《組合數(shù)學(xué)3.2常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《組合數(shù)學(xué)3.2常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系（20頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.2常 系 數(shù) 線 性 齊 次 遞 推 關(guān) 系 n 3.2.1 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)n 3.2.2 遞 推 (3.2.1)的 特 征 方 程n 3.2.3 遞 推 (3.2.1)的 解n 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 3.3.5 遞 推 (3.2.1)特 征 根 有 重 根 3.2.1 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)n 常 系 數(shù) k階 線 性 齊 次 遞 推 關(guān) 系 an c1an-1 c2an-2 ckan-k (3.2.1) 其 中 c1,c2,ck是 實(shí) 數(shù) 常 數(shù) ， ck0 3.2.2 遞 推 (3.2.1)的 特 征 方 程n 把 an
2、xn (x0)代 入 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)得 xn c1xn-1 c2xn-2 ckxn-k 用 xn-k除 上 式 兩 邊 得 xk c1xk-1 c2xk-2 ck-1x ck xk c1xk-1 c2xk-2 ck-1x ck 0 (3.2.2) (3.2.2)即 為 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 特 征 方 程 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 特 征 根 3.2.3 遞 推 (3.2.1)的 解n 定 理 3.2.1 非 零 復(fù) 數(shù) q是 特 征 方 程 (3.2.2)的根 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) an qn是 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 解n xk c1xk-1 c
3、2xk-2 ck-1x ck 0 (3.2.2) x q an qnn an c1an-1 c2an-2 ckan-k (3.2.1) 其 中 c 1,c2,ck是 實(shí) 數(shù) 常 數(shù) ， ck0 3.2.3 遞 推 (3.2.1)的 解n 定 理 3.2.2 若 h1(n),h2(n),hk(n)是 遞推 關(guān) 系 (3.2.1)的 解 ， 則 它 們 的 線 性 組 合A1h1(n) A2h2(n) Akhk(n)也 是 遞推 關(guān) 系 (3.2.1)的 解 ， 其 中 A1, A2, Ak為 常 數(shù) 。 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 定 理 3.2.3 如 果 特
4、征 方 程 (3.2.2)有 k個(gè) 不 同 的 根 x1,x2,xk (可 有 共 軛 虛根 )， 則 an A1x1n A2x2n Akxkn 是 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 通 解 ， 其 中A1,A2,Ak為 任 意 的 常 數(shù) 。 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 例 3.2.1 解 遞 歸n 解 遞 推 推 關(guān) 系 fn fn-1 fn-2 ( ) ( )的 特 征 方 程 為 x2 x 1 0 ( )的 特 征 根 x1 , x2 ( )的 通 解 1- 52 0 1n n-1 n-2=0, =1 = + f ff f f 1 21 5 1 52 2
5、n nnf A A = +1+ 52 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 把 f0 0, f1 1代 入 通 解 得n 因 此 所 求 遞 歸 的 解 為 1 2 55 55AA 5 55 51 5 1 52 2n nnf 1 2 1 201 5 1 5 12 2A AA A 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 定 理 3.2.3中 ， 若 特 征 方 程 (3.2.2)有 共軛 復(fù) 根 x1 pei， x2 pe-i 此 時(shí) x1n pnein， x2n pne-in都 是 遞 推關(guān) 系 (3.2.1)的 解 。 再 由 定 理 3.2.2知
6、： x1n x2n pncosn, x1n x2n pnsinn 也 都 是 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 解 。12121212 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 特 征 方 程 (3.2.2)有 k個(gè) 不 同 的 根 x1,x2,xk n 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 通 解 an A1x1n A2x2n Akxkn 共 軛 復(fù) 根 x1 pei， x2 pe-i n 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 通 解 an A1pncosn A2pnsinn A3x3n Akxkn 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 例 3.2.2 解 遞
7、 歸n 解 遞 推 推 關(guān) 系 an an-1 an-2 ( ) ( )的 特 征 方 程 為 x2 x 1 0 ( )的 特 征 根 x1 , x2 ( )的 通 解 3ii e 1- 32 1 2n n-1 n-2 =1, =0 = a aa a a 1 2 sin 3n na A A n= cos +3 3ii e 1+ 32 3.2.4 遞 推 (3.2.1)特 征 根 互 不 同n 把 a1 1, a2 0代 入 通 解 得n 因 此 所 求 遞 歸 的 解 為 12 1 33AA 3cos sin 3 3 3n n na 1 21 2cos sin 13 32 2cos sin 0
8、3 3A AA A 3.3.5 遞 推 (3.2.1)特 征 根 有 重 根n 定 理 3.2.4 設(shè) q(q0)是 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 特 征 方 程 (3.2.2)的 m(m2)重 根 ， 則an ntqn(t 0,1,2,m 1)都 是 遞 推 關(guān)系 (3.2.1)的 解 。 3.3.5 遞 推 (3.2.1)特 征 根 有 重 根n 定 理 3.2.5 設(shè) x1,x2,xt-1,xt(t k)是 特 征 方 程(3.2.2)的 t個(gè) 不 同 根 ， 且 xt為 m(m k t 1)重 根 ， 則 an A1x1n A2x2n At-1xt-1n n0Atxtn n1At+
9、1xt+1n nm-1Akxkn 是 遞 推 關(guān) 系 (3.2.1)的 通 解 ， 其 中 A1,A2,Ak為 任 意 的 常 數(shù) 。 3.3.5 遞 推 (3.2.1)特 征 根 有 重 根n 例 3.2.3 解 遞 歸n 解 遞 推 推 關(guān) 系 an 2an-1 an-4 ( ) ( )的 特 征 方 程 為 x4 2x2 4 0 ( )的 特 征 根 x1 x2 i , x3 x4 i ( )的 通 解 2 31n n-1 n-40 =1, =2, =3 = =0,a a aaa -2a a 1 32 4sin sin2 2n n na nA nAA A n n= cos + cos +2 2 3.3.5 遞 推 (3.2.1)特 征 根 有 重 根n 把 a1 0, a2 1,a3 2, a4 3代 入 通 解 得n 因 此 所 求 遞 歸 的 解 為 123 4 0 132AAAA cos 3sin 2 sin2 2 2n n n nn na 13 41 23 40 12 23 3AA AA AA A
組合數(shù)學(xué)3.2常系數(shù)線性齊次遞推關(guān)系
