2015年步步高二輪復習-專題四 第2講 數列求和及綜合應用

第2講數列求和及綜合應用考情解讀高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個問題：1.以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項公式，考查用等差、等比數列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題；2.通過分組、錯位相減等轉化為等差或等比數列的求和問題，考查等差、等比數列求和公式及轉化與化歸思想的應用，屬中檔題1數列求和的方法技巧(1)分組轉化法有些數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將數列通項拆開或變形，可轉化為幾個等差、等比數列或常見的數列，即先分別求和，然后再合并(2)錯位相減法這是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列an·bn的前n項和，其中an，bn分別是等差數列和等比數列(3)倒序相加法這是在推導等差數列前n項和公式時所用的方法，也就是將一個數列倒過來排列(反序)，當它與原數列相加時若有公式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的數列可用倒序相加法求和(4)裂項相消法利用通項變形，將通項分裂成兩項或n項的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項的和這種方法，適用于求通項為的數列的前n項和，其中an若為等差數列，則.常見的裂項公式：；()；()；()2數列應用題的模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數時，該模型是等比模型，這個固定的數就是公比(3)混合模型：在一個問題中同時涉及等差數列和等比數列的模型(4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數增加(或減少)，同時又以一個固定的具體量增加(或減少)時，我們稱該模型為生長模型如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等(5)遞推模型：如果容易找到該數列任意一項an與它的前一項an1(或前n項)間的遞推關系式，我們可以用遞推數列的知識來解決問題熱點一分組轉化求和例1等比數列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且a1，a2，a3中的任何兩個數不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數列an的通項公式；(2)若數列bn滿足：bnan(1)nln an，求數列bn的前n項和Sn.思維啟迪(1)根據表中數據逐個推敲確定an的通項公式；(2)分組求和解(1)當a13時，不合題意；當a12時，當且僅當a26，a318時，符合題意；當a110時，不合題意因此a12，a26，a318，所以公比q3.故an2·3n1 (nN*)(2)因為bnan(1)nln an2·3n1(1)nln(2·3n1)2·3n1(1)nln 2(n1)ln 32·3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.當n為偶數時，Sn2×ln 33nln 31；當n為奇數時，Sn2×(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.綜上所述，Sn思維升華在處理一般數列求和時，一定要注意使用轉化思想把一般的數列求和轉化為等差數列或等比數列進行求和，在求和時要分析清楚哪些項構成等差數列，哪些項構成等比數列，清晰正確地求解在利用分組求和法求和時，由于數列的各項是正負交替的，所以一般需要對項數n進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個公式已知數列an中，a11，anan1()n(nN*)(1)求證：數列a2n與a2n1(nN*)都是等比數列；(2)若數列an的前2n項和為T2n，令bn(3T2n)·n·(n1)，求數列bn的最大項(1)證明因為anan1()n，an1an2()n1，所以.又a11，a2，所以數列a1，a3，a2n1，是以1為首項，為公比的等比數列；數列a2，a4，a2n，是以為首項，為公比的等比數列(2)解由(1)可得T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)33()n，所以bn3n(n1)()n，bn13(n1)(n2)()n1，所以bn1bn3(n1)()n(n)3(n1)()n1(2n)，所以b1<b2b3>b4>>bn>，所以(bn)maxb2b3.熱點二錯位相減法求和例2設數列an的前n項和為Sn，已知a11，Sn12Snn1(nN*)，(1)求數列an的通項公式；(2)若bn，數列bn的前n項和為Tn，nN*，證明：Tn<2.思維啟迪(1)n>1時，Sn2Sn1n兩式相減得an的遞推關系式，然后構造數列求通項；(2)先利用錯位相減法求出Tn，再放縮(1)解Sn12Snn1，當n2時，Sn2Sn1n，an12an1，an112(an1)，即2(n2)，又S22S12，a1S11，a23，2，當n1時，式也成立，an12n，即an2n1(nN*)(2)證明an2n1，bn，Tn，Tn，兩式相減，得Tn2()2<2.思維升華錯位相減法求數列的前n項和是一種重要的方法在應用這種方法時，一定要抓住數列的特征，即數列的項可以看作是由一個等差數列和一個等比數列對應項相乘所得數列的求和問題設數列an滿足a12，an1an3·22n1.(1)求數列an的通項公式；(2)令bnnan，求數列bn的前n項和Sn.解(1)由已知得，當n1時，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以數列an的通項公式為an22n1.(2)由bnnann·22n1知Sn1·22·233·25n·22n1.從而22·Sn1·232·253·27n·22n1.，得(122)Sn2232522n1n·22n1，即Sn(3n1)22n12熱點三裂項相消法求和例3已知等差數列an，公差d>0，前n項和為Sn，S36，且滿足a3a1,2a2，a8成等比數列(1)求an的通項公式；(2)設bn，求數列bn的前n項和Tn的值思維啟迪(1)利用方程思想可確定a，d，寫出an；(2)利用裂項相消法求Tn.解(1)由S36，得a22.a3a1,2a2，a8成等比數列，(2d)·(26d)42，解得d1或d，d>0，d1.數列an的通項公式為ann.(2)Tn(1)()()()()().思維升華裂項相消法適合于形如形式的數列，其中an為等差數列已知等差數列an是遞增數列，且滿足a4·a715，a3a88.(1)求數列an的通項公式；(2)令bn(n2)，b1，求數列bn的前n項和Sn.解(1)根據題意a3a88a4a7，a4·a715，所以a4，a7是方程x28x150的兩根，且a4<a7，解得a43，a75.設數列an的公差為d，由a7a4(74)·d，得d.故等差數列an的通項公式為ana4(n4)·d3(n4)·.(2)當n2時，bn()，又b1(1)，所以Snb1b2bn(1)(1).即數列bn的前n項和Sn.熱點四數列的實際應用例4自從祖國大陸允許臺灣農民到大陸創(chuàng)業(yè)以來，在11個省區(qū)設立了海峽兩岸農業(yè)合作試驗區(qū)和臺灣農民創(chuàng)業(yè)園，臺灣農民在那里申辦個體工商戶可以享受“綠色通道”的申請、受理、審批一站式服務，某臺商第一年年初到大陸就創(chuàng)辦了一座120萬元的蔬菜加工廠M，M的價值在使用過程中逐年減少，從第二年到第六年，每年年初M的價值比上年年初減少10萬元，從第七年開始，每年年初M的價值為上年年初的75%.(1)求第n年年初M的價值an的表達式；(2)設An，若An大于80萬元，則M繼續(xù)使用，否則須在第n年年初對M更新，證明：必須在第九年年初對M更新思維啟迪(1)根據題意，當n6時，數列an是等差數列，當n7時，數列an是等比數列，分別寫出其通項公式，然后進行合并即可；(2)先對n進行分類，表示出An，利用數列的單調性質確定其最佳項，并與80比較大小，確定n的值(1)解當n6時，數列an是首項為120，公差為10的等差數列，故an12010(n1)13010n，當n7時，數列an從a6開始的項構成一個以a61306070為首項，以為公比的等比數列，故an70×()n6，所以第n年年初M的價值an(2)證明設Sn表示數列an的前n項和，由等差數列和等比數列的求和公式，得當1n6時，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n95>80，當n7時，由于S6570，故Sn570(a7a8an)57070××4×1()n6780210×()n6.因為an是遞減數列，所以An是遞減數列因為An，A882.734>80，A976.823<80，所以必須在第九年年初對M更新思維升華解答數列應用題，與函數應用題的求解過程類似，一般要經過三步：(1)建模，首先要認真審題，理解實際背景，理清數學關系，把應用問題轉化為數列問題；(2)解模，利用所學的數列知識，解決數列模型中的相關問題；(3)釋模，把已解決的數列模型中的問題返回到實際問題中去，與實際問題相對應，確定問題的結果設某商品一次性付款的金額為a元，以分期付款的形式等額地分成n次付清，若每期利率r保持不變，按復利計算，則每期期末所付款是()A.(1r)n元B.元C.(1r)n1元D.元答案B解析設每期期末所付款是x元，則各次付款的本利和為x(1r)n1x(1r)n2x(1r)n3x(1r)xa(1r)n，即x·a(1r)n，故x.1數列綜合問題一般先求數列的通項公式，這是做好該類題的關鍵若是等差數列或等比數列，則直接運用公式求解，否則常用下列方法求解：(1)an(2)遞推關系形如an1anf(n)，常用累加法求通項(3)遞推關系形如f(n)，常用累乘法求通項(4)遞推關系形如“an1panq(p、q是常數，且p1，q0)”的數列求通項，常用待定系數法可設an1p(an)，經過比較，求得，則數列an是一個等比數列(5)遞推關系形如“an1panqn(q，p為常數，且p1，q0)”的數列求通項，此類型可以將關系式兩邊同除以qn轉化為類型(4)，或同除以pn1轉為用迭加法求解2數列求和中應用轉化與化歸思想的常見類型：(1)錯位相減法求和時，將問題轉化為等比數列的求和問題求解(2)并項求和時，將問題轉化為等差數列求和(3)分組求和時，將問題轉化為能用公式法或錯位相減法或裂項相消法或并項法求和的幾個數列的和求解提醒：運用錯位相減法求和時，相減后，要注意右邊的n1項中的前n項，哪些項構成等比數列，以及兩邊需除以代數式時注意要討論代數式是否為零3數列應用題主要考查應用所學知識分析和解析問題的能力其中，建立數列模型是解決這類問題的核心，在解題中的主要思路：首先構造等差數列或等比數列模型，然后用相應的通項公式與求和公式求解；通過歸納得到結論，再用數列知識求解.真題感悟1(2013·湖南)設Sn為數列an的前n項和，Sn(1)nan，nN*，則：(1)a3_；(2)S1S2S100_.答案(1)(2)解析anSnSn1(1)nan(1)n1an1(n2)，an(1)nan(1)n1an1(n2)當n為偶數時，an1(n2)，當n為奇數時，2anan1(n2)，當n4時，a3.根據以上an的關系式及遞推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8，.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a100a99).2(2014·課標全國)已知數列an滿足a11，an13an1.(1)證明an是等比數列，并求an的通項公式；(2)證明<.證明(1)由an13an1，得an13(an)又a1，所以an是首項為，公比為3的等比數列an，因此an的通項公式為an.(2)由(1)知.因為當n1時，3n12×3n1，所以.于是1(1)<.所以<.押題精練1如圖，一個類似楊輝三角的數陣，則第n(n2)行的第2個數為_答案n22n3解析由題意可知：圖中每行的第二個數分別為3,6,11,18，即a23，a36，a411，a518，a3a23，a4a35，a5a47，anan12n3，累加得：ana2357(2n3)，ann22n3.2秋末冬初，流感盛行，特別是甲型H1N1流感某醫(yī)院近30天每天入院治療甲流的人數依次構成數列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，則該醫(yī)院30天入院治療甲流共有_人答案255解析由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30構成公差為2的等差數列，所以a1a2a29a301515×2×2255.故該醫(yī)院30天入院治療甲流的人數為255.3已知數列bn滿足3(n1)bnnbn1，且b13.(1)求數列bn的通項公式；(2)已知，求證：<1.(1)解因為3(n1)bnnbn1，所以.則3×，3×，3×，3×，累乘，可得3n1×n，因為b13，所以bnn·3n，即數列bn的通項公式bnn·3n.(2)證明因為，所以an·3n.因為··()···，所以(1··)(··)(··)1·.因為nN*，所以0<·，所以1·<1，所以<1.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1數列an共有5項，其中a10，a52，且|ai1ai|1，i1,2,3,4，則滿足條件的不同數列的個數為()A3 B4C5 D6答案B解析設biai1ai，i1,2,3,4，則bi等于1或1，由a5(a5a4)(a4a3)(a3a2)(a2a1)b4b3b2b1，知bi(i1,2,3,4)共有3個1,1個1.所以符合條件的an共有4個2已知在數列an中，a160，an1an3，則|a1|a2|a3|a30|等于()A445 B765C1 080 D3 105答案B解析an1an3，an1an3.an是以60為首項，3為公差的等差數列an603(n1)3n63.令an0，得n21.前20項都為負值|a1|a2|a3|a30|(a1a2a20)a21a302S20S30.Snn×n，|a1|a2|a3|a30|765.3在等差數列an中，a12 013，其前n項和為Sn，若2，則S2 013的值等于()A2 011 B2 012C2 010 D2 013答案D解析根據等差數列的性質，得數列也是等差數列，根據已知可得這個數列的首項a12 013，公差d1，故2 013(2 0131)×11，所以S2 0132 013.4已知數列an滿足an1anan1(n2)，a11，a23，記Sna1a2an，則下列結論正確的是()Aa1001，S1005 Ba1003，S1005Ca1003，S1002 Da1001，S1002答案A解析由題意知，a11，a23，a32，a41，a53，a62，a71，由此可以得出數列an是以6為一個周期，所以a100a41，S100a1a2a3a45，故選A.5數列an的通項公式anncos ，其前n項和為Sn，則S2 012等于()A1 006 B2 012 C503 D0答案A解析用歸納法求解anncos ，a10，a22，a30，a44，a50，a66，a70，a88，.由此易知a4n2(4n2)，a4n4n，且a1a2a3a4242，a5a6a7a8682，a4n3a4n2a4n1a4n(4n2)4n2.又2 0124×503，a1a2a2 012222×5031 006.6數列an滿足a11，且對任意的m，nN*都有amnamanmn，則等于()A. B. C. D.答案A解析令m1，得an1ann1，即an1ann1，于是a2a12，a3a23，anan1n，上述n1個式子相加得ana123n，所以an123n，因此2，所以22.二、填空題7在數列an中，a11，an2(1)nan1，記Sn是數列an的前n項和，則S60_.答案480解析an2(1)nan1，a3a11，a5a31，a7a51，且a4a21，a6a41，a8a61，a2n1為等差數列，且a2n11(n1)×1n，即a11，a32，a53，a74，S4a1a2a3a41124，S8S4a5a6a7a83418，S12S8a9a10a11a1256112，S604×15×4480.8設Sn為數列an的前n項和，若(nN*)是非零常數，則稱該數列為“和等比數列”；若數列cn是首項為2，公差為d(d0)的等差數列，且數列cn是“和等比數列”，則d_.答案4解析由題意可知，數列cn的前n項和為Sn，前2n項和為S2n，所以22.因為數列cn是“和等比數列”，即為非零常數，所以d4.9設Sn(nN*)，且Sn1·Sn2，則n的值是_答案5解析Sn1(1)()()1，Sn2.Sn1·Sn2，解得n5.10已知數列an的通項公式為an，前n項和為Sn，若對任意的正整數n，不等式S2nSn>恒成立，則常數m所能取得的最大整數為_答案5解析要使S2nSn>恒成立，只需(S2nSn)min>.因為(S2(n1)Sn1)(S2nSn)(S2n2S2n)(Sn1Sn)a2n1a2n2an1>>0，所以S2nSnS2S1，所以<m<，m所能取得的最大整數為5.三、解答題11在等比數列an中，a1>0，nN*，且a3a28，又a1，a5的等比中項為16.(1)求數列an的通項公式；(2)設bnlog4an，數列bn的前n項和為Sn，是否存在正整數k，使得<k對任意nN*恒成立若存在，求出正整數k的最小值；若不存在，請說明理由解(1)設數列an的公比為q，由題意可得a316.a3a28，a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，Snb1b2bn.，<，正整數k的最小值為3.12(2014·山東)已知等差數列an的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列(1)求數列an的通項公式；(2)令bn(1)n1，求數列bn的前n項和Tn.解(1)因為S1a1，S22a1×22a12，S44a1×24a112，由題意，得(2a12)2a1(4a112)，解得a11，所以an2n1.(2)bn(1)n1(1)n1(1)n1()當n為偶數時，Tn(1)()()()1.當n為奇數時，Tn(1)()()()1.所以Tn(或Tn)13某產品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b千克若做廣告宣傳，廣告費為n(nN*)千元時比廣告費為(n1)千元時多賣出千克(1)當廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量S；(2)試寫出銷售量S與n的函數關系式；(3)當a50，b200時，要使廠家獲利最大，銷售量S和廣告費n分別應為多少？解(1)當廣告費為1千元時，銷售量Sb.當廣告費為2千元時，銷售量Sb.(2)設Sn(nN)表示廣告費為n千元時的銷售量，由題意得S1S0，S2S1，SnSn1.以上n個等式相加得，SnS0，即SSnbb(2)，nN.(3)當a50，b200時，設獲利為Tn，則有TnSa1 000n10 000×(2)1 000n1 000×(20n)，設bn20n，則bn1bn20n120n1，當n2時，bn1bn>0；當n3時，bn1bn<0.所以當n3時，bn取得最大值，即Tn取得最大值，此時S375，即該廠家獲利最大時，銷售量和廣告費分別為375千克和3千元