2014年高考數(shù)學(xué)文科(高考真題+模擬新題)分類匯編:推理與證明

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1、數(shù)學(xué)推理與證明M1合情推理與演 推理16, 2014 福建卷 已知集合2; c0 有且只有一個(gè)正確, a, b, c 0 , 1,2 ,且下列三個(gè)關(guān)系:100a 10bc 等于 _a 2; b16 201解析 (i)若正確, 不正確,由不正確得c 0,由正確得a1,所以b 2,與不正確矛盾,故不正確(ii) 若正確, 不正確,由不正確得a 2,與正確矛盾,故不正確(iii) 若正確, 不正確, 由不正確得 a 2,由不正確及正確得 b 0,c 1,故正確則 100a 10b c 100 2 10 0 1 201.142014 全國(guó)新 卷 甲、乙、丙三位同學(xué)被 到是否去 A,B,C 三個(gè)城市 ,

2、甲 :我去 的城市比乙多,但沒(méi)去 B 城市乙 :我沒(méi)去 C 城市丙 :我 三人去 同一城市由此可判斷乙去 的城市 _14 A 解析 由甲沒(méi)去 B 城市,乙沒(méi)去 C 城市,而三人去 同一城市,可知三人去 城市 A,又由甲最多去 兩個(gè)城市,且去 的城市比乙多,故乙只去 A 城市x, x 0,若 f114 2014 西卷陜 已知 f(x) 1 x(x) f(x), fn 1(x) f( fn(x) , n N, f2014(x)的表達(dá)式 _14.x解析 由 意,得 f 1x,12014x(x) f(x)1xxf2(x)1 xxx,x, f3(x)1 2x1 3x11 x由此 推理可得f2014(x)

3、x.12014xM2直接 明與 接 明21、 2014 湖南卷 已知函數(shù) f(x)xcos x sin x 1(x 0)(1)求 f(x)的 區(qū) ;(2)記 xi 為 f(x)的從小到大的第 i(i N * )個(gè)零點(diǎn), 明: 一切 n N*,有 121212x1x2xn23.21 解:(1)f(x)cos x xsin x cos x xsin x.令 f(x) 0,得 x k (k N* )當(dāng) x (2k, (2k 1) )(k N) , sin x0,此 f (x)0;當(dāng) x (2k 1), (2k 2) )(k N ) , sin x0.故 f(x) 的 減區(qū) (2k, (2k1) )(

4、 k N), 增區(qū) (2k 1), (2k 2) )( kN ) 0,故 x1.(2)由 (1) 知, f(x)在區(qū) (0, )上 減又 f22當(dāng) nN * ,因 f(n )f( n 1) ( 1)n n 1( 1)n 1(n 1) 1 0,且函數(shù) f(x)的 像是 不斷的, 所以 f(x)在區(qū) (n,(n 1) )內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn) 又f(x)在區(qū) (n, (n 1) )上是 的,故n xn 1 (n 1) .因此,當(dāng) n1 , 1 4 2;x12 23當(dāng) n2 , 12 12 12 (4 1)2;x1x23當(dāng) n3 ,12 12 120) , f(x)為 f(x)的 數(shù), n N(1)求

5、2f12 2 f22的 ;(2) 明: 任意的nN * ,等式nfn 1fn2都成立444223 解:(1)由已知,得10sin x cos x sin x,f(x) f(x)xxx2于是 f2(x) f1 (x)cos xsin xxx2 sin x 2cos2x2sin3x,xxx所以 f142, f2216223.故 2f1 2 2 f22 1.(2) 明:由已知得,xf (x) sin x,等式兩 分 x 求 ,得 f (x) xf (x) cos x,000即 f0(x) xf1(x) cos x sin x 2. 似可得2f1(x) xf2( x) sin x sin(x ),3f

6、2(x) xf3( x) cos x sin x3 ,24f3(x) xf4( x) sin x sin(x 2 )下面用數(shù)學(xué) 法 明等式nfn 1nn 所有的 nN * 都成立(x)xf(x) sin x 2(i) 當(dāng) n1 ,由上可知等式成立(ii) 假 當(dāng) nk 等式成立,即 kf(x) xf(x) sin xkk12 .k因 kfk 1( x) xfk(x) kfk 1 (x) fk(x) xfk( x) (k1)fk(x) xfk1(x),sin xk cos xk xk sin x( k1),2222( k1)所以 (k 1)fk(x) xfk 1(x) sin x2,因此當(dāng) n

7、k 1 ,等式也成立 合 (i)(ii) 可知,等式 nfn1(x) xfn(x) sin x n 所有的 n N* 都成立2n令 x 4,可得 nfn14 4 fn4 sin 42(n N* ),所以 nfn1 fn(n N* )444M4單元 合5 2014 南 郡中學(xué)月考湖記 Sk 1k 2k 3k nk,當(dāng) k 1, 2,3, , 察121131211413121514131n,下列等式: S1n n, S2n n n, S3 n n n, S4n n n 3022326424523516155426n2n12n An ,由此可以推 A _S1 解析 根據(jù)所 等式可知, 各等式右 的各

8、 系數(shù)之和 1,所以 1 1 5 5 1262121A 1,解得 A12.62014 照一中月考日 二 空 中 的一 度(周 )l 2 r,二 度 (面 )Sr 2, 察 S l;三 空 中球的二 度 (表面 )S 4r 2,三 度 (體 )V 4 r 3,3 察 V S.已知四 空 中“超球”的三 度V 8 r 3,猜想其四 度W _.6 2 r 4 解析 因 W 8 r 3,所以 W 2 r4.7 2014 天水一中期末甘 察下列等式:(1 1) 2 1;(2 1)(2 2) 22 1 3;(3 1)(3 2)(3 3) 23 13 5.照此規(guī)律,第n個(gè)等式為_(kāi) 7 (n 1)(n 2)(

9、n 3) (nn) 2n 1 3 5 (2n1)解析 察等式 律可知第n 個(gè)等式 (n 1)(n 2)(n 3) (nn)2n 1 35 (2n 1)8 2014 南昌 研 已知整數(shù) 的序列 (1,1) ,(1, 2), (2 ,1), (1,3) ,(2, 2), (3,1), (1,4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),(1 ,5), (2, 4), 第57 個(gè)數(shù) 是 _8 (2, 10) 解析 由 意, 所 序數(shù)列有如下 律:(1, 1)的和 2,共 1 個(gè);(1, 2), (2, 1)的和 3,共 2個(gè);(1, 3), (2, 2), (3, 1)的和 4,共 3個(gè);(

10、1, 4), (2, 3), (3, 2),(4 ,1) 的和 5,共 4個(gè);(1, 5), (2, 4), (3, 3),(4 ,2) ,(5, 1)的和 6,共 5 個(gè)由此可知, 當(dāng)數(shù) 中兩個(gè)數(shù)字之和 n ,有 n 1 個(gè)數(shù) 易知第 57 個(gè)數(shù) 中兩數(shù)之和 12,且是兩數(shù)之和 12 的數(shù) 中的第2 個(gè)數(shù) ,故 (2, 10)92014 福州模 已知點(diǎn) A(x1, ax1) ,B(x2, ax2)是函數(shù) y ax(a1) 的 像上任意不同的兩點(diǎn),依據(jù) 像可知, 段AB 是位于 A, B 兩點(diǎn)之 函數(shù) 像的上方,因此有 1212成立運(yùn)用 比的思想方法可知,若點(diǎn)A(x1ax axx x1222a2, sin x ), B(x , sin x )是函數(shù) ysin x(x (0, ) 的 像上任意不同的兩點(diǎn), 似地有_ 成立sin x1 sin x2x1 x2 解析 依據(jù)函數(shù) y sinx(x(0, )的 像可知, 段 AB9.2sin2sin x sin xx x2 是位于 A, B 兩點(diǎn)之 函數(shù) 像的下方,所以有1212sin2.

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