內蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復習 導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用

內蒙古伊圖里河高級中學高三數(shù)學復習：導數(shù)在研究函數(shù)性質中的應用主干知識整合1導數(shù)的幾何意義2函數(shù)的單調性與導數(shù)如果已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調遞增(減)，則這個函數(shù)的導數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于零恒成立在區(qū)間上離散點處導數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調性，如函數(shù)yxsinx.3函數(shù)的導數(shù)與極值對可導函數(shù)而言，某點導數(shù)等于零是函數(shù)在該點取得極值的必要條件，但對不可導的函數(shù)，可能在極值點處函數(shù)的導數(shù)不存在(如函數(shù)y|x|在x0處)，因此對于一般函數(shù)而言，導數(shù)等于零既不是函數(shù)取得極值的充分條件也不是必要條件4閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內函數(shù)的所有極小值的最小者5定積分與曲邊形面積(1)曲邊為yf(x)的曲邊梯形的面積：在區(qū)間a，b上的連續(xù)的曲線yf(x)，和直線xa，xb(ab)，y0所圍成的曲邊梯形的面積S.當f(x)0時，Sf(x)dx；當f(x)<0時，Sf(x)dx.(2)曲邊為yf(x)，yg(x)的曲邊形的面積：在區(qū)間a，b上連續(xù)的曲線yf(x)，yg(x)，和直線xa，xb(ab)，y0所圍成的曲邊梯形的面積S|f(x)g(x)|dx.當f(x)g(x)時，Sf(x)g(x)dx；當f(x)<g(x)時，Sg(x)f(x)dx要點熱點探究探究點一導數(shù)的幾何意義的應用例1 2011·湖南卷 曲線y在點M處的切線的斜率為()A B. C D.B【解析】 對y求導得到y(tǒng)，當x，得到y(tǒng).變式題：(1)直線y2xb是曲線ylnx(x>0)的一條切線，則實數(shù)b_.(2)已知f(x)為偶函數(shù)，當x0時，f(x)(x1)21，滿足ff(a)的實數(shù)a的個數(shù)為_(1)ln21(2)8【解析】 (1)切線的斜率是2，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可以求出切點的橫坐標，進而求出切點的坐標，切點在切線上，代入即可求出b的值y，令2得x，故切點為，代入直線方程，得ln2×b，所以bln21.(2)如圖所示，f(x)有四個解：1，1，1，1.所以f(a)1或f(a)1或f(a)1，當f(a)1時，a有2個值對應；當f(a)1時，a有2個值對應；當f(a)1時，a有4個值對應，綜上可知滿足ff(a)的實數(shù)a有8個探究點二導數(shù)在研究函數(shù)中的應用例2 2011·北京卷 已知函數(shù)f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的單調區(qū)間；(2)若對于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范圍【解答】 (1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得x±k.當k0時，f(x)與f(x)的情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以，f(x)的單調遞增區(qū)間是(，k)和(k，)；單調遞減區(qū)間是(k，k)當k0時，f(x)與f(x)的情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(，k)和(k，)；單調遞增區(qū)間是(k，k)(2)當k0時，因為f(k1)e，所以不會有x(0，)，f(x).當k0時，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)，等價于f(k).解得k0.故當x(0，)，f(x)時，k的取值范圍是.【點評】 單調性是函數(shù)的最重要的性質，函數(shù)的極值、最值等問題的解決都離不開函數(shù)的單調性，含有字母參數(shù)的函數(shù)的單調性又是綜合考查不等式的解法、分類討論的良好素材函數(shù)單調性的討論是高考考查導數(shù)研究函數(shù)問題的最重要的考查點函數(shù)單調性的討論往往歸結為一個不等式、特別是一元二次不等式的討論，對一元二次不等式，在二次項系數(shù)的符號確定后就是根據(jù)其對應的一元二次方程兩個實根的大小進行討論，即分類討論的標準是先二次項系數(shù)、再根的大小對于在指定區(qū)間上不等式的恒成立問題，一般是轉化為函數(shù)最值問題加以解決，如果函數(shù)在這個指定的區(qū)間上沒有最值，則可轉化為求函數(shù)在這個區(qū)間上的值域，通過值域的端點值確定問題的答案例3 2011·江西卷 設f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在上存在單調遞增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)當0<a<2時，f(x)在1,4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值【解答】 (1)由f(x)x2x2a22a，當x時，f(x)的最大值為f2a；令2a0，得a，所以，當a時，f(x)在上存在單調遞增區(qū)間 (2)令f(x)0，得兩根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上單調遞減，在(x1，x2)上單調遞增當0a2時，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a，得a1，x22，從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).變式題：已知函數(shù)f(x)(ax2x)lnxax2x.(aR)(1)當a0時，求曲線yf(x)在(e，f(e)處的切線方程(e2.718)；(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間【解答】 (1)當a0時，f(x)xxlnx，f(x)lnx，所以f(e)0，f(e)1.所以當a0時，曲線yf(x)在(e，f(e)處的切線方程為yxe.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)f(x)(ax2x)(2ax1)lnxax1(2ax1)lnx，當a0時，2ax1<0，在(0,1)上f(x)>0，在(1，)上f(x)<0，所以此時f(x)在(0,1)上單調遞增，在(1，)上單調遞減；當0<a<時，在(0,1)和上f(x)>0，在上f(x)<0，所以此時f(x)在(0,1)和上單調遞增，在上單調遞減；當a時，在(0，)上f(x)0且僅有f(1)0，所以此時f(x)在(0，)上單調遞增；當a>時，在和(1，)上f(x)>0，在上f(x)<0，所以此時f(x)在和(1，)上單調遞增，在上單調遞減探究點三定積分例4 (1)2011·福建卷 (ex2x)dx等于()A1 Be1 Ce De1(2)2011·課標全國卷 由曲線y，直線yx2及y軸所圍成的圖形的面積為()A. B4 C. D6(1)C(2)C【解析】 (1)因為F(x)exx2，且F(x)ex2x，則(ex2x)dx(exx2)|(e1)(e00)e，故選C.(2)如圖，由 解得x4或x1.經檢驗x1為增根，x4，B(4,2)，又可求A(0，2)，所以陰影部分的面積S (x 2)dx .【點評】 計算定積分的基本方法就是根據(jù)微積分基本定理，其關鍵是找到一個函數(shù)使得這個函數(shù)的導數(shù)是被積函數(shù)，這實際上是導數(shù)運算的逆運算；使用定積分的方法求曲邊形面積時，要根據(jù)圍成這個曲邊形的直線和曲線的相對位置確定是哪個函數(shù)的、在什么區(qū)間上的定積分，求曲邊形面積可以使用x為積分變量，也可以使用y為積分變量，本例第(2)問如果使用y為積分變量，所求的面積由兩部分組成，一個是下方的等腰直角三角形，一個是定積分(y2y2)dy.創(chuàng)新鏈接3用導數(shù)研究不等式和方程在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個區(qū)間上恒成立的不等式(實際上就是證明這個不等式)，研究不等式在一個區(qū)間上成立時不等式的某個參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個區(qū)間上的根的個數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎初等函數(shù)的知識已經無能為力，就需要根據(jù)導數(shù)的方法進行解決使用導數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構造函數(shù)，通過導數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調性、極值和特殊點的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數(shù)例5 2011·課標全國卷 已知函數(shù)f(x)，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為x2y30.(1)求a，b的值；(2)如果當x0，且x1時，f(x)，求k的取值范圍【分析】 (1)問關鍵能通過題干信息中的點(1，f(1)“處”與切線方程的斜率列出方程組；(2)問關鍵是正確提取分類的條件【解答】 (1)f(x)，由于直線x2y30的斜率為，且過點(1,1)，故即解得a1，b1.(2)由(1)知f(x)，所以f(x)2lnx.考慮函數(shù)h(x)2lnx(x>0)，則h(x).設k0，由h(x)知，當x1時，h(x)0，而h(1)0，故當x(0,1)時，h(x)0，可得h(x)0；當x(1，)時，h(x)0，可得h(x)0.從而當x0，且x1時，f(x)0，即f(x).設0k1，由于當x時，(k1)(x21)2x0，故h(x)>0，而h(1)0，故當x時，h(x)>0，可得h(x)<0.與題設矛盾設k1，此時h(x)0，而h(1)0，故當x(1，)時，h(x)0，可得h(x)0，與題設矛盾綜合得，k的取值范圍為(，0【點評】 本題的困難是第二問的不等式問題，通過作差f(x)后，通過適當?shù)淖儞Q把其變換為，其目的就是為了分0<x<1，x>1進行研究，括號內的部分看似復雜，其實就是2lnx(k1)，把這個式子作為函數(shù)h(x)，其導數(shù)是很容易求出的，而且函數(shù)h(x)恰好在x1處等于零，這樣就便于使用函數(shù)的單調性得到和h(1)進行比較的式子，使用特殊點的函數(shù)值是分析解決不等式問題的重要技巧之一本題具有極高的技巧性，也很容易使解題者陷入分離參數(shù)的困境變式題：已知函數(shù)f(x)ln(xa)x2x在x0處取得極值(1)求實數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(3)若關于x的方程f(x)xb在區(qū)間(0,2)有兩個不等實根，求實數(shù)b的取值范圍【解答】 (1)由已知得f(x)2x1，由題意知f(0)0，即0，解得a1.(2)由(1)得f(x)(x>1)由f(x)>0得1<x<0，由f(x)<0得x>0.f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,0)，單調遞減區(qū)間為(0，)(3)令g(x)f(x)ln(x1)x2xb，x(0,2)，則g(x)2x，令g(x)0，得x1或x(舍)當0<x<1時，g(x)>0，當1<x<2時，g(x)<0，即g(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減方程f(x)xb在區(qū)間(0,2)上有兩個不等實根等價于函數(shù)g(x)在(0,2)上有兩個不同的零點故只要即可，即解得ln31<b<ln2.即實數(shù)b的取值范圍為ln31<b<ln2.規(guī)律技巧提煉1求解切線問題時要注意求的是曲線上某點處的切線問題，還是曲線的過某個點的切線問題2函數(shù)的單調性是使用導數(shù)研究函數(shù)問題的根本，函數(shù)的單調遞增區(qū)間和單調遞減區(qū)間的分界點就是函數(shù)的極值點，在含有字母參數(shù)的函數(shù)中討論函數(shù)的單調性就是根據(jù)函數(shù)的極值點把函數(shù)的定義域區(qū)間進行分段，在各個段上研究函數(shù)的導數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調性，也確定了函數(shù)的極值點，這是討論函數(shù)的單調性和極值點情況進行分類的基本原則3使用導數(shù)的方法研究不等式問題的基本方法是構造函數(shù)，通過導數(shù)的方法研究這個函數(shù)的單調性、極值，利用特殊點的函數(shù)值和整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較得到不等式，注意在一些問題中對函數(shù)的解析式進行適當?shù)淖儞Q再構造函數(shù)4使用導數(shù)的方法研究方程的根的分布，其基本思想是構造函數(shù)后，使用數(shù)形結合方法，即先通過“數(shù)”的計算得到函數(shù)的單調區(qū)間和極值，再使用“形”的直觀得到方程根的分布情況教師備用例題備選理由：例1是以三角函數(shù)為背景的試題，鑒于當前在高考中考查函數(shù)導數(shù)的情況，以三角函數(shù)為主的試題不多見，選用此題彌補這個不足；例2難度不大，考查全面，是一道綜合性較強的函數(shù)與導數(shù)試題，可以全面串聯(lián)導數(shù)研究函數(shù)性質、不等式和方程；例3是一個以構造函數(shù)、通過研究函數(shù)的單調性、極值點和特殊點的函數(shù)值研究不等式的典型例題，這個題和本講例5，可以形成學習使用導數(shù)的方法研究不等式的一個基本思路，提高學習解決函數(shù)綜合題的能力例1若f(x)h(x)axbg(x)，則定義h(x)為曲線f(x)，g(x)的線已知f(x)tanx，x，g(x)sinx，x，則f(x)，g(x)的線為_【分析】 實際上就是確定a，b的值，使得不等式sinxaxbtanx對任意的x恒成立可以通過構造函數(shù)的方法解決這個不等式的恒成立問題【答案】 yx【解析】 這樣的直線若存在，則對x0時一定滿足不等式sinxaxbtanx，故b0.設h(x)sinxax，則h(x)cosxa，如果a0，則h(x)0，函數(shù)h(x)在區(qū)間上單調遞增，h(x)h(0)0，無論a取何值，都不會有h(x)0恒成立；如果0<a<1，則函數(shù)h(x)在區(qū)間存在一個極值點x0，且是極大值點，從而當x(0，x0)時，h(x)h(0)，也不可能；當a1時，函數(shù)h(x)在上單調遞減，故h(x)h(0)0，此時不等式sinxax恒成立例2設函數(shù)f(x)lnxax2bx.(1)當ab時，求f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)ax2bx(0<x3)，其圖象上任意一點P(x0，y0)處切線的斜率k恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)當a0，b1，方程2mf(x)x2有唯一實數(shù)解，求正數(shù)m的值設(x)axtanx，則(x)a(tanx)aaa，如果a1，則(x)0，函數(shù)(x)在單調遞減，故(x)(0)0，此時不等式axtanx在區(qū)間上恒成立，如果a>1，則函數(shù)在區(qū)間有一個極值點x0，且是極大值點，當x(0，x0)時，(x)(0)0，不等式axtanx不恒成立，故不等式axtanx恒成立時a1.綜合可知只能是a1.故所求的直線是yx.【解答】 (1)依題意，知f(x)的定義域為(0，)，當ab時，f(x)lnxx2x，f(x)x.令f(x)0，解得x1(因為x>0，所以舍去x2)當0<x<1時，f(x)>0，此時f(x)單調遞增；當x>1時，f(x)<0，此時f(x)單調遞減所以f(x)的極大值為f(1)，此即為最大值(2)F(x)lnx，x(0,3，則有kF(x0)，在x0(0,3上恒成立，所以amax，x0(0,3，當x01時，xx0取得最大值，所以a.(3)因為方程2mf(x)x2有唯一實數(shù)解，所以x22mlnx2mx0有唯一實數(shù)解設g(x)x22mlnx2mx，則g(x).令g(x)0，x2mxm0.因為m>0，x>0，所以x1<0(舍去)，x2.當x(0，x2)時，g(x)<0，g(x)在(0，x2)上單調遞減，當x(x2，)時，g(x)>0，g(x)在(x2，)上單調遞增，當xx2時，g(x2)0，g(x)取最小值g(x2)則即所以2mlnx2mx2m0.因為m>0，所以2lnx2x210(*)設函數(shù)h(x)2lnxx1，因為當x>0時，h(x)是增函數(shù)，所以h(x)0至多有一解因為h(1)0，所以方程(*)的解為x21，即1，解得m.例3已知函數(shù)f(x)sinx(x0)，g(x)ax(x0)(1)若f(x)g(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當a取(1)中最小值時，求證：g(x)f(x)x3.【解答】 (1)令h(x)sinxax(x0)，h(x)cosxa.若a1，則h(x)cosxa0，h(x)sinxax在0，)上單調遞減，h(x)h(0)0，所以sinxax(x0)成立若0<a<1，則存在x0，使得cosx0a，x(0，x0)，h(x)cosxa>0，h(x)sinxax在x(0，x0)單調遞增，h(x)>h(0)0，不合題意，舍去若a0時，對任意的x，有cosxa>0，h(x)在0，)上恒大于0，不合題意，舍去綜上，a1.(2)證明：設H(x)xsinxx3(x0)，則H(x)1cosxx2.令G(x)1cosxx2，則G(x)sinxx0(x0)，G(x)1cosxx2在(0，)上單調遞減，此時G(x)1cosxx2G(0)0，即H(x)1cosxx20，所以H(x)xsinxx3在0，)上單調遞減，所以H(x)xsinxx3H(0)0，即xsinxx30(x0)，即g(x)f(x)x3(x0)