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1、1.2 時域離散信號,1.4 時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法,1.3 時域離散系統(tǒng),1.1 引言,第1章 時域離散信號和時域離散系統(tǒng),1.5 模擬信號數(shù)字處理方法,信號： 是一個或幾個自變量的函數(shù)。如f1(t)、f2(n1, n2) 如果僅有一個自變量，則稱為一維信號； 如果有兩個以上的自變量，則稱為多維信號。 本書僅研究一維數(shù)字信號處理的理論與技術(shù)。,1.1 引 言,信號的自變量： 有多種形式，可以是時間、距離、溫度、電壓等，我們一般地把信號看作時間的函數(shù)。,數(shù)字信號和數(shù)字系統(tǒng)與模擬信號和模擬系統(tǒng)不同，在處理方法上有本質(zhì)的區(qū)別。 模擬系統(tǒng)用許多模擬器件實現(xiàn)；數(shù)字系統(tǒng)則通過運算方法實現(xiàn)。,重點內(nèi)
2、容： （1）時域離散信號的表示方法和典型信號等； （2）系統(tǒng)的線性、時不變性以及因果性、穩(wěn)定性； （3）系統(tǒng)的輸入輸出描述法線性常系數(shù)差分方程及其 解法。 （3）模擬信號數(shù)字處理方法：采樣定理。,重要公式 （1）線性卷積公式,如果公式中x(n)和h(n)分別是系統(tǒng)的輸入和單位脈沖響應(yīng)，y(n)是系統(tǒng)輸出；則該式說明系統(tǒng)的輸入、輸出和單位脈沖響應(yīng)之間服從線性卷積關(guān)系。,（2） x(n)=x(n)*(n) 該式說明任何序列與(n)的線性卷積等于原序列。 x(nn0)=x(n)*(nn0) （3）采樣定理,對信號的采樣頻率要大于等于該信號的最高頻率的兩倍以上，才能得到不失真的采樣信號。 （4）由時域
3、離散信號理想恢復(fù)模擬信號的插值公式,1.2 時域離散信號,時域離散信號序列,對模擬信號xa(t) 進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到：,n取整數(shù)。對于不同的n值， xa(nt) 是一個有序的數(shù)字序列。,實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序存放于存貯器中，此時nT代表的是前后順序。為簡化，不寫采樣間隔，形成x(n)信號，稱為序列。,對于具體的序列，x(n)代表第n個序列值，在數(shù)值上等于信號在第n個時刻信號的采樣值,是序列,不是序列,強調(diào)：序列x(n)中 n 取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，在數(shù)值上(序列值)等于信號的采樣值，即： x(n)=xa(nT),x(n)、y(n)都是序列嗎？,序列的三種表示方法
4、：,（1）用集合符號表示（枚舉法）,（2）用公式表示（函數(shù)法）,（3）用圖形表示（圖形法）,1.2.1 常用的典型序列,1、單位采樣（脈沖）序列,與單位采樣序列的關(guān)系,2、單位階躍序列,（n-m=k),常用表 示方法,與其他序列的關(guān)系：,3、矩形序列,（N稱為矩形序列的長度）,4、實指數(shù)序列,（a為實數(shù)）,如果|a| 1，則稱為發(fā)散序列。,發(fā)散序列,收斂序列,如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么 xa(t)=sin(t) xa(t)|t=nT=sin(nT) x(n)=sin(n),5、正弦序列,x(n) = sin(n),稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度。表示序列變化的速率
5、；或表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度數(shù)。,模擬角頻率,因為在數(shù)值上，序列值與采樣信號值相等，因此得到數(shù)字頻率與模擬角頻率之間的關(guān)系為 T 表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率與序列的數(shù)字域頻率成線性關(guān)系。 也可以表示為（采樣頻率Fs與采樣周期T互為倒數(shù)）：,表明數(shù)字頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化頻率。,例1:,則：,則周期,T=0.0025s, T=,正弦序列的一般形式：,模擬正弦信號：,數(shù)字角頻率是模擬角頻率對采樣頻率的歸一化,是一個采樣周期相位變化的角度。數(shù)字頻率是模擬頻率對采樣頻率的歸一化,是一個采樣周期變化的周數(shù)。,關(guān)系式,采樣時間序列：,例：,應(yīng)用歐拉公式,6、復(fù)指數(shù)序列
6、,復(fù)指數(shù)(正弦、余弦)序列對參量呈現(xiàn)2的周期性。,復(fù)指數(shù)序列,正弦序列,設(shè)r為整數(shù),余弦序列,7、周期序列,若對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，滿足 則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。,例如：,因此，x(n)是周期為8的周期序列。,一般復(fù)指數(shù)(正弦)序列關(guān)于時間序號n的周期性：,是周期信號，周期為,復(fù)指數(shù)(正弦)序列的周期性取決于,模擬正弦,正弦序列,不一定是周期信號：,討論一般正弦序列的周期性：,例1：判斷,是否是周期序列？,實際上,例2：求下列兩序列的周期N=？ (1) x(n)=Acos(n/4 + /7); (2) x(n)=Asin(n/5) + Bcos(n/3); (3) x
7、(n)=Asin( n/5),解: (1)由于w=/4, 2/w=24/=8為整數(shù)，則周期 N=8 (2)由于w1=/5, w2=/3, N1=2/w1=10, N2=2/w2=6 序列x(n)的周期N為N1和N2的最小公倍數(shù)，可得 N=10,6=30 (3) x(n)不是周期序列。,任意序列x(n)都可以表示成單位采樣序列的移位加權(quán)和。 即：,解：x(n)=a(n+3)+b(n-3) +c (n-5),8、用單位采樣序列來表示任意序列,例1： 用單位采樣序列(n)表示x(n)。,1.2.2 序列的運算,序列移位 序列翻轉(zhuǎn) 序列加法 序列乘法 時間尺度變換 線性卷積,序列的基本運算：,序列移位
8、,已知序列x(n)， 假設(shè)m0 y(n)= x(n-m)：逐項依次右移m位（延時序列） y(n)= x(n+m)：逐項依次左移m位（超前序列）,整個序列發(fā)生移動！,y(n)=x(-n) 以n=0的縱軸為對稱軸，將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn),序列翻轉(zhuǎn),n=0,加法運算表示兩序列同序列號n的序列值逐項對應(yīng)相加,已知序列x1(n)、x2(n),序列加法,乘法運算表示兩序列同序列號n的序列值逐項對應(yīng)相乘,序列乘法,m插值,m抽取,時間尺度變換(兩種),x(mn)是x(n)序列每隔m點取一點形成的，相當(dāng)于時間軸n壓縮了m倍。,例1、給定信號x(n) ：（課后習(xí)題2） （1）試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和畫出
9、表示x(n)序列； （2）令x1(n)2 x(n-2)，試畫出x1(n)的波形； （3）令x2(n)2 x(n+2)，試畫出x2(n)的波形； （4）令x3(n) x(2 - n)，試畫出x3(n)的波形。,解：（1）,x(n)=3(n+4) -(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4),（2） x1(n)的波形是x (n)的波形右移2個單位，再乘以2，波形如下：,（3）x2(n)的波形是x (n)的波形左移2個單位，再乘以2，波形如下：,（4） x3(n)的波形：先畫x (-n)的波形，然后右移2個單位，波形如下：,例2、給定信號x(n)
10、 ： 試用延遲的單位脈沖序列及其加權(quán)和畫出并表示x(n)序列,-R4(n-1),第1次作業(yè),P29： 1、 3、,1.3 時域離散系統(tǒng),設(shè)時域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運算關(guān)系用T表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示：,其框圖如圖所示：,在時域離散系統(tǒng)中，最重要和最常用的是線性時不變系統(tǒng)（LTI）。,則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。,對于系統(tǒng),若滿足線性疊加原理：,滿足線性疊加原理與同時滿足可加性和齊次性等效,齊次性：,其中：,，設(shè),可加性：,1.3.1 線性系統(tǒng),對于線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)為零輸入時，其輸出也恒為零，即零輸入產(chǎn)生零輸出,例：證明由線性方程表示的系統(tǒng),
11、是非線性系統(tǒng),1.3.2 時不變系統(tǒng),系統(tǒng)算子 不隨時間變化，即輸入序列的移位引起輸出序列同樣的移位（系統(tǒng)響應(yīng)與激勵加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)）的系統(tǒng)。,時不變系統(tǒng)：,注：序列先移位再通過系統(tǒng)等效于先通過系統(tǒng)再移位,時不變系統(tǒng)的判斷方法：,相等則為時不變系統(tǒng)，否則為時變的。,例1：試判斷,是否是時不變系統(tǒng)？,例2,是否為時不變系統(tǒng)？,解：,則,令,則,則得,令,因此該系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。,例3.判斷系統(tǒng) y(n)=3x(n)+4 的線性和時變特性？ 解：1. 判斷線性特性 根據(jù)定義有：設(shè)輸入為x1(n)和x2(n)時，輸出分別為y1(n)和y2(n)，即： Tax1(n) =3ax1(n)+4; Tbx
12、2(n)=3bx2(n)+4;,而Tax1(n)+bx2(n)=3ax1(n)+3bx2(n)+4 ay1(n)+ by2(n) 所以系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。,2. 判斷系統(tǒng)的時變特性 根據(jù)定義有：y(n)=Tx(n) 而Tx(n-m)= 3x(n-m) + 4 = y(n-m) 是時不變系統(tǒng),1.3.3 線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系,單位脈沖響應(yīng)h(n),設(shè)一個線性時不變系統(tǒng)輸出的初始狀態(tài)為零，當(dāng)輸入為單位脈沖序列時系統(tǒng)的輸出序列，稱為該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。,一個線性時不變系統(tǒng)的特性可以用其單位脈沖響應(yīng)唯一表征。,同時具有線性和時不變性的離散時間系統(tǒng)，稱為線性時不變系統(tǒng)（LTI）。,線性時不
13、變(LTI)系統(tǒng)輸入、輸出間的關(guān)系：,“卷積”運算,一個LTI系統(tǒng)可以用單位抽樣響應(yīng)h(n)來表征，任意輸入系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)h(n)的卷積和。,設(shè)兩序列x(n)、 h(n)，則其卷積定義為：,1）,2）移位n：,3）相乘：,相加：,翻轉(zhuǎn)：,卷積的計算,卷積舉例：,h(-2-m),例1：,求：,例2：設(shè)線性時不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為h(n)=anu(n), 0a1，則輸入序列x(n)=u(n)時，輸出序列y(n)=?,解：,當(dāng)n-1時 y(n)=0,當(dāng)0nN-1時,0nN-1,解：,結(jié)論： 若有限長序列x(n)的長度為N，h(n)的長度為M，則其卷積的長度L為： L=N
14、+M-1,卷積運算滿足交換律：,線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律。它們分別用公式表示如下： (1) x(n)*h(n) = h(n)*x(n) (2) x(n)*h1(n)*h2(n) = (x(n)*h1(n)*h2(n) (3) x(n)*h1(n)+h2(n) = x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n),兩系統(tǒng)級聯(lián),兩系統(tǒng)并聯(lián),線性卷積的性質(zhì),證明卷積運算的結(jié)合律,x(n)*h1(n)*h2(n)= (x(n)*h1(n)*h2(n),兩個有用的公式：,1.序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身,2.序列與一個移位的單位取樣序列(nm)的線性卷積等于序列本身移位m,例1. h
15、1(n)系統(tǒng)與h2(n)系統(tǒng)級聯(lián)，設(shè),求系統(tǒng)的輸出y(n)。,解：先求第一級的輸出m(n)，再求y(n)。,1.3.4 系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性,若系統(tǒng) n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而與n時刻以后的輸入無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。 即輸出的變化不超前于輸入的變化。,LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充要條件：,非因果數(shù)字系統(tǒng)可以用因果系統(tǒng)實現(xiàn),因果序列,穩(wěn)定系統(tǒng)： 有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng),LTI系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件：,則,若,例1.設(shè)LTI的單位取樣響應(yīng)h(n) = anu(n)，式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。 解：1、因果性： 由于n 0時，h(n)=0，所以系
16、統(tǒng)是因果系統(tǒng)。 2、穩(wěn)定性：(h(n)是否滿足絕對可和) 討論：當(dāng)|a|1時， 當(dāng)|a|1時，|h(n)|，此時系統(tǒng)不穩(wěn)定。 當(dāng)|a|1時，系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的，|a|1時，系統(tǒng)因果非穩(wěn)定,系統(tǒng)穩(wěn)定,例2：某LTI系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為,試討論其是否是因果的、穩(wěn)定的。,例3：設(shè)某線性移不變系統(tǒng)，其單位抽樣響應(yīng)為 h(n)= -anu(-n-1) (1)討論因果性 (2)討論穩(wěn)定性,結(jié)論： 因果穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是因果的，并且是絕對可和的，即：,第2次作業(yè),P29： 5（5）,P30： 8（2）,1.4 時域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法,用差分方程來描述時域離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。 一個N階
17、常系數(shù)線性差分方程表示為：,N,式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bi均為常數(shù)，式中y(n-i)和x(n-i)項只有一次冪，沒有相互交叉項，故稱為線性常系數(shù)差分方程。,差分方程的階數(shù)是用方程y(n-i)項中i的取值最大與最小之差確定的。 式中，y(n-i)項i最大的取值為N，i的最小取值為零，因此稱為N階的差分方程。,當(dāng)以x(n)作為輸入、y(n)作為輸出，是因果系統(tǒng)；,當(dāng)以x(n)作為輸入、y(n-N)作為輸出，是非因果系統(tǒng)。,階數(shù)=N,已知系統(tǒng)的輸入x(n)，根據(jù)線性常系數(shù)差分方程求系統(tǒng)的輸出y(n)，稱為求解差分方程。 用遞推解法求解差分方程： 直接遞推求解
18、用遞推法先求單位脈沖響應(yīng)，再用卷積求解 注意：N階線性常系數(shù)差分方程只有已知N個初始條件才能得到唯一解。 (1)對于因果系統(tǒng)求 的輸出需要初始條件 (2)對于非因果系統(tǒng)求 的輸出需要初始條件,例1.設(shè)系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=(n)，求輸出序列y(n)。 解: 該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。,（1） 設(shè)初始條件:,單位抽樣響應(yīng)為：,用遞推法求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，N個初始條件必須取為0,（2） 設(shè)初始條件:,例2：已知線性常系數(shù)差分方程同上例，初始條件,例3.已知線性常系數(shù)差分方程同上例，初始條件,，求y(n),方法1：直接遞推,方法
19、2：利用例1的結(jié)果進(jìn)行卷積運算,例4：已知常系數(shù)線性差分方程同上例 若初始條件 討論系統(tǒng)的線性和時不變性。,一些關(guān)于差分方程的結(jié)論：,一個差分方程不能唯一確定一個系統(tǒng) 常系數(shù)線性差分方程描述的系統(tǒng)不一定是線性時不變的 不一定是因果的 不一定是穩(wěn)定的,1.5 模擬信號數(shù)字處理方法,模擬信號數(shù)字處理方法：先將模擬信號經(jīng)過采樣和量化編碼形成數(shù)字信號，再采用數(shù)字信號處理技術(shù)進(jìn)行處理；處理完畢，如果需要，再轉(zhuǎn)換成模擬信號。其原理框圖如圖所示。,采樣器開關(guān)每隔T秒短暫地閉合一次，每次閉合時間為,1.5.1 采樣定理及A/D轉(zhuǎn)換器,采樣器的輸出 是一列被連續(xù)時間信號 所調(diào)制的脈沖串。,等效于 與一個重復(fù)周期
20、為T，寬度為 的脈沖串 相乘。,采樣信號在每一個采樣點的積分幅度等于輸入信號在該采樣瞬間的幅度，這就是理想采樣信號（為數(shù)學(xué)分析的方便）。,成為一個單位沖激串。在每一個沖激處的強度為1。,討論：,采樣前后信號頻譜的變化。 什么條件下，可以從采樣信號不失真地恢復(fù)出原信號？,復(fù)習(xí)相關(guān)常用公式,1. 傅立葉變換,2、時域卷積定理,3、頻域卷積定理,4、其中,采樣信號的頻譜：,周期沖激串：,理想采樣輸出：,設(shè)：,則有,求理想采樣信號頻譜：,其頻譜：,周期沖激串 的梳狀譜,采樣信號的頻譜是模擬信號頻譜以采樣頻率為周期進(jìn)行周期延拓而成 頻譜幅度是原信號頻譜幅度的1/T倍,基帶頻譜,調(diào)制頻譜,調(diào)制頻譜,頻譜不
21、發(fā)生混疊?？捎靡辉鲆鏋門，截止頻率為,的理想低通濾波器取出原信號的頻譜，從而完全恢復(fù)原信號。,帶限信號：信號的最高頻率有限( ),稱為折疊角頻率，或奈奎斯特角頻率,稱為折疊頻率，或奈奎斯特頻率,不能無失真取出原信號的頻譜，即不能完全恢復(fù)原信號。,理想低通濾波器:,奈奎斯特(Nyquist)采樣定理：,對連續(xù)信號以周期T進(jìn)行等間隔理想采樣形成采樣信號，采樣信號的頻譜是原連續(xù)信號的頻譜以采樣頻率為周期的周期延拓。采樣信號頻譜的幅度是原連續(xù)信號的1/T。,設(shè)連續(xù)信號的最高截止角頻率為 ，如果采樣角頻率 那么使采樣信號通過一個增益為 T,截止角頻率為 的理想低通濾波器，可以完全恢復(fù)出原連續(xù)信號，否則會
22、造成采樣信號中的頻譜混疊現(xiàn)象，不可能無失真地恢復(fù)原連續(xù)信號。,奈奎斯特抽樣定理:,要想抽樣后能夠不失真地還原出原信號，則抽樣頻率必須大于兩倍信號譜的最高頻率:,理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)：,時域上討論利用低通濾波器由滿足采樣定理的理想采樣信號恢復(fù)模擬信號：,1.5.2 將數(shù)字信號轉(zhuǎn)換成模擬信號,輸出：,內(nèi)插公式,內(nèi)插函數(shù),采樣的離散序列x(n)與連續(xù)內(nèi)插函數(shù)g(t)的半離散卷積,內(nèi)插函數(shù)：,由采樣信號內(nèi)插恢復(fù)原模擬信號,實際連續(xù)信號的數(shù)字化和恢復(fù)：,對連續(xù)信號 以周期T進(jìn)行等間隔采樣獲得離散序列 ，只要采樣頻率大于連續(xù)信號最高頻率的2倍，就可以由離散序列與理想內(nèi)插函數(shù)的半離散卷積完全恢復(fù)連續(xù)信號。,連續(xù)信號的數(shù)字化（模數(shù)轉(zhuǎn)換ADC）,連續(xù)信號的恢復(fù)（數(shù)模轉(zhuǎn)換DAC）,實際的內(nèi)插函數(shù)h(t)零階保持器（低通濾波器）,理想內(nèi)插函數(shù)是非因果，不可實現(xiàn)的,采樣序列及內(nèi)插函數(shù),零階保持輸出波形,內(nèi)插函數(shù)的頻率特性,后置濾波頻率特性,解：,3）,第3次作業(yè),P31： 13,
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