biāo)位 與靜電位 是有不能類(lèi)比之處的。不能類(lèi)比的情況如下: 02 rm rm r m rm rm r 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 39 crBA ln1、在柱坐標(biāo)中， 的拉普拉斯方程解，對(duì)于靜電位來(lái)說(shuō)，反映的是無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)位形式，但對(duì)于磁標(biāo)位 來(lái)說(shuō)，這種形式的解是沒(méi)有物理意義的。2、在球坐標(biāo)中， 的拉普拉斯方程解，對(duì)于靜電位 來(lái)說(shuō)，反映的是點(diǎn)電荷的電位形式，但對(duì)于磁標(biāo)位 來(lái)說(shuō)，這種形式的解也是沒(méi)有意義的。rm SrBA r rm 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 40 解釋?zhuān)哼@兩種形式的解都出現(xiàn)在給定的靜電系統(tǒng)凈電荷量不為零的情況，反映了凈電荷量對(duì)位場(chǎng)的貢獻(xiàn)。若系統(tǒng)的凈電荷量為零，就不會(huì)出現(xiàn)這兩種形式的解了。而對(duì)于磁場(chǎng)來(lái)說(shuō)，因?yàn)闆](méi)有磁荷存在，自然也就不會(huì)存在凈磁荷不為零的系統(tǒng)，因此，這兩種形式的解就不存在了。3、拉普拉斯方程中， 形式的解，對(duì)于靜電位來(lái)說(shuō)，反映的是角的兩邊分別是常數(shù)電位的二維角域中電場(chǎng)位的形式，其中 的變化范圍小于2 。而對(duì)于磁標(biāo)位 來(lái)說(shuō)，這種形式的解反映的是無(wú)限長(zhǎng)電流直線產(chǎn)生的磁標(biāo)位， 的變化范圍是全方位的、 DC rm 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 41 4.球坐標(biāo)中， 形式的拉普拉斯方程解，對(duì)于靜電位 來(lái)說(shuō)，反映的是兩個(gè)電位分別為常數(shù)的共頂點(diǎn)共軸線的錐面間區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)位形式。而對(duì)于磁標(biāo)位 來(lái)說(shuō)，這種形式的解沒(méi)有物理意義。 r rm 2ln tgDC四.邊界條件: nKmm iiirKrr | 12 | 21 n rn r mm 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 42 注意這里沒(méi)有 ,因?yàn)樗c式 nKmm iiirKrr | 12 矛盾 | 21 rr mm 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 43 6.3 位函數(shù)在遠(yuǎn)區(qū)的多極子展開(kāi)式處理遠(yuǎn)離有限分布源所在的電磁場(chǎng)分布規(guī)律的問(wèn)題通常使用多極子展開(kāi)式。分布在 內(nèi)的電荷 ，在觀察點(diǎn) P產(chǎn)生的電位，QV Qr QV QPQP Vdrrr Q 04 1 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 440 x z yP(x,y,z)Q(x ,y,z) VQrQ rP rqp)( Qr圖6-14 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 45 其中)()()( 222 zzyyxxrr QPQP QPQP rrr 所謂遠(yuǎn)區(qū)，就是遠(yuǎn)離源分布的區(qū)域，所以有 maxQP rr 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 46 一、 的級(jí)數(shù)展開(kāi)式QPr 1多元函數(shù) 和 處的值可以在 展開(kāi)為級(jí)數(shù)，即 zyxf , zzyyxxf , zyx , 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 47 zyxfzzyyxxn zyxfzzyyxx zyxfzzyyxxzyxf zfyzfxyfx fzfyfx zfyfxfzyxfzzyyxxf n yzxzxy zzyyxx zyx,!1 ,!21 ,!11, )222 (!21 , 2222 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 48 其中 ， .。 zyxfxfx , zyxfyxfxy ,2現(xiàn)在若令 QPrzzyyxxf 1, 則有 sP rrzyxfzzyyxx 11, 代入式 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 49 zyxfzzyyxxn zyxfzzyyxx zyxfzzyyxxzyxf zfyzfxyfx fzfyfx zfyfxfzyxfzzyyxxf n yzxzxy zzyyxx zyx,!1 ,!21 ,!11, )222 (!21 , 2222 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 50 有如果將 簡(jiǎn)寫(xiě)為 ，即定義 zzyyxx Qr sn sssQP rzzyyxxn rzzyyxxrzzyyxxrr 1!1)1( 1!21111 2 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 51 Qrzzyyxx 則可得 snQn sQsQsQP rrn rrrrrr 1!)1( 1!21111 2 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 52 這樣就得到了 在 處的展開(kāi)式。QPr1 )( sP rr 二. 的展開(kāi)式 r . 10 PnPPP rrrr 其中 0 00 01 414 4QQ QP QV SQ QVS r Srr dVr Qr dVr r 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 53 1 02 20 01 1 4 14 4Qs QP Q Q QV Sr rsQ Q QVS sr r r dVri p ir r dVr r 相當(dāng)于將 內(nèi)所有電荷的總量集中在原點(diǎn)處后,在空間產(chǎn)生的電位. 稱(chēng)為 的零級(jí)電位 QV Pr0 Prp QV QQQ dVrr 稱(chēng)為 內(nèi)分布電荷的偶極矩QV 稱(chēng)為 的一級(jí)電位,它是 內(nèi)分布電荷的偶極子勢(shì) Pr1 Pr QV 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 54 依此類(lèi)推: QQV SQP dVrrrr 0 1214 1 202稱(chēng)為 的二級(jí)電位,它是 內(nèi)分布電荷的四極子勢(shì) Pr QV QQV SnQnPn dVrrrnr 0 1!114 1 0稱(chēng)為 的n級(jí)電位,它是 內(nèi)分布電荷的 極子勢(shì) Pr QV n2 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 55 顯然: 11n nSr r 三.電位 多極子展開(kāi)式的物理意義 r遠(yuǎn)離電荷分布區(qū)域的空間中,當(dāng) 時(shí) . 10 rrrr nP 物理上,說(shuō)明分布在有限區(qū)域中的電荷系統(tǒng)在遠(yuǎn)離系統(tǒng)的空間中產(chǎn)生的場(chǎng)是由點(diǎn)電荷場(chǎng)和各種多極子場(chǎng)構(gòu)成的. max)( QS rr 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 56 mDmCPrBrAr mmmnn nm nS nnSnP sincoscos0 0 1 與多極子展開(kāi)式對(duì)照,可知: srBAr 00 mDmCPrBrAr mmmm SS sincoscos11 0 2111 . mDmCPrBrAr mmmnnm nS nSnn sincoscos0 1 . 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 57 四.多極子展開(kāi)式的應(yīng)用 ,.1,.,1,1 1210 nsnss rrrrrr 11 sr .111.111 2132 nsnsnssss rrrrrr . 1110 rrrrr nnn 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 58 對(duì)于電荷分布區(qū)內(nèi)靜電荷量不為零的系統(tǒng),它的遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng) SnetQV QsOPP rQdVrrrr Q 00 44 1 如果系統(tǒng)靜電荷為零,則 ,此時(shí): 1 2 04 rsP P sp ir r r 00 r 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 59x y z-qq0 Pr P圖6-15 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 60 x y z-q2q q q-q2q -2q2q 2q qi z 3圖6-16(a) (b) (c) 北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì)北 京 航 空 航 天 大 學(xué) 電 磁 場(chǎng) 理 論 教 學(xué) 團(tuán) 隊(duì) 61 作 業(yè)nPp146： 2nPp224:37,38,39