《D25一元函數(shù)積分學(xué).ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《D25一元函數(shù)積分學(xué).ppt（27頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、,第二章,四、考點(diǎn)分析,五、歷年試題解析,一、考試基本要求,第三節(jié),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一元函數(shù)積分學(xué)(一)(27),二、知識點(diǎn)與考點(diǎn),三、歷年試題分類統(tǒng)計(jì)及考點(diǎn)分布,1.理解原函數(shù)的概念,的性質(zhì)及定積分中值定理,分法.,3.會求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡單無理函數(shù)的,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,一、考試基本要求,積分.,2.掌握不定積分的基本公式,掌握不定積分和定積分,掌握換元積分法和分部積,4.理解積分上限的函數(shù),會求它的導(dǎo)數(shù),理解不定積分和定積分的概念.,掌握牛頓萊,布尼茲公式.,5.了解反常積分的概念,會計(jì)算反常積分.,6.掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物
2、理量,引力、,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,及側(cè)面積、,(平面圖形的面積、,平面曲線的弧長、,旋轉(zhuǎn)體的體積,平行截面面積為已知的立體體積、,功、,壓力、,質(zhì)心、,形心等),及函數(shù)的平均值.,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、知識點(diǎn)與考點(diǎn),(一)不定積分,若,1.原函數(shù)與不定積分的定義:,有,則稱F(x)為f (x)在區(qū)間 I 上的一個原,設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間 I 內(nèi)有定義,函數(shù).,稱為 f (x),在區(qū)間 I 上的不定積分,記為,f (x)在區(qū)間I 上的全體原函數(shù) F (x) + c ,2. 不定積分的性質(zhì):,(1),(2),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(1).,4.基
3、本積分公式,(2),(互逆運(yùn)算),(1),3.不定積分與微分的關(guān)系,(2).,(3).,(4).,(5).,(6).,(7).,(8).,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(9).,(10).,(11).,(12).,(13).,(14).,(15).,(16).,(17).,(18).,(19).,(20).,(21).,(22).,5.基本積分法:,(1).直接積分法,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2).換元積分法,第一類換元積分法(湊微分法),常用湊微分公式:,第二類換元積分法(變量代換法),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(正弦代換),(正切代換),(正割代換),(根式代
4、換),三角代換,令,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,萬能代換:,積分步驟:,湊微分選 u , v ;,(3) 分部積分法,代公式;,算微分 ;,求積分.,例如:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(4) 有理函數(shù)的積分,有理函數(shù):,時,為真分式;,時,為假分式 .,利用多項(xiàng)式綜合除法,總可以將一個假分式化為一個多,項(xiàng)式與一個真分 式之和的形式 . 例如:,_,_,任何有理真分式通過部分分式均可化為下列四種,類型:,(2),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,其中,有理真分式的積分,(1),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3),(需用遞推公式計(jì)算,不作要求),(4),注:,但計(jì)算
5、相當(dāng)復(fù)雜.,解題時,應(yīng)尋求更為簡便的方法,如湊微分法、倒代換法等,有理函數(shù)雖然一定可積,盡量避免使用一般方法.,1.定積分的定義:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(二) 定積分,(七條性質(zhì)二條推論),2.定積分的幾何意義:,3.定積分的性質(zhì):,曲邊梯形面積的代數(shù)和.,(1),(2),(3),則有,(4),則有,(5),則有,推論1.,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(6). (定積分估值定理),若 M 和 m 分別是 f (x) 在a , b上的最大值和最小值,則有:,(7).(定積分中值定理),若f (x) 是a , b上的連續(xù)函數(shù),則在a , b上至少存在,一點(diǎn) ,使等式,推
6、論2.,成立.,并稱,為f (x)在a ,b區(qū)間上的平均值.,補(bǔ)充規(guī)定:,(1),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4. 定積分計(jì)算法,(1)牛頓-萊布尼茲公式,(2) 當(dāng)a = b 時,(2) 定積分換元積分法,(3),(3).定積分分部積分法,5.重要公式,(1),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(2),若f (x)為a , a上的奇函數(shù),則,若f (x)為a , a上的偶函數(shù),則,(3),n為奇數(shù),n為偶數(shù),注意:余弦函數(shù)無此性質(zhì)!,(4) 若f (x)是周期為T的周期函數(shù),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,a為任意實(shí)數(shù),(三) 廣義(反常)積分,2. 無界函數(shù)的廣義積分,則,1
7、.無窮區(qū)間的廣義積分,則有:,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.定積分在幾何上的應(yīng)用:,(1). 平面圖形的面積,則有,(四) 定積分的應(yīng)用, 直角坐標(biāo),1.定積分微元法,若整體量U在區(qū)間a , b上具有可加性,即有,而局部量 U du = f (x) dx,則,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,起點(diǎn)x = a 對應(yīng)參數(shù) t = ,按順時針方向決定起點(diǎn)與終點(diǎn).,參數(shù)方程,極坐標(biāo),終點(diǎn)x = b 對應(yīng)參數(shù) t = ,(2)旋轉(zhuǎn)體的體積,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,(3)平面曲線的弧長,弧長元素(弧微分),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,若曲線方程為y = f (x) ,則
8、有,則有, 直角坐標(biāo),若曲線方程為x = (y) ,參數(shù)方程,若曲線方程為參數(shù)方程,則有,極坐標(biāo),則有,3. 定積分在物理上的應(yīng)用,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,的作用下,(1) 變力作功,設(shè)物體在變力,從點(diǎn) a 沿直線移動到點(diǎn)b,(如圖示),則在此過程中變力,所作的功為:,(力的大小改變方向不變),若變力函數(shù) F (x) 不易確定,也可用微元分析法直接,若曲線方程為極坐標(biāo)方程,確定功的微元dW.,注:,(2) 水壓力,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,窄條的壓力微元,壓強(qiáng),窄條面積,則薄板受到的側(cè)壓力為,其中 為水的比重.,(3) 引力,小段細(xì)棒的引力微元,由于對稱性,年份,機(jī)動 目
9、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,三、歷年試題分類統(tǒng)計(jì)及考點(diǎn)分布,考點(diǎn),分值,定積分應(yīng)用,幾何,積分中值定理,物理,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,3,3+3,3,3,7,3,6,5,合計(jì),9,3,12,5,14,13,3,8,12,3,變上限積分,不定積分計(jì)算,定積分計(jì)算,3+3,3,3,14,8+3,3,5,5,5,5,5,15,6,定積分性質(zhì),3+6,3+6,9,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,年份,分值,考點(diǎn),99,00,01,02,03,04,05,06,07,08,合計(jì),3,合計(jì),9,84,6,12,6,6,8,27,10,33,16,16,3
10、,10,3,4,20,6,11,8,4,15,4,3,4,43,10,7,4,不定積分計(jì)算,定積分計(jì)算,變上限積分,定積分應(yīng)用,幾何,物理,定積分性質(zhì),積分中值定理,10,10,219,09,4,4,四、考點(diǎn)分析:,1.不定積分,2.不定積分與定積分計(jì)算(主要是換元法和分部法).,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,4.定積分在幾何和物理中的應(yīng)用(主要是幾何應(yīng)用).,6.反常積分的概念及其計(jì)算.,3.變上限積分及其導(dǎo)數(shù).,原函數(shù)和定積分的定義.,5.定積分性質(zhì)及積分中值定理.,本部分的重點(diǎn)是:,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,2.關(guān)于變上限積分的題:求導(dǎo),求極限等.,3.關(guān)于積分中值定理和積分性質(zhì)的證明題.,4.定積分應(yīng)用題:計(jì)算面積、旋轉(zhuǎn)體體積、平面曲線,1.計(jì)算題:計(jì)算不定積分、定積分及反常積分.,本部分常見題型,弧長、旋轉(zhuǎn)體面積、壓力、引力、變力作功等.,
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