2015年高三數(shù)學(xué)名校試題分類匯編(1月 第二期)G單元 立體幾何(含解析)

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1、G單元 立體幾何 目錄G單元 立體幾何1G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)1G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖10G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線24G4 空間中的平行關(guān)系24G5 空間中的垂直關(guān)系39G6 三垂線定理59G7 棱柱與棱錐60G8 多面體與球68G9空間向量及運算69G10 空間向量解決線面位置關(guān)系72G11 空間角與距離的求法72G12 單元綜合91G1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試(三)(201412)word版】(9)如圖的幾何體是長方體 的一部分,其中 則該幾何體的外接球的表面積為(A (B) (C) ( D)【知識點

2、】幾何體的結(jié)構(gòu). G1【答案】【解析】B 解析:該幾何體的外接球即長方體的外接球,而若長方體 的外接球半徑為R ,則長方體的體對角線為2R,所以,所以該幾何體的外接球的表面積,故選 B. 【思路點撥】分析該幾何體的外接球與長方體的外接球的關(guān)系,進(jìn)而得結(jié)論. 【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】15正方體為棱長為1,動點分別在棱上,過點的平面截該正方體所得的截面記為,設(shè)其中,下列命題正確的是_.(寫出所有正確命題的編號)當(dāng)時,為矩形,其面積最大為1;當(dāng)時,為等腰梯形;當(dāng)時,設(shè)與棱的交點為,則;當(dāng)時,以為頂點,為底面的棱錐的體積為定值。【知識

3、點】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析:當(dāng)時,為矩形,其最大面積為1,所以錯誤;當(dāng)時,截面如圖所示,所以正確;當(dāng)時,如圖,設(shè)S與棱C1D1的交點為R,延長DD1,使DD1QR=N,連接AN交A1D1于S,連接SR,可證ANPQ,由NRD1QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N,可得,正確;當(dāng)y=1時,以B1為頂點,S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示,該四棱錐的體積為,所以正確綜上可知答案為.【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面,結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】15正方體為棱長為1,動點分別在

4、棱上,過點的平面截該正方體所得的截面記為,設(shè)其中,下列命題正確的是_.(寫出所有正確命題的編號)當(dāng)時,為矩形,其面積最大為1;當(dāng)時,為等腰梯形;當(dāng)時,設(shè)與棱的交點為,則;當(dāng)時,以為頂點,為底面的棱錐的體積為定值。【知識點】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析:當(dāng)時,為矩形,其最大面積為1,所以錯誤;當(dāng)時,截面如圖所示,所以正確;當(dāng)時,如圖,設(shè)S與棱C1D1的交點為R,延長DD1,使DD1QR=N,連接AN交A1D1于S,連接SR,可證ANPQ,由NRD1QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N,可得,正確;當(dāng)y=1時,以B1為頂點,S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示,該四棱錐的體積為

5、,所以正確綜上可知答案為.【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面,結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】15正方體為棱長為1,動點分別在棱上,過點的平面截該正方體所得的截面記為,設(shè)其中,下列命題正確的是_.(寫出所有正確命題的編號)當(dāng)時,為矩形,其面積最大為1;當(dāng)時,為等腰梯形;當(dāng)時,設(shè)與棱的交點為,則;當(dāng)時,以為頂點,為底面的棱錐的體積為定值?!局R點】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析:當(dāng)時,為矩形,其最大面積為1,所以錯誤;當(dāng)時,截面如圖所示,所以正確;當(dāng)時,如圖,設(shè)S與棱C1D1的交點為R,延長DD1

6、,使DD1QR=N,連接AN交A1D1于S,連接SR,可證ANPQ,由NRD1QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N,可得,正確;當(dāng)y=1時,以B1為頂點,S為底面的棱錐B1-APC1M如圖所示,該四棱錐的體積為,所以正確綜上可知答案為.【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面,結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】15正方體為棱長為1,動點分別在棱上,過點的平面截該正方體所得的截面記為,設(shè)其中,下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號)當(dāng)時,為矩形,其面積最大為1;當(dāng)時,為等腰梯形;當(dāng)時,為六邊形;當(dāng)時,設(shè)

7、與棱的交點為,則。【知識點】正方體的特征G1【答案】【解析】 解析:當(dāng)時,為矩形,其最大面積為1,所以錯誤;當(dāng)時,截面如圖所示,所以正確;當(dāng)時,截面如圖,所以錯誤;當(dāng)時,如圖,設(shè)S與棱C1D1的交點為R,延長DD1,使DD1QR=N,連接AN交A1D1于S,連接SR,可證ANPQ,由NRD1QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N,可得,正確;綜上可知正確的序號應(yīng)為.【思路點撥】可結(jié)合線面平行的性質(zhì)作出其截面,結(jié)合其截面特征進(jìn)行解答.G2 空間幾何體的三視圖和直觀圖【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖北省部分高中高三元月調(diào)考(201501)】4.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是一個腰長為2的等腰

8、直角三角形,則該幾何體外接球的體積是( ) A. B. C. D. 【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】俯視圖是一個腰長為2的等腰直角三角形,故底面外接圓半徑r=,由主視圖中棱錐的高h(yuǎn)=1,故棱錐的外接球半徑R滿足:R=,故該幾何體外接球的體積V=R3=.【思路點撥】由已知中的三視圖可得該幾何體是一個三棱錐,求出底面外接圓半徑和棱錐的高,進(jìn)而利用勾股定理,求出其外接球的半徑,代入球的體積公式,可得答案【數(shù)學(xué)文卷2015屆湖南省衡陽市八中高三上學(xué)期第六次月考(201501)】4某幾何體的三視圖如右上圖所示,則該幾何體的體積是( ) A B C Da2aa正視圖左視圖俯視圖【

9、知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】C【解析】由三視圖知幾何體為圓錐的,則V=Sh=【思路點撥】根據(jù)三視圖得到為圓錐的,再根據(jù)體積公式求出體積?!久>方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)(理)卷2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考(201501)】11多面體的三視圖如圖所示,則該多面體表面積為(單位)A B CD【知識點】三視圖求表面積.G2【答案】【解析】A 解析:根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示:由題意得:,所以,所以,在三角形ABD中,,所以該幾何體的表面積為這四個面的面積和,故選A?!舅悸伏c撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀,然后分別求出各個面的面積,再求和即可。

10、【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(理)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】7一個幾何體的三視圖如圖示,則這個幾何體的體積為( ) A B C D【知識點】三視圖G2【答案】【解析】D 解析:由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個角之后剩余的部分,如圖,所以其體積為,則選D.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積,關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀,可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(理)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】7一個幾何體的三視圖如圖示,則這個幾何體的體積為( ) A B C D【知識點】三視圖G2【答案】【解析】

11、D 解析:由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個角之后剩余的部分,如圖,所以其體積為,則選D.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積,關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀,可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(理)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】7一個幾何體的三視圖如圖示,則這個幾何體的體積為( ) A B C D【知識點】三視圖G2【答案】【解析】D 解析:由三視圖可知該幾何體為正方體截取一個角之后剩余的部分,如圖,所以其體積為,則選D.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積,關(guān)鍵是判斷原幾何體形狀,可在熟悉的幾何體的三視圖基礎(chǔ)上進(jìn)行解答.【名校精品解

12、析系列】數(shù)學(xué)(文)卷2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考(201501)】15.多面體的三視圖如圖所示,則該多面體體積為(單位) 【知識點】三視圖求幾何體體積.G2【答案】【解析】 解析:根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如下圖所示:由題意得:,且, ,故答案為?!舅悸伏c撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀,然后利用錐體的體積公式即可?!久>方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)(文)卷2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考(201501)】15.多面體的三視圖如圖所示,則該多面體體積為(單位) 【知識點】三視圖求幾何體體積.G2【答案】【解析】 解析:根據(jù)多面體的三視圖可知該幾何體如

13、下圖所示:由題意得:,且, ,故答案為?!舅悸伏c撥】先根據(jù)多面體的三視圖判斷出該幾何體形狀,然后利用錐體的體積公式即可。【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(文)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】3.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D. 【知識點】三視圖G2【答案】【解析】A 解析:由三視圖可知該幾何體為一個倒放的三棱柱,其底面積為,高為3,所以其體積為,則選A.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積時,應(yīng)先分析幾何體的特征在進(jìn)行求值.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(文)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】3.某

14、幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D. 【知識點】三視圖G2【答案】【解析】A 解析:由三視圖可知該幾何體為一個倒放的三棱柱,其底面積為,高為3,所以其體積為,則選A.【思路點撥】由三視圖求幾何體的體積時,應(yīng)先分析幾何體的特征在進(jìn)行求值.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆浙江省重點中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試(201501)word版】3一個幾何體的三視圖及其尺寸(單位:)如圖所示,則該幾何體的側(cè)面積為( )。A BC D 俯視圖正(主)視圖 8 5 5 8側(cè)(左)視圖 8 5 5(第3題圖)【知識點】三視圖 G2【答案】D【解析】解析:由三視圖可

15、得該幾何體是底面為8的正四棱錐,且正四棱錐的斜高為5,所以側(cè)面積為:,故選擇D.【思路點撥】根據(jù)三視圖可得該幾何體是底面為8的正四棱錐,且正四棱錐的斜高為5,即可求得其側(cè)面積.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆河南省安陽一中等天一大聯(lián)考高三階段測試(三)(201412)word版】(20)(本小題滿分12分) 如圖,在四棱錐P -ABCD中,ADDB,其中三棱錐P- BCD的三視圖如圖所示,且 (1)求證:AD PB(2)若PA與平面PCD所成角的正弦值為 ,求AD的長【知識點】幾何體的三視圖;垂直關(guān)系的判定;線面角的意義. G2 G5 G11【答案】【解析】(1)證明:見解析;(2)6.

16、 解析:由三視圖可知又,又。 (2)由(1)可知,PD,AD,BD兩兩互相垂直,以D為原點,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AD= ,結(jié)合sinBDC= 可得.所以設(shè)為平面PCD 的法向量,由題意得即,令y=3,則x=4,z=0,得平面PCD的一個法向量. 設(shè)PA與平面PCD 所成角為,可得,解之得,即AD=6.【思路點撥】(1)由三視圖得此幾何體的結(jié)構(gòu)特點,從而得AD平面PBD,進(jìn)而得結(jié)論;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解. 【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】6一個四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則這個四棱錐的側(cè)面積是

17、()A B C. D.【知識點】三視圖G2【答案】【解析】D 解析:由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形,因為底面正方形的邊長為,四個側(cè)棱長依次為,所以其側(cè)面積為,所以選D.【思路點撥】由三視圖求面積或體積,關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】6一個四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則這個四棱錐的側(cè)面積是()A B C. D.【知識點】三視圖G2【答案】【解析】D 解析:由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形,因為底面正方形的邊長為,四個側(cè)棱長依次為,所以其側(cè)面積為,所以選D.【思路點撥】由

18、三視圖求面積或體積,關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】6一個四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,則這個四棱錐的側(cè)面積是()A B C. D.【知識點】三視圖G2【答案】【解析】D 解析:由三視圖可知該四棱錐各側(cè)面都是直角三角形,因為底面正方形的邊長為,四個側(cè)棱長依次為,所以其側(cè)面積為,所以選D.【思路點撥】由三視圖求面積或體積,關(guān)鍵是由三視圖正確判斷原幾何體特征.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬考試(201501)】5如圖,若一個空間幾何體的三視圖中,直角三

19、角形的直角邊長均為1,則該幾何體的體積為( )A B C D【知識點】由三視圖求面積、體積G2【答案】【解析】B 解析:由三視圖知,此幾何體是一個有一個側(cè)枝垂直于底面且底面是邊長為1的正方形,其高也為1,故該幾何體的體積為,故選B【思路點撥】由三視圖還原出實物圖的結(jié)構(gòu)特征及數(shù)據(jù),由三視圖可以看出此物體是一個四棱錐,根據(jù)相關(guān)的體積公式求出其體積【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆重慶一中高三12月月考(201412)word版】13.某幾何體的三視圖如圖所示,且該幾何體的體積是3,則正視圖中的的值是_【知識點】三視圖G2【答案】【解析】3 解析:由三視圖可得出該幾何體為四棱錐,體積為V=3,解

20、得x=3,故答案為3.【思路點撥】關(guān)鍵在于看出該幾何體為四棱錐,再利用體積計算公式得到關(guān)于x的方程,即可解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆湖北省部分高中高三元月調(diào)考(201501)】5已知某三棱錐的三視圖均為腰長為 2的等腰直角三角形(如圖),則該棱錐的表面積為( )A BC D【知識點】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2【答案】A【解析】由三視圖得,該幾何體為底面和兩個側(cè)面為直角邊邊長為2的等腰直角三角形,另外一個側(cè)面是一個邊長為2的等邊三角形,故該棱錐的表面積為S=322+(2)2=.【思路點撥】先由三視圖判斷出幾何體的形狀及度量長度,然后利用三棱錐的表面積公式求出該幾何體的表面積【

21、名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆浙江省重點中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試(201501)word版】11若某棱錐的三視圖(單位:)如圖所示,則該棱錐的體積等于。正視圖左視圖俯視圖5343(第11題圖)【知識點】三視圖 G2【答案】【解析】解析:由三視圖知幾何體為三角形削去一個三棱錐如圖:棱柱的高為5;底面為直角三角形,直角三角形的直角邊長分別為3、4,幾何體的體積故答案為.【思路點撥】由三視圖知幾何體為直三削去一個三棱錐,畫出其直觀圖,根據(jù)棱柱的高為5;底面為直角三角形,直角三角形的直角邊長分別為3、4,計算三棱柱與三棱錐的體積,再求差可得答案G3 平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線G4

22、空間中的平行關(guān)系【數(shù)學(xué)(理)卷2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(201412)word版】17(本小題滿分12分)如圖,為正三角形,平面,為的中點,()求證:平面;()求平面與平面所成的銳二面角的余弦值【知識點】線面平行,空間向量解決線面位置關(guān)系 G4 G10【答案】【解析】()略()()證明:作的中點,連結(jié) 在中,又據(jù)題意知, ,四邊形為平行四邊形 ,又平面,平面 平面4分(),平面 在正中,三線兩兩垂直 分別以為軸,建系如圖 則, , 設(shè)平面的一個法向量為, 則,即,令,則 平面的一個法向量為 又平面的一個法向量為 平面與平面所成的銳二面角的余弦值8分【思路點撥】()求證線

23、面平行,可以利用線線平行,本題很容易找出;()分別求平面與平面的法向量, ,即可求出余弦值【數(shù)學(xué)(理)卷2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(201412)word版】8已知,是兩條不同直線,是兩個不同的平面,且,則下列敘述正確的是 (A)若,則 (B)若,則 (C)若,則 (D)若,則【知識點】線線關(guān)系,線面關(guān)系 G4 G5【答案】【解析】D解析:A中m,n可能異面;B中,可能相交;C中可能或,故選D.【思路點撥】熟悉空間中線線,線面關(guān)系的判斷,逐一排除即可.【數(shù)學(xué)理卷2015屆湖南省衡陽市八中高三上學(xué)期第六次月考(201501)】9如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折

24、起四個小三角形,做成一個蛋巢,將表面積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變, 則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為( ) A B C D【知識點】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是邊長為1的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓直徑為1.雞蛋的表面積為,所以球的半徑為1,所以球心到截面的距離為.而截面到底面的距離即為三角形的高,所以球心到底面的距離為.【思路點撥】先求出球心到截面的距離為,再求球心到底面的距離為?!緮?shù)學(xué)理卷2015屆湖南省衡陽市八中高三上學(xué)期第六次月考(201501)】9如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點垂直折起四個小三角形,做成一個蛋巢,將表

25、面積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變, 則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為( ) A B C D【知識點】空間幾何體的結(jié)構(gòu)G4【答案】D【解析】蛋巢的底面是邊長為1的正方形,所以過四個頂點截雞蛋所得的截面圓直徑為1.雞蛋的表面積為,所以球的半徑為1,所以球心到截面的距離為.而截面到底面的距離即為三角形的高,所以球心到底面的距離為.【思路點撥】先求出球心到截面的距離為,再求球心到底面的距離為。【數(shù)學(xué)文卷2015屆四川省綿陽中學(xué)高三上學(xué)期第五次月考(201412)】18(本題滿分12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為的中點。(1)若,求證:平面平面;(2)點在線段上,試確定的值,

26、使平面;【知識點】平面與平面垂直的判定 直線與平面平行的性質(zhì)及直線與直線平行的性質(zhì) G4 G5【答案】(1)證明詳見解析;(2).【解析】解析:(1)連四邊形菱形,,正三角形, 為中點, 的中點, 又平面平面平面平面(2)當(dāng)時,平面下面證明,若平面,連交于由可得,平面,平面,平面平面, 即:;【思路點撥】(1)由已知條件可證根據(jù)平面與平面垂直的判定定理即可求證平面平面(2)連結(jié)交于,由可證,即得,由直線與平面平行的性質(zhì),可證,即得,所以即.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(文)卷2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考(201501)】19(本小題滿分12分)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方

27、形,側(cè)棱底面,分別為上的動點,且 ()若,求證: ()求三棱錐體積最大值【知識點】線面平行的判定定理;三棱錐的體積.G4 G7【答案】【解析】()見解析;() 解析:()分別取和中點、,連接、,則,所以,四邊形為平行四邊形,又4分()在平面內(nèi)作,因為側(cè)棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分(或平面中,所以)因為,所以,10分12分的最大值為【思路點撥】()分別取和中點、,連接、,然后利用線面平行的判定定理即可;()結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式,進(jìn)而求出最大值即可?!久>方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)(文)卷2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考(201501)】19(本小題滿分

28、12分)如圖所示,在四棱錐中,底面為正方形,側(cè)棱底面,分別為上的動點,且 ()若,求證: ()求三棱錐體積最大值【知識點】線面平行的判定定理;三棱錐的體積.G4 G7【答案】【解析】()見解析;() 解析:()分別取和中點、,連接、,則,所以,四邊形為平行四邊形,又4分()在平面內(nèi)作,因為側(cè)棱底面,所以平面底面,且平面底面,所以,所以7分(或平面中,所以)因為,所以,10分12分的最大值為【思路點撥】()分別取和中點、,連接、,然后利用線面平行的判定定理即可;()結(jié)合已知條件把體積轉(zhuǎn)化成含的解析式,進(jìn)而求出最大值即可?!久>方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)(文)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬

29、考試(201501)】19.(本小題滿分12分)正方形與梯形所在平面互相垂直,點M是EC中點。(1)求證:BM/平面ADEF;(2)求三棱錐的體積.【知識點】平行關(guān)系 棱錐的體積G4 G7【答案】【解析】(1)略;(2) 解析:(1)證明:取DE中點N,連接MN,AN,在EDC中,M、N分別為EC,ED的中點,所以MNCD,且MN=CD由已知ABCD,AB=CD,所以MNAB,且MN=AB所以四邊形ABMN為平行四邊形,所以BMAN,又因為AN平面ADEF,且BM平面ADEF,所以BM平面ADEF;(2)因為EC的中點,所以,因為,且DE與CD相交于D所以 因為,所以AB/平面CDE ,到面的

30、距離,即為 .【思路點撥】證明線面平行通常結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明,求三棱錐體積時,若以所給底面求體積不方便時,可考慮換底面求體積.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(文)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】19.(本小題滿分12分)正方形與梯形所在平面互相垂直,點M是EC中點。(1)求證:BM/平面ADEF;(2)求三棱錐的體積.【知識點】平行關(guān)系 棱錐的體積G4 G7【答案】【解析】(1)略;(2) 解析:(1)證明:取DE中點N,連接MN,AN,在EDC中,M、N分別為EC,ED的中點,所以MNCD,且MN=CD由已知ABCD,AB=CD,所以MNAB,且MN

31、=AB所以四邊形ABMN為平行四邊形,所以BMAN,又因為AN平面ADEF,且BM平面ADEF,所以BM平面ADEF;(2)因為EC的中點,所以,因為,且DE與CD相交于D所以 因為,所以AB/平面CDE ,到面的距離,即為 .【思路點撥】證明線面平行通常結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明,求三棱錐體積時,若以所給底面求體積不方便時,可考慮換底面求體積.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆浙江省重點中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試(201501)word版】20(本小題滿分15分)如圖,在幾何體中, 平面,平面,又,。 (1)求與平面所成角的正弦值; (2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值

32、。 (第20題圖)【知識點】空間平行、垂直,以及線面成角等知識 G4 G5 G11【答案】(1);(2).【解析】解析:過點作的垂線交于,以為原點,分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系,又,則點到軸的距離為1,到軸的距離 為。則有,。 (4分) (1)設(shè)平面的法向量為, 則有,取,得,又,設(shè)與平面所成角為,則,故與平面所成角的正弦值為。 (5分) (2)設(shè)平面的法向量為, , 則有,取,得。 , 故平面與平面所成的銳二面角的余弦值是. (5分)【思路點撥】過點作的垂線交于,以為原點,分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系,求得點坐標(biāo),進(jìn)而得到平面的法向量,利用線面角公式求得;求得平面的法向量,以及(1)中平面的

33、法向量,利用二面角公式求得.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆浙江省重點中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試(201501)word版】4在空間給出下面四個命題(其中、為不同的兩條直線,、為不同的兩個平面),/ /,/,/ ,/,/,/,/其中正確的命題個數(shù)有( )。A1個 B2個 C3個 D4個【知識點】空間中直線與平面的位置關(guān)系 G4 G5【答案】C【解析】解析:由線面垂直及線面平行的性質(zhì),可知,/,故正確;,故錯誤根據(jù)線面垂直的性質(zhì);兩平行線中的一個垂直于平面,則另一個也垂直于平面可知:若,則,又,故正確由,可得平面都與直線確定的平面平行,則可得,故正確綜上知,正確的有,故選擇C.

34、【思路點撥】根據(jù)線面垂直、線面平行的性質(zhì),可判斷;由可判斷;根據(jù)兩平行線中的一個垂直于平面,則另一個也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判斷;由已知可得平面都與直確定的平面平行,則可得,可判斷.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】5已知是平面,是直線,則下列命題不正確的是()A若則 B若則C若則 D若,則【知識點】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析:由線面垂直的性質(zhì)得A選項正確;由兩面平行的性質(zhì)知B正確;若m,m,則平面必經(jīng)過平面的一條垂線,所以C正確;因為n不一定在平面內(nèi),所以m與n不一定平行,則D錯誤,綜上可知選D.【

35、思路點撥】判斷空間線面位置關(guān)系時,可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】5已知是平面,是直線,則下列命題不正確的是()A若則 B若則C若則 D若,則【知識點】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析:由線面垂直的性質(zhì)得A選項正確;由兩面平行的性質(zhì)知B正確;若m,m,則平面必經(jīng)過平面的一條垂線,所以C正確;因為n不一定在平面內(nèi),所以m與n不一定平行,則D錯誤,綜上可知選D.【思路點撥】判斷空間線面位置關(guān)系時,可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015

36、屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】5已知是平面,是直線,則下列命題不正確的是()A若則 B若則C若則 D若,則【知識點】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】D 解析:由線面垂直的性質(zhì)得A選項正確;由兩面平行的性質(zhì)知B正確;若m,m,則平面必經(jīng)過平面的一條垂線,所以C正確;因為n不一定在平面內(nèi),所以m與n不一定平行,則D錯誤,綜上可知選D.【思路點撥】判斷空間線面位置關(guān)系時,可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆重慶市巴蜀中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬考試(201501)】20已知在如圖的多面體中,底面,,是的中點(1)求證:平

37、面;(2)求證:平面 (3)求此多面體的體積.【知識點】線面平行的判定定理;線面垂直的判定定理;幾何體的體積.G4 G5G7【答案】【解析】(1)見解析;(2)見解析;(3) 解析:(1), 又,是的中點, 四邊形是平行四邊形, 平面,平面,平面 (2)連結(jié),四邊形是矩形,底面,平面,平面, ,四邊形為菱形, 又平面,平面,平面 ,作于,平面平面,平面,,平面,【思路點撥】(1)先結(jié)合已知條件證明出四邊形是平行四邊形,再利用線面平行的判定定理即可;(2)直接利用線面垂直的判定定理即可;(3)先對原幾何體分解,再分別求出體積相加即可?!久>方馕鱿盗小繑?shù)學(xué)文卷2015屆浙江省重點中學(xué)協(xié)作體高三

38、上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試(201501)word版】6設(shè)為兩條不同的直線,為兩個不同的平面下列命題中,正確的是( )。 A若與所成的角相等,則B若,則 C若,則 D若,則【知識點】空間中直線與平面的位置關(guān)系 G4 G5【答案】C【解析】解析:當(dāng)兩條直線與一個平面所成的角相等時,這兩條直線的關(guān)系不能確定,故A不正確,當(dāng)兩個平面垂直時,一條直線與一個平面垂直,則這條直線與另一個平面的關(guān)系都有可能,故B不正確,當(dāng)一條直線與一個平面垂直,與另一個平面平行,則這兩個平面之間的關(guān)系是垂直,故C正確,當(dāng)兩條直線分別和兩個平面平行,這兩條直線之間沒有關(guān)系,故D不正確故選擇C.【思路點撥】當(dāng)兩條直線與一個平面所成

39、的角相等時,這兩條直線的關(guān)系不能確定,當(dāng)兩個平面垂直時,一條直線與一個平面垂直,則這條直線與另一個平面的關(guān)系都有可能,當(dāng)兩條直線分別和兩個平面平行,這兩條直線之間沒有關(guān)系,得到結(jié)論【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】19如圖1,在四棱錐中,底面,面為正方形,為側(cè)棱上一點,為上一點。該四棱錐的正(主)側(cè)圖和側(cè)(左)視圖如圖2所示。(I)證明:平面;(II)證明:平面平面?!局R點】線面平行 面面垂直G4 G5【答案】【解析】(I)略;(II)略 解析:(I)證明:取PC中點Q,連結(jié)EQ,F(xiàn)Q由正(主)視圖可得E為PD的中點,所以EQCD,又

40、因為AFCD,AF=CD, 所以AFEQ,AF=EQ,所以四邊形AFEQ為平行四邊形,所以AEFQ因為,所以 直線AE平面PFC;(II)證明:因為PA平面ABCD,所以PACD,因為面ABCD為正方形,所以ADCD,所以CD平面PAD,因為,所以CDAE,因為PA=AD,E為PD中點,所以AEPD,所以AE平面PCD因為AEFQ,所以FQ平面PCD因為, 所以平面PFC平面PCD.【思路點撥】證明線面平行及面面垂直問題,通常結(jié)合其判定定理進(jìn)行證明.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)文卷2015屆四川省石室中學(xué)高三一診模擬(201412)word版】6已知是平面,是直線,則下列命題正確的是()A若則 B

41、若則C若則 D若,則【知識點】平行關(guān)系與垂直關(guān)系G4 G5【答案】【解析】 B 解析:選項A,直線n還可能在平面內(nèi),所以錯誤;選項B,因為n,所以在一定存在直線an,而m,所以ma,得mn,所以B正確,因為只有一個正確選項,則答案只能為B.【思路點撥】判斷空間線面位置關(guān)系時,可考慮反例法和直接推導(dǎo)相結(jié)合的方法進(jìn)行解答.G5 空間中的垂直關(guān)系【數(shù)學(xué)(理)卷2015屆四川省成都市高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測(201412)word版】8已知,是兩條不同直線,是兩個不同的平面,且,則下列敘述正確的是 (A)若,則 (B)若,則 (C)若,則 (D)若,則【知識點】線線關(guān)系,線面關(guān)系 G4 G5【答案】

42、【解析】D解析:A中m,n可能異面;B中,可能相交;C中可能或,故選D.【思路點撥】熟悉空間中線線,線面關(guān)系的判斷,逐一排除即可.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(理)卷2015屆河北省唐山一中等五校高三上學(xué)期第二次聯(lián)考(201501)】19已知四棱錐中,平面,底面是邊長為的菱形,()求證:平面平面;()設(shè)與交于點,為中點,若二面角的正切值為,求的值【知識點】平面與平面垂直的判定;與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題G5 G11【答案】【解析】()見解析;() 解析:() 因為PA平面ABCD,所以PABD2分又ABCD為菱形,所以ACBD,所以BD平面PAC4分從而平面PBD平面PAC 6分()方法1 過O

43、作OHPM交PM于H,連HD因為DO平面PAC,可以推出DHPM,所以O(shè)HD為O-PM-D的平面角8分又,且10分從而11分所以,即 12分法二:如圖,以為原點,所在直線為軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,則, 8分從而9分因為BD平面PAC,所以平面PMO的一個法向量為10分 設(shè)平面PMD的法向量為,由得取,即 11分設(shè)與的夾角為,則二面角大小與相等從而,得從而,即 12分【思路點撥】()根據(jù)線面垂直的判定,證明BD平面PAC,利用面面垂直的判定,證明平面PBD平面PAC;()過O作OHPM交PM于H,連HD,則OHD為APMD的平面角,利用二面角OPMD的正切值為,即可求a:b的值【名校精品解析系

44、列】數(shù)學(xué)(理)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】19.(本小題滿分12分)如圖,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.()證明:ACB1D;()求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【知識點】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略;(2) 解析:方法一(1)證明如圖,因為BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1.又ACBD,所以AC平面BB1D,而B1D平面BB1D,所以ACB1D. (2)解因為B1C1AD,所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD

45、1所成的角(記為).如圖,連接A1D,因為棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1BAD90,所以A1B1平面ADD1A1,從而A1B1AD1.又ADAA13,所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1,故AD1平面A1B1D,于是AD1B1D.由(1)知,ACB1D,所以B1D平面ACD1.故ADB190,在直角梯形ABCD中,因為ACBD,所以BACADB.從而RtABCRtDAB,故,即AB.連接AB1,易知AB1D是直角三角形,且B1D2BBBD2BBAB2AD221,即B1D.在RtAB1D中,cosADB1,即cos(90).從而sin .即直線B1C1與平面AC

46、D1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知,AB,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)ABt,則相關(guān)各點的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3), C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).從而(t,3,3),(t,1,0),(t,3,0).因為ACBD,所以t2300,解得t或t(舍去).于是(,3,3),(,1,0),因為3300, 所以,即ACB1D.(2)解由(1)知,(0,3,3),(,1,0),(0,1,0).設(shè)n(x,y,z)是平面ACD1的一個

47、法向量,則,即令x1,則n(1,).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為,則sin |cosn,|.【思路點撥】證明線線垂直,通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明,求線面所成角通常利用定義作出所成角,再利用三角形求值,本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(理)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)期第二次模擬考試(201501)】19.(本小題滿分12分)如圖,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.()證明:ACB1D;()求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【知識點】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11【答案

48、】【解析】(1)略;(2) 解析:方法一(1)證明如圖,因為BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1.又ACBD,所以AC平面BB1D,而B1D平面BB1D,所以ACB1D. (2)解因為B1C1AD,所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為).如圖,連接A1D,因為棱柱ABCDA1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1BAD90,所以A1B1平面ADD1A1,從而A1B1AD1.又ADAA13,所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1,故AD1平面A1B1D,于是AD1B1D.由(1)知,ACB1D,所以B1D平面ACD1.故ADB19

49、0,在直角梯形ABCD中,因為ACBD,所以BACADB.從而RtABCRtDAB,故,即AB.連接AB1,易知AB1D是直角三角形,且B1D2BBBD2BBAB2AD221,即B1D.在RtAB1D中,cosADB1,即cos(90).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知,AB,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)ABt,則相關(guān)各點的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3), C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3)

50、.從而(t,3,3),(t,1,0),(t,3,0).因為ACBD,所以t2300,解得t或t(舍去).于是(,3,3),(,1,0),因為3300, 所以,即ACB1D.(2)解由(1)知,(0,3,3),(,1,0),(0,1,0).設(shè)n(x,y,z)是平面ACD1的一個法向量,則,即令x1,則n(1,).設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為,則sin |cosn,|.【思路點撥】證明線線垂直,通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明,求線面所成角通常利用定義作出所成角,再利用三角形求值,本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)(理)卷2015屆吉林省實驗中學(xué)高三上學(xué)

51、期第二次模擬考試(201501)】19.(本小題滿分12分)如圖,在直棱柱ABCDA1B1C1D1中,ADBC,BAD90,ACBD,BC1,ADAA13.()證明:ACB1D;()求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值.【知識點】垂直關(guān)系 線面所成的角G5 G11【答案】【解析】(1)略;(2) 解析:方法一(1)證明如圖,因為BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以ACBB1.又ACBD,所以AC平面BB1D,而B1D平面BB1D,所以ACB1D. (2)解因為B1C1AD,所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角(記為).如圖,連接A1D,因為棱柱A

52、BCDA1B1C1D1是直棱柱,且B1A1D1BAD90,所以A1B1平面ADD1A1,從而A1B1AD1.又ADAA13,所以四邊形ADD1A1是正方形.于是A1DAD1,故AD1平面A1B1D,于是AD1B1D.由(1)知,ACB1D,所以B1D平面ACD1.故ADB190,在直角梯形ABCD中,因為ACBD,所以BACADB.從而RtABCRtDAB,故,即AB.連接AB1,易知AB1D是直角三角形,且B1D2BBBD2BBAB2AD221,即B1D.在RtAB1D中,cosADB1,即cos(90).從而sin .即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為.方法二(1)證明易知,AB

53、,AD,AA1兩兩垂直.如圖,以A為坐標(biāo)原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)ABt,則相關(guān)各點的坐標(biāo)為A(0,0,0),B(t,0,0),B1(t,0,3), C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3).從而(t,3,3),(t,1,0),(t,3,0).因為ACBD,所以t2300,解得t或t(舍去).于是(,3,3),(,1,0),因為3300, 所以,即ACB1D.(2)解由(1)知,(0,3,3),(,1,0),(0,1,0).設(shè)n(x,y,z)是平面ACD1的一個法向量,則,即令x1,則n(1,).設(shè)直線B1C

54、1與平面ACD1所成角為,則sin |cosn,|.【思路點撥】證明線線垂直,通常轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明,求線面所成角通常利用定義作出所成角,再利用三角形求值,本題也可以建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量進(jìn)行解答.【名校精品解析系列】數(shù)學(xué)理卷2015屆浙江省重點中學(xué)協(xié)作體高三上學(xué)期第二次適應(yīng)性測試(201501)word版】20(本小題滿分15分)如圖,在幾何體中, 平面,平面,又,。 (1)求與平面所成角的正弦值; (2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。 (第20題圖)【知識點】空間平行、垂直,以及線面成角等知識 G4 G5 G11【答案】(1);(2).【解析】解析:過點作的垂線交于,以為原點,分別以為軸建立空間上角坐標(biāo)系,又,則點到軸的距離為1

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