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1、一、 導(dǎo)數(shù)和微分的概念及應(yīng)用,(1) 利用導(dǎo)數(shù)定義解決的問(wèn)題,(3)微分在近似計(jì)算與誤差估計(jì)中的應(yīng)用,(2)用導(dǎo)數(shù)定義求極限,1) 推出三個(gè)最基本的導(dǎo)數(shù)公式及求導(dǎo)法則,其他求導(dǎo)公式都可由它們及求導(dǎo)法則推出;,2) 求分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) ,及某些特殊,函數(shù)在特殊點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù);,3) 由導(dǎo)數(shù)定義證明一些命題.,應(yīng)用 :,解:,原式=,聯(lián)想到湊導(dǎo)數(shù)的定義式,1. 正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則,2. 熟練掌握求導(dǎo)方法和技巧,(1) 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù),注意討論分界點(diǎn)處左右導(dǎo)數(shù)是否存在和相等,(2) 隱函數(shù)求導(dǎo)法,對(duì)數(shù)微分法,(3) 參數(shù)方程求導(dǎo)法,極坐標(biāo)方程求導(dǎo),(4) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,(可利用微分
2、形式不變性),(5) 高階導(dǎo)數(shù)的求法,逐次求導(dǎo)歸納 ;,間接求導(dǎo)法;,利用萊布尼茲公式.,二、 導(dǎo)數(shù)和微分的求法,解:方程組兩邊對(duì) t 求導(dǎo),得,三、 微分中值定理及其應(yīng)用,1. 微分中值定理及其相互關(guān)系,羅爾定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的主要應(yīng)用,(1) 研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài),(2) 證明恒等式或不等式,(3) 證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論,3. 有關(guān)中值問(wèn)題的解題方法,利用逆向思維 , 設(shè)輔助函數(shù) .,一般解題方法:,證明含一個(gè)中值的等式或根的存在 ,(2) 若結(jié)論中涉及到含中值的兩個(gè)不同函數(shù) ,(3) 若結(jié)論中含兩個(gè)或兩個(gè)以上的中值 ,可用原函數(shù)法找輔助函數(shù) .,多用羅爾定理,可考慮
3、用,柯西中值定理 .,必須多次應(yīng)用,中值定理 .,(4) 若已知條件中含高階導(dǎo)數(shù) , 多考慮用泰勒公式 ,(5) 若結(jié)論為不等式 , 要注意適當(dāng)放大或縮小的技巧.,有時(shí)也可考慮對(duì)導(dǎo)數(shù)用中值定理 .,例2 設(shè)函數(shù) f (x) 在0, 3 上連續(xù), 在(0, 3) 內(nèi)可導(dǎo), 且,證: 因 f (x) 在0, 3上連續(xù),所以在0, 2上連續(xù), 且在,0, 2上有最大值 M 與最小值 m, 故,即所證不等式成立 .,本題另解,四、 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,1. 研究函數(shù)的性態(tài):,增減 ,極值 ,凹凸 ,拐點(diǎn) ,漸近線 ,曲率,2. 解決最值問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)的建立與簡(jiǎn)化,最值的判別問(wèn)題,3. 其他應(yīng)用 :,求不定式極限
4、 ;,幾何應(yīng)用 ;,相關(guān)變化率;,證明不等式 ;,研究方程實(shí)根等.,4. 補(bǔ)充定理 (見(jiàn)下頁(yè)),單調(diào)增區(qū)間為 ;,例20 填空題,單調(diào)減區(qū)間為 ;,極小值點(diǎn)為 ;,極大值點(diǎn)為 .,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,.,在區(qū)間 是上凸弧 ;,拐點(diǎn)為,的正負(fù)作 f (x) 的示意圖.,則函數(shù) f (x) 的圖,的圖形如圖所示,證明 f ( x ) 至多只有一個(gè)零點(diǎn) .,其它不變時(shí), 如何設(shè)輔助函數(shù)?,極大值,列表判別:,利用一階泰勒公式, 得,故原不等式成立.,故所證不等式成立 .,解法1 利用中值定理求極限,解法2 利用泰勒公式,解法3 利用等價(jià)代換,解法4,clear syms x B C a=-1.5:0.001:1.5; k=(x3-x)*(x2+B*x+C); %f(x) yu1=diff(k); %f(x) f1=subs(yu1,x,1); f2=subs(yu1,x,-1); b,c=solve(2+2*B+2*C=0,2-2*B+2*C=0,B,C) fp=subs(subs(k,B,b),C,c) %f(x) f=int(fp)*6 %f(x) y1=subs(f,x,a); y2=subs(fp,x,a); y3=subs(diff(fp),x,a); plot(a,y1,a,y2,r,a,y3,g,a,0*a),
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