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1、奧數專題：溶液濃度問題一、引題熊喝豆?jié){：黑熊領著三個弟弟在森林里游玩了半天，感到又渴又累，正好路過了狐貍開的豆?jié){店。只見店門口張貼著廣告：“既甜又濃的豆?jié){每杯0.3元。”黑熊便招呼弟弟們歇腳，一起來喝豆?jié){。黑熊從狐貍手中接過一杯豆?jié){，給最小的弟弟喝掉，加滿水后給老三喝掉了，再加滿水后，又給老二喝了一半，最后自己把剩下的一半喝完。狐貍開始收錢了，他要求黑熊最小的弟弟付出0.30.05(元)；老三0.30.1(元)；老二與黑熊付的一樣多，0.30.15(元)。兄弟一共付了0.45元。兄弟們很驚訝，不是說，一杯豆?jié){0.3元，為什么多付0.450.30.15元？肯定是黑熊再敲詐我們。不服氣的黑熊嚷起來
2、：“多收我們堅決不干?！薄安唤o，休想離開?！爆F(xiàn)在，大家說說為什么會這樣呢？二、知識體系及常規(guī)解法我們把被溶解的物質稱為“溶質”，把被溶解物質成為“溶劑”。如在，酒中，酒精是溶質，水是溶劑。我們現(xiàn)在所說的濃度為質量濃度；溶液質量溶質質量溶劑質量；溶液濃度。當我們用百分數來表示濃度時，我們將溶液濃度的數字乘以100。當多種不同濃度的溶液混合，混合后溶液濃度等于混合后總溶劑質量除以混合后總溶液質量?；旌虾笕芤簼舛?即為各濃度的加權平均。 兩種重要方法1、“濃度三角”法（改“十字交叉”法。）【解法范例】用濃度為45和5的兩種鹽水配制成濃度為30的鹽水4千克，需要這兩種鹽水各多少千克？解：我們畫出三角，
3、在頂上標出混合后的濃度數，在兩個下角標出兩種被混合溶液的濃度數，求出上角與兩個下角的濃度差，標在對應邊上，然后將乙邊的差寫到道甲旁邊，把寫在甲邊的差寫到乙旁邊。求出它們的比，即甲、乙兩種溶液所需的重量(嚴格說是質量)比。我們，知道，“濃度三角”實際是十字交叉法的變形；而十字交叉法原理即為加權平均。2、權重法我們把，每份溶液所占全部溶液的份數稱為權重，記為q1，q2，q3，qn，我們知道qk=。 則混合后，溶液的濃度等于，各自溶液的濃度乘以它的權重的和，即： 混合后濃度 我們可以將純溶質看成濃度為100，將純溶劑看成0。 【解法范例】我們把50的鹽水1千克與20的鹽水4千克混合，求混合后溶液濃度
4、？ 我們嘗試用權重法來解決： 方法一、普通方法 求出第一份溶液中溶質(即食鹽)質量，5010.5千克； 第二份溶液中溶質質量，2040.8千克； 則總溶質質量為0.50.81.3千克； 總溶劑質量為145千克。于是，混合后溶液的濃度為：26%。方法二、加權平均法我們算出，兩種溶液的權重， 第一種溶液權重；第二種溶液權重。于是，混合后溶液的濃度為502026%。我們看出，加權平均法還是很簡單的。此講的特點是要理清溶液、溶質、溶劑質量的關系。對于方法，我們可以采用方程法更好的解決問題。例1 配制硫酸含量為20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18和23的硫酸溶液各多少克？例2 有酒精含量為36
5、的酒精溶液若干，加入一定數量的水后稀釋成酒精含量為30的溶液，如果再稀釋到24，那么還需要加水的數量是上次加的水的幾倍？例3 現(xiàn)在有溶液兩種，甲為50的溶液，乙為30的溶液，各900克，現(xiàn)在從甲、乙兩溶液中各取300克，分別放到乙、甲溶液中，混合后，再從甲、乙兩溶液中各取300克，分別放到乙、甲溶液中，問1)、第一次混合后，甲、乙溶液的濃度？ 2)、第四次混合后，甲、乙溶液的濃度? 3)、猜想，如果這樣無窮反復下去，甲、乙溶液的濃度。濃度問題專題簡析：在百分數應用題中有一類叫溶液配比問題，即濃度問題。我們知道，將糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶質，水叫溶劑，糖水叫溶液。如果水的量不變，那么糖加
6、得越多，糖水就越甜，也就是說糖水甜的程度是由糖（溶質）與糖水（溶液糖+水）二者質量的比值決定的。這個比值就叫糖水的含糖量或糖含量。類似地，酒精溶于水中，純酒精與酒精溶液二者質量的比值叫酒精含量。因而濃度就是溶質質量與溶液質量的比值，通常用百分數表示，即，濃度100100解答濃度問題，首先要弄清什么是濃度。在解答濃度問題時，根據題意列方程解答比較容易，在列方程時，要注意尋找題目中數量問題的相等關系。濃度問題變化多，有些題目難度較大，計算也較復雜。要根據題目的條件和問題逐一分析，也可以分步解答。例題1。有含糖量為7的糖水600克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？【思路導航】根據題意，在
7、7的糖水中加糖就改變了原來糖水的濃度，糖的質量增加了，糖水的質量也增加了，但水的質量并沒有改變。因此，可以先根據原來糖水中的濃度求出水的質量，再根據后來糖水中的濃度求出現(xiàn)在糖水的質量，用現(xiàn)在糖水的質量減去原來糖水的質量就是增加的糖的質量。 原來糖水中水的質量：600（17）558（克） 現(xiàn)在糖水的質量 ：558（110）620（克） 加入糖的質量 ：62060020（克） 答：需要加入20克糖。練習11、 現(xiàn)在有濃度為20的糖水300克，要把它變成濃度為40的糖水，需要加糖多少克？2、 有含鹽15的鹽水20千克，要使鹽水的濃度為20，需加鹽多少千克？3、 有甲、乙兩個瓶子，甲瓶里裝了200毫升
8、清水，乙瓶里裝了200毫升純酒精。第一次把20毫升純酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時甲瓶里含純酒精多，還是乙瓶里含水多？例題2。一種35的新農藥，如稀釋到1.75時，治蟲最有效。用多少千克濃度為35的農藥加多少千克水，才能配成1.75的農藥800千克？【思路導航】把濃度高的溶液經添加溶劑變?yōu)闈舛鹊偷娜芤旱倪^程稱為稀釋。在這種稀釋過程中，溶質的質量是不變的。這是解這類問題的關鍵。 800千克1.75的農藥含純農藥的質量為 8001.7514（千克） 含14千克純農藥的35的農藥質量為 143540（千克） 由40千克農藥稀釋為800千克農藥應加水的質量為 800407
9、60（千克） 答：用40千克的濃度為35的農藥中添加760千克水，才能配成濃度為1.75的農藥800千克。練習21、 用含氨0.15的氨水進行油菜追肥?，F(xiàn)有含氨16的氨水30千克，配置時需加水多少千克？2、 倉庫運來含水量為90的一種水果100千克。一星期后再測，發(fā)現(xiàn)含水量降低到80?，F(xiàn)在這批水果的質量是多少千克？3、 一容器內裝有10升純酒精，倒出2.5升后，用水加滿；再倒出5升，再用水加滿。這時容器內溶液的濃度是多少？例題3?，F(xiàn)有濃度為10的鹽水20千克。再加入多少千克濃度為30的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水？【思路導航】這是一個溶液混合問題?；旌锨啊⒑笕芤旱臐舛雀淖兞?，但總體上溶質及溶
10、液的總質量沒有改變。所以，混合前兩種溶液中溶質的和等于混合后溶液中的溶質的量。 20千克10的鹽水中含鹽的質量 20102（千克） 混合成22時，20千克溶液中含鹽的質量 2022404（千克） 需加30鹽水溶液的質量 （4.42）（3022）30（千克） 答：需加入30千克濃度為30的鹽水，可以得到濃度為22的鹽水。練習31、 在100千克濃度為50的硫酸溶液中，再加入多少千克濃度為5的硫酸溶液就可以配制成25的硫酸溶液？2、 濃度為70的酒精溶液500克與濃度為50的酒精溶液300克混合后所得到的酒精溶液的濃度是多少？3、 在20的鹽水中加入10千克水，濃度為15。再加入多少千克鹽，濃度為
11、25？例題4。將20的鹽水與5的鹽水混合，配成15的鹽水600克，需要20的鹽水和5的鹽水各多少克？【思路導航】根據題意，將20的鹽水與5的鹽水混合配成15的鹽水，說明混合前兩種鹽水中鹽的質量和與混合后鹽水中鹽的質量是相等的?？筛鶕@一數量間的相等關系列方程解答。 解：設20的鹽水需x克，則5的鹽水為600x克，那么 20x+（600x）560015 X 400 600400200（克） 答：需要20的鹽水400克，5的鹽水200克。練習41、 兩種鋼分別含鎳5和40，要得到140噸含鎳30的鋼，需要含鎳5的鋼和含鎳40的鋼各多少噸？2、 甲、乙兩種酒各含酒精75和55，要配制含酒精65的酒3
12、000克，應當從這兩種酒中各取多少克？3、 甲、乙兩只裝糖水的桶，甲桶有糖水60千克，含糖率為40；乙桶有糖水40千克，含糖率為20。要使兩桶糖水的含糖率相等，需把兩桶的糖水相互交換多少千克？例題5。甲、乙、丙3個試管中各盛有10克、20克、30克水。把某種質量分數的鹽水10克倒入甲管中，混合后取10克倒入乙管中，再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中。現(xiàn)在丙管中的鹽水的質量分數為0.5。最早倒入甲管中的鹽水質量分數是多少？【思路導航】混合后甲、乙、丙3個試管中應有的鹽水分別是20克、30克、40克。根據題意，可求出現(xiàn)在丙管中鹽的質量。又因為丙管中原來只有30克的水，它的鹽是從10克鹽水中的乙管
13、里取出的。由此可求出乙管里30克鹽水中鹽的質量。而乙管里的鹽又是從10克鹽水中的甲管里取出的，由此可求出甲管里20克鹽水中鹽的質量。而甲管里的鹽是某種濃度的鹽水中的鹽，這樣就可得到最初倒入甲管中鹽水的質量分數。 丙管中鹽的質量：（30+10）0.502（克） 倒入乙管后，乙管中鹽的質量：0.2【（20+10）10】0.6（克） 倒入甲管，甲管中鹽的質量：0.6【（10+10）10】1.2（克） 1.21012 答：最早倒入甲管中的鹽水質量分數是12。練習51、 從裝滿100克80的鹽水中倒出40克鹽水后，再用清水將杯加滿，攪拌后再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿。如此反復三次后，杯中鹽水的
14、濃度是多少？2、 甲容器中又8的鹽水300克，乙容器中有12.5的鹽水120克。往甲、乙兩個容器分別倒入等量的水，使兩個容器中鹽水的濃度一樣。每個容器應倒入多少克水？3、 甲種酒含純酒精40，乙種酒含純酒精36，丙種酒含純酒精35。將三種酒混在一起得到含酒精38.5的酒11千克。已知乙種酒比丙種酒多3千克，那么甲種酒有多少千克？答案：練11、 300（120）（140）300100克2、 20（115）（120）201.25千克3、 第一次把20毫升的純酒精倒入甲瓶，則甲瓶的濃度為：20（200+20），第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此時甲瓶中含酒精200毫升，乙瓶中含水20（1）毫升，
15、即兩者相等。練21、 30（160.15）0.153170千克2、 100（190）（180）50千克3、 10（1）（1）1037.5練31、 100（5025）（255）125千克2、 （50070+30050）（500+300）10062.53、 原有濃度為20的鹽水的質量為：1015（2015）30千克第二次加入鹽后，溶液濃度為25的質量為：【30（120）+10】（125）千克加入鹽的質量：（30+10）千克練41、 解：設需含鎳5的鋼x噸，則含鎳40的鋼140x噸， 5x+（140x）4014030 X 40 14040100噸2、 （300075300065）【1（7555）】1
16、500克 300015001500克3、 解法一：設互相交換x千克糖水。 【（60x）40+x20】60【（40x）20+x40】40 X24 解法二：606024千克練51、 解法一：1008080克 408032克 （8032）10048 404819.2克 （803219.2）10028.8 4028.811.52克 （803219.211.52）10017.28 解法二：80（1）（1）（1）10017.282、 300824克 12012.515克 解：設每個容器應倒入x克水。 X 1803、 解：設丙種酒有x千克，則乙種酒有（x+3）千克，甲種酒有（112x3）千克。 （112x3）40+（x+3）36+35x1138.5 X0.5 1120.537千克
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