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1、第 二 節(jié) 洛 必 達(dá) 法 則一 、 洛 必 達(dá) 法 則三 、 小 結(jié) 型 未 定 式 解 法二 、 00 100 , 一 、 型 及 型 未 定 式 解 法 : 洛 比 達(dá) 法 則00 定 理 (或 為 無 窮 大 );設(shè)(1) 當(dāng) 時(shí) , 函 數(shù) 及 都 趨 于 零 ;x a ( )f x ( )F x(2) 在 點(diǎn) 的 某 去 心 鄰 域 內(nèi) , 及 都 存 在a ( )f x ( )F x(3) 存 在( )lim ( )x a f xF x ( ) 0;F x 且那 么 ( ) ( )lim lim .( ) ( )x a x af x f xF x F x -此 法 則 稱 為 洛
2、 必 達(dá) 法 則 . 注 :1)此 法 則 只 適 用 于 不 定 式 ;2)公 式 右 端 是 分 子 、 分 母 分 別 求 導(dǎo) ；3)這 只 是 一 個(gè) 充 分 條 件 .該 法 則 仍 然 成 立 .4) ( ) ( )lim lim .( ) ( )x xf x f xF x F x 當(dāng) 時(shí) 的 未 定 式 ,x a x 也 有 相 應(yīng) 的 法 則 .5) ,ax ,ax ,x x,x 可 以 繼 續(xù) 使 用 洛 比 達(dá) 法 則 ,如 果 仍 為 型 ,( )( )f xF x 00 且 滿 足 定 理 的條 件 , ( ), ( )f x F x 即( )lim ( )x a f
3、xF x ( )lim ( )x a f xF x .( )lim ( ) x a f xF x什 么 時(shí) 候 用 : 0,0 ( ) ( )lim lim .( ) ( )x a x af x f xF x F x 怎 么 用 :6) 解例 1 求 x xxx sinlim 30 11 ( )00解 123 332 21 xx xxlim原 式 266lim1 x xx .23例 2 .lim 12323 31 xxx xxx求 ( )00例 3 求 30 x xxx sinlim ( )00解 20 3cos1lim x xx xxx 6sinlim0 61原 式原 式 16230 1 1
4、2 1 3 (1 )lim cosx x xx 解 221lim xxx .1解 0 cos sinlim cos sinx a ax bxb bx ax .1 ( )00 ( )axa bxbba x coscoslim0 2211lim 1x xx axbxba x sinsinlim0原 式原 式例 5 arctan2lim .1x xx 求例 6 0lnsinlim ,( 0, 0).lnsinx ax a bbx 求 解 222 seclim3sec 3x xx xxx 222 cos 3coslim31 xx xxx sincos2 3sin3cos6lim31 2 xxx 2si
5、n6sinlim2xxx 2cos2 6cos6lim2 .3 ( )原 式例 7 2 tanlim .tan3x xx求 注 意 ： 洛 必 達(dá) 法 則 是 求 未 定 式 的 一 種 有效 方 法 ,解例 8 .sintanlim xx xxx 20 求 30 x xxx tanlim原 式 x xxx 62 20 tanseclim 220 3 1xxx seclim x xx tanlim031 .31但 與 其 它 求 極 限 方 法 結(jié) 合 使 用 , 效 果 更 好 . 30 arctanlim _.ln(1 2 )x x xx 例 9 (000203) 解 220 21 11l
6、im 61 2x xxx 320 (1 2 )lim 6(1 )x xx 16(方 法 2)原 式 = 30 2arctanlim x xxx 220 6 11 1lim xxx 2220 6)1(lim xxxx 16(方 法 1) 原 式 0 00 , ,0 ,1 , 二 、 型 未 定 式 解 法關(guān) 鍵 :將 其 它 類 型 未 定 式 化 為 洛 必 達(dá) 法 則可 解 決 的 類 型 .例 11解 .lim xx ex 2求 ( )0 xexx 2 lim原 式 2lim xx e .1. 0型步 驟 : 10 , 10 0 .0 或 例 12 求 )(lnlim 00 xxx解 ln
7、limx xx 0lim( )x x 0 0注 :若 將 極 限 化 成 0lim ,1lnx x x 則 問 題 會(huì) 復(fù) 雜 化 .limx xx 10 1原 式 解例 13 ).sin(lim xxx 110 求 ( ) 0 0.0 0 0 sinlim sinx x xx x 20 sinlimx x xx 2. 型步 驟 :原 式 01 coslim 2x xx 01 10 0 步 驟 : 0 . 10 ln10 ln 恒 等 變 形00 0 ln00 03. 0 ,1 , 型解 0(0 )xxx e lnlim 0原 式 xxxe lnlim020 11lim xxxe 0e .1
8、0 lnlim 1x xxe 例 14 0lim .xx x求 解 (1 )1 ln11lim xxx e 1 lnlim 1x xxe 1 1lim 1x xe .1 e解 0( )ln(cotln1lim0 xxx xx xx sincoslim0 原 式例 16 1ln0lim(cot ) .xx x求例 15 111lim .xx x 求 1.e 原 式1 ln(cot )ln ,xxe 20 1 1cot sinlim 1x x xx 取 對(duì) 數(shù) 得 1ln(cot ) xx 解 1 sinlim 1x x ).sin1(lim xx 極 限 不 存 在洛 必 達(dá) 法 則 失 效 .
9、1lim(1 cos )x xx .1注 意 ： 洛 必 達(dá) 法 則 的 使 用 條 件 例 17 coslim .x x xx 求原 式原 式 20 1sin lim sin x x xx 原 式 0 1 12 sin coslim cos x x x xx 不 存 在注 意 ： 當(dāng) 不 存 在 , 也 不 為 無 窮 大 , 不能 利 用 洛 必 達(dá) 法 則 求 極 限 . ( )lim ( ) x a f xg x 20 1sinlim sinx x xx 20 1sinlim x x xx 20 1sin.lim sinx x xx例 解 2 20 1 1 12 sin coslim
10、cos x x xx x xx 0 1lim sin 0 x x x 洛 必 達(dá) 法 則 型00 10 ,型 型0型00 型 gfgf 1fg fggf 11 11 取 對(duì) 數(shù)令 gfy 三 、 小 結(jié)作 業(yè) : 4.2 思 考 題 設(shè) )( )(lim xg xf 是 不 定 型 極 限 ， 如 果)( )(xg xf 的 極 限 不 存 在 ， 是 否 )( )(xg xf 的 極 限 也 一 定 不 存 在 ？ 舉 例 說 明 . 不 一 定 例 ,sin)( xxxf xxg )(顯 然 )( )(lim xg xfx 1cos1lim xx 極 限 不 存 在 但 )( )(lim
11、xg xfx x xxx sinlim 1 極 限 存 在 思 考 題 解 答 一 、 填 空 題 ： 1、 洛 必 達(dá) 法 則 除 了 可 用 于 求 “ 00” ， 及 “ ”兩 種 類 型 的 未 定 式 的 極 限 外 ， 也 可 通 過變 換 解 決 _ ， _ ， _ ，_， _， 等 型的 未 定 式 的 求 極 限 的 問 題 . 2、 x xx )1ln(lim0 =_. 3、 xxx 2tanln 7tanlnlim0 =_. 練 習(xí) 題 二 、 用 洛 必 達(dá) 法 則 求 下 列 極 限 ： 1、 22 )2( sinlnlim xxx ； 2、 xxx arctan ) 11ln(lim ； 3、 xxx 2cotlim0 ； 4、 )1112(lim 21 xxx ； 5、 xx xsin0lim ； 6、 xx x tan0 )1(lim ； 7、 xx x)arctan2(lim . 三 、 討 論 函 數(shù) 0, 0,)1()( 21 11 xe xexxf xx 當(dāng)當(dāng) , 在 處點(diǎn) 0 x 的 連 續(xù) 性 . 一 、 1、 00,0,1,0 ； 2、 1； 3、 1. 二 、 1、 81； 2、 1； 3、 21； 4、 21； 5、 1； 6、 1； 7、 2e . 三 、 連 續(xù) . 練 習(xí) 題 答 案
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