內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用

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1、內(nèi)蒙古伊圖里河高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用主干知識整合1導(dǎo)數(shù)的幾何意義2函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)如果已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調(diào)遞增(減)，則這個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于零恒成立在區(qū)間上離散點處導(dǎo)數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)yxsinx.3函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值對可導(dǎo)函數(shù)而言，某點導(dǎo)數(shù)等于零是函數(shù)在該點取得極值的必要條件，但對不可導(dǎo)的函數(shù)，可能在極值點處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在(如函數(shù)y|x|在x0處)，因此對于一般函數(shù)而言，導(dǎo)數(shù)等于零既不是函數(shù)取得極值的充分條件也不是必要條件4閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間

2、內(nèi)函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內(nèi)函數(shù)的所有極小值的最小者5定積分與曲邊形面積(1)曲邊為yf(x)的曲邊梯形的面積：在區(qū)間a，b上的連續(xù)的曲線yf(x)，和直線xa，xb(ab)，y0所圍成的曲邊梯形的面積S.當f(x)0時，Sf(x)dx；當f(x)0時，Sf(x)dx.(2)曲邊為yf(x)，yg(x)的曲邊形的面積：在區(qū)間a，b上連續(xù)的曲線yf(x)，yg(x)，和直線xa，xb(ab)，y0所圍成的曲邊梯形的面積S|f(x)g(x)|dx.當f(x)g(x)時，Sf(x)g(x)dx；當f(x)0)的一條切線，則實數(shù)b_.(2)已知f(x)為偶函數(shù)

3、，當x0時，f(x)(x1)21，滿足ff(a)的實數(shù)a的個數(shù)為_(1)ln21(2)8【解析】 (1)切線的斜率是2，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出切點的橫坐標，進而求出切點的坐標，切點在切線上，代入即可求出b的值y，令2得x，故切點為，代入直線方程，得ln2b，所以bln21.(2)如圖所示，f(x)有四個解：1，1，1，1.所以f(a)1或f(a)1或f(a)1，當f(a)1時，a有2個值對應(yīng)；當f(a)1時，a有2個值對應(yīng)；當f(a)1時，a有4個值對應(yīng)，綜上可知滿足ff(a)的實數(shù)a有8個探究點二導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用例2 2011北京卷 已知函數(shù)f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的

4、單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范圍【解答】 (1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk.當k0時，f(x)與f(x)的情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，k)和(k，)；單調(diào)遞減區(qū)間是(k，k)當k0時，f(x)與f(x)的情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k)和(k，)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k，k)(2)當k0時，因為f(k1)e，所以不會有x(0，)，f(x).當k0時，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值

5、是f(k).所以x(0，)，f(x)，等價于f(k).解得k0.故當x(0，)，f(x)時，k的取值范圍是.【點評】 單調(diào)性是函數(shù)的最重要的性質(zhì)，函數(shù)的極值、最值等問題的解決都離不開函數(shù)的單調(diào)性，含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性又是綜合考查不等式的解法、分類討論的良好素材函數(shù)單調(diào)性的討論是高考考查導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的最重要的考查點函數(shù)單調(diào)性的討論往往歸結(jié)為一個不等式、特別是一元二次不等式的討論，對一元二次不等式，在二次項系數(shù)的符號確定后就是根據(jù)其對應(yīng)的一元二次方程兩個實根的大小進行討論，即分類討論的標準是先二次項系數(shù)、再根的大小對于在指定區(qū)間上不等式的恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題加以解決，如果

6、函數(shù)在這個指定的區(qū)間上沒有最值，則可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在這個區(qū)間上的值域，通過值域的端點值確定問題的答案例3 2011江西卷 設(shè)f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)當0a2時，f(x)在1,4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值【解答】 (1)由f(x)x2x2a22a，當x時，f(x)的最大值為f2a；令2a0，得a，所以，當a時，f(x)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間 (2)令f(x)0，得兩根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增當0a2時，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2)又f

7、(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a，得a1，x22，從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).變式題：已知函數(shù)f(x)(ax2x)lnxax2x.(aR)(1)當a0時，求曲線yf(x)在(e，f(e)處的切線方程(e2.718)；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間【解答】 (1)當a0時，f(x)xxlnx，f(x)lnx，所以f(e)0，f(e)1.所以當a0時，曲線yf(x)在(e，f(e)處的切線方程為yxe.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)f(x)(ax2x)(2ax1)lnxax1(2ax1)lnx，當a0時，2ax10，在(1，

8、)上f(x)0，所以此時f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減；當0a0，在上f(x)時，在和(1，)上f(x)0，在上f(x)0)，則h(x).設(shè)k0，由h(x)知，當x1時，h(x)0，而h(1)0，故當x(0,1)時，h(x)0，可得h(x)0；當x(1，)時，h(x)0，可得h(x)0.從而當x0，且x1時，f(x)0，即f(x).設(shè)0k1，由于當x時，(k1)(x21)2x0，故h(x)0，而h(1)0，故當x時，h(x)0，可得h(x)0.與題設(shè)矛盾設(shè)k1，此時h(x)0，而h(1)0，故當x(1，)時，h(x)0，可得h(x)0，與題設(shè)矛盾綜合得，k的取值范圍為(，

9、0【點評】 本題的困難是第二問的不等式問題，通過作差f(x)后，通過適當?shù)淖儞Q把其變換為，其目的就是為了分0x1進行研究，括號內(nèi)的部分看似復(fù)雜，其實就是2lnx(k1)，把這個式子作為函數(shù)h(x)，其導(dǎo)數(shù)是很容易求出的，而且函數(shù)h(x)恰好在x1處等于零，這樣就便于使用函數(shù)的單調(diào)性得到和h(1)進行比較的式子，使用特殊點的函數(shù)值是分析解決不等式問題的重要技巧之一本題具有極高的技巧性，也很容易使解題者陷入分離參數(shù)的困境變式題：已知函數(shù)f(x)ln(xa)x2x在x0處取得極值(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)若關(guān)于x的方程f(x)xb在區(qū)間(0,2)有兩個不等實根，求實數(shù)

10、b的取值范圍【解答】 (1)由已知得f(x)2x1，由題意知f(0)0，即0，解得a1.(2)由(1)得f(x)(x1)由f(x)0得1x0，由f(x)0.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，)(3)令g(x)f(x)ln(x1)x2xb，x(0,2)，則g(x)2x，令g(x)0，得x1或x(舍)當0x0，當1x2時，g(x)0，即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減方程f(x)xb在區(qū)間(0,2)上有兩個不等實根等價于函數(shù)g(x)在(0,2)上有兩個不同的零點故只要即可，即解得ln31bln2.即實數(shù)b的取值范圍為ln31bln2.規(guī)律技巧提煉1求解切

11、線問題時要注意求的是曲線上某點處的切線問題，還是曲線的過某個點的切線問題2函數(shù)的單調(diào)性是使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問題的根本，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間的分界點就是函數(shù)的極值點，在含有字母參數(shù)的函數(shù)中討論函數(shù)的單調(diào)性就是根據(jù)函數(shù)的極值點把函數(shù)的定義域區(qū)間進行分段，在各個段上研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性，也確定了函數(shù)的極值點，這是討論函數(shù)的單調(diào)性和極值點情況進行分類的基本原則3使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式問題的基本方法是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用特殊點的函數(shù)值和整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較得到不等式，注意在一些問題中對函數(shù)的解析式進行適當?shù)淖儞Q再構(gòu)造函數(shù)4使用導(dǎo)數(shù)的方

12、法研究方程的根的分布，其基本思想是構(gòu)造函數(shù)后，使用數(shù)形結(jié)合方法，即先通過“數(shù)”的計算得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，再使用“形”的直觀得到方程根的分布情況教師備用例題備選理由：例1是以三角函數(shù)為背景的試題，鑒于當前在高考中考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的情況，以三角函數(shù)為主的試題不多見，選用此題彌補這個不足；例2難度不大，考查全面，是一道綜合性較強的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，可以全面串聯(lián)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式和方程；例3是一個以構(gòu)造函數(shù)、通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值點和特殊點的函數(shù)值研究不等式的典型例題，這個題和本講例5，可以形成學(xué)習使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式的一個基本思路，提高學(xué)習解決函數(shù)綜合題的能力例1若f(x)h(x)ax

13、bg(x)，則定義h(x)為曲線f(x)，g(x)的線已知f(x)tanx，x，g(x)sinx，x，則f(x)，g(x)的線為_【分析】 實際上就是確定a，b的值，使得不等式sinxaxbtanx對任意的x恒成立可以通過構(gòu)造函數(shù)的方法解決這個不等式的恒成立問題【答案】 yx【解析】 這樣的直線若存在，則對x0時一定滿足不等式sinxaxbtanx，故b0.設(shè)h(x)sinxax，則h(x)cosxa，如果a0，則h(x)0，函數(shù)h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，h(x)h(0)0，無論a取何值，都不會有h(x)0恒成立；如果0a1，則函數(shù)h(x)在區(qū)間存在一個極值點x0，且是極大值點，從而當x(0，

14、x0)時，h(x)h(0)，也不可能；當a1時，函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，故h(x)h(0)0，此時不等式sinxax恒成立例2設(shè)函數(shù)f(x)lnxax2bx.(1)當ab時，求f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(01，則函數(shù)在區(qū)間有一個極值點x0，且是極大值點，當x(0，x0)時，(x)(0)0，不等式axtanx不恒成立，故不等式axtanx恒成立時a1.綜合可知只能是a1.故所求的直線是yx.【解答】 (1)依題意，知f(x)的定義域為(0，)，當ab時，f(x)lnxx2x，f(x)x.令f(x)0，解得x1(因為x0，所以舍去x2)當0x0，此時f(x)單調(diào)遞增；當

15、x1時，f(x)0，x0，所以x10(舍去)，x2.當x(0，x2)時，g(x)0，g(x)在(x2，)上單調(diào)遞增，當xx2時，g(x2)0，g(x)取最小值g(x2)則即所以2mlnx2mx2m0.因為m0，所以2lnx2x210(*)設(shè)函數(shù)h(x)2lnxx1，因為當x0時，h(x)是增函數(shù)，所以h(x)0至多有一解因為h(1)0，所以方程(*)的解為x21，即1，解得m.例3已知函數(shù)f(x)sinx(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當a取(1)中最小值時，求證：g(x)f(x)x3.【解答】 (1)令h(x)sinxax(x0)，h(

16、x)cosxa.若a1，則h(x)cosxa0，h(x)sinxax在0，)上單調(diào)遞減，h(x)h(0)0，所以sinxax(x0)成立若0a0，h(x)sinxax在x(0，x0)單調(diào)遞增，h(x)h(0)0，不合題意，舍去若a0時，對任意的x，有cosxa0，h(x)在0，)上恒大于0，不合題意，舍去綜上，a1.(2)證明：設(shè)H(x)xsinxx3(x0)，則H(x)1cosxx2.令G(x)1cosxx2，則G(x)sinxx0(x0)，G(x)1cosxx2在(0，)上單調(diào)遞減，此時G(x)1cosxx2G(0)0，即H(x)1cosxx20，所以H(x)xsinxx3在0，)上單調(diào)遞減，所以H(x)xsinxx3H(0)0，即xsinxx30(x0)，即g(x)f(x)x3(x0)