2015年步步高二輪復習-專題四 第2講 數(shù)列求和及綜合應用

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1、第2講數(shù)列求和及綜合應用考情解讀高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過分組、錯位相減等轉化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉化與化歸思想的應用，屬中檔題1數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉化法有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯位相減法這是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項和，其中an，bn分別是等差數(shù)

2、列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導等差數(shù)列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序)，當它與原數(shù)列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和這種方法，適用于求通項為的數(shù)列的前n項和，其中an若為等差數(shù)列，則.常見的裂項公式：；()；()；()2數(shù)列應用題的模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比模型，這個固

3、定的數(shù)就是公比(3)混合模型：在一個問題中同時涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列的模型(4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等(5)遞推模型：如果容易找到該數(shù)列任意一項an與它的前一項an1(或前n項)間的遞推關系式，我們可以用遞推數(shù)列的知識來解決問題熱點一分組轉化求和例1等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項公式

4、；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前n項和Sn.思維啟迪(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)逐個推敲確定an的通項公式；(2)分組求和解(1)當a13時，不合題意；當a12時，當且僅當a26，a318時，符合題意；當a110時，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因為bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當n為偶數(shù)時，Sn2ln 33nl

5、n 31；當n為奇數(shù)時，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn思維升華在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意使用轉化思想把一般的數(shù)列求和轉化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構成等差數(shù)列，哪些項構成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組求和法求和時，由于數(shù)列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數(shù)n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式已知數(shù)列an中，a11，anan1()n(nN*)(1)求證：數(shù)列a2n與a2n1(nN*)都是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列an的前2n項和為T2n，令bn(3T2n)n(n1)，求數(shù)列bn的最大項(1)證明因為anan1

6、()n，an1an2()n1，所以.又a11，a2，所以數(shù)列a1，a3，a2n1，是以1為首項，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列a2，a4，a2n，是以為首項，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)可得T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)33()n，所以bn3n(n1)()n，bn13(n1)(n2)()n1，所以bn1bn3(n1)()n(n)3(n1)()n1(2n)，所以b1b4bn，所以(bn)maxb2b3.熱點二錯位相減法求和例2設數(shù)列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bn，數(shù)列bn的前n項和為Tn，nN*，證明：Tn1時，S

7、n2Sn1n兩式相減得an的遞推關系式，然后構造數(shù)列求通項；(2)先利用錯位相減法求出Tn，再放縮(1)解Sn12Snn1，當n2時，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，即2(n2)，又S22S12，a1S11，a23，2，當n1時，式也成立，an12n，即an2n1(nN*)(2)證明an2n1，bn，Tn，Tn，兩式相減，得Tn2()20，前n項和為Sn，S36，且滿足a3a1,2a2，a8成等比數(shù)列(1)求an的通項公式；(2)設bn，求數(shù)列bn的前n項和Tn的值思維啟迪(1)利用方程思想可確定a，d，寫出an；(2)利用裂項相消法求Tn.解(1)由S36，得a22.a

8、3a1,2a2，a8成等比數(shù)列，(2d)(26d)42，解得d1或d，d0，d1.數(shù)列an的通項公式為ann.(2)Tn(1)()()()()().思維升華裂項相消法適合于形如形式的數(shù)列，其中an為等差數(shù)列已知等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，且滿足a4a715，a3a88.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)令bn(n2)，b1，求數(shù)列bn的前n項和Sn.解(1)根據(jù)題意a3a88a4a7，a4a715，所以a4，a7是方程x28x150的兩根，且a480，當n7時，由于S6570，故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因為an是遞減數(shù)列，所以An是遞減數(shù)列因為An，A

9、882.73480，A976.82380，所以必須在第九年年初對M更新思維升華解答數(shù)列應用題，與函數(shù)應用題的求解過程類似，一般要經(jīng)過三步：(1)建模，首先要認真審題，理解實際背景，理清數(shù)學關系，把應用問題轉化為數(shù)列問題；(2)解模，利用所學的數(shù)列知識，解決數(shù)列模型中的相關問題；(3)釋模，把已解決的數(shù)列模型中的問題返回到實際問題中去，與實際問題相對應，確定問題的結果設某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復利計算，則每期期末所付款是()A.(1r)n元B.元C.(1r)n1元D.元答案B解析設每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1r

10、)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，即xa(1r)n，故x.1數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項公式，這是做好該類題的關鍵若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：(1)an(2)遞推關系形如an1anf(n)，常用累加法求通項(3)遞推關系形如f(n)，常用累乘法求通項(4)遞推關系形如“an1panq(p、q是常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，常用待定系數(shù)法可設an1p(an)，經(jīng)過比較，求得，則數(shù)列an是一個等比數(shù)列(5)遞推關系形如“an1panqn(q，p為常數(shù)，且p1，q0)”的數(shù)列求通項，此類型可以將關系式兩邊同除以qn轉化為類型(4

11、)，或同除以pn1轉為用迭加法求解2數(shù)列求和中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)錯位相減法求和時，將問題轉化為等比數(shù)列的求和問題求解(2)并項求和時，將問題轉化為等差數(shù)列求和(3)分組求和時，將問題轉化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數(shù)列的和求解提醒：運用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n1項中的前n項，哪些項構成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時注意要討論代數(shù)式是否為零3數(shù)列應用題主要考查應用所學知識分析和解析問題的能力其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：首先構造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應的通項公式與求和公式求解；通過歸納得到結論，

12、再用數(shù)列知識求解.真題感悟1(2013湖南)設Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn(1)nan，nN*，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.答案(1)(2)解析anSnSn1(1)nan(1)n1an1(n2)，an(1)nan(1)n1an1(n2)當n為偶數(shù)時，an1(n2)，當n為奇數(shù)時，2anan1(n2)，當n4時，a3.根據(jù)以上an的關系式及遞推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8，.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).2(2014課標全國)已知數(shù)列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數(shù)列，并求

13、an的通項公式；(2)證明.證明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首項為，公比為3的等比數(shù)列an，因此an的通項公式為an.(2)由(1)知.因為當n1時，3n123n1，所以.于是1(1).所以.押題精練1如圖，一個類似楊輝三角的數(shù)陣，則第n(n2)行的第2個數(shù)為_答案n22n3解析由題意可知：圖中每行的第二個數(shù)分別為3,6,11,18，即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.2秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構成數(shù)

14、列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有_人答案255解析由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30構成公差為2的等差數(shù)列，所以a1a2a29a30151522255.故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數(shù)為255.3已知數(shù)列bn滿足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求數(shù)列bn的通項公式；(2)已知，求證：1.(1)解因為3(n1)bnnbn1，所以.則3，3，3，3，累乘，可得3n1n，因為b13，所以bnn3n，即數(shù)列bn的通項公式bnn3n.(2)證明因為，所以an3n.因為()，所以(1)()()1.因為nN*

15、，所以0，所以11，所以恒成立，則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為_答案5解析要使S2nSn恒成立，只需(S2nSn)min.因為(S2(n1)Sn1)(S2nSn)(S2n2S2n)(Sn1Sn)a2n1a2n2an10，所以S2nSnS2S1，所以m0，nN*，且a3a28，又a1，a5的等比中項為16.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設bnlog4an，數(shù)列bn的前n項和為Sn，是否存在正整數(shù)k，使得k對任意nN*恒成立若存在，求出正整數(shù)k的最小值；若不存在，請說明理由解(1)設數(shù)列an的公比為q，由題意可得a316.a3a28，a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，0；當n3時，bn1bn0.所以當n3時，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此時S375，即該廠家獲利最大時，銷售量和廣告費分別為375千克和3千元