離散系統(tǒng)的時域分析.ppt

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1、第三章 離散系統(tǒng)的時域分析,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng) 一、差分與差分方程 二、差分方程的經(jīng)典解 三、零輸入響應(yīng) 四、零狀態(tài)響應(yīng) 3.2 單位序列和單位序列響應(yīng) 一、單位序列和單位階躍序列 二、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),點擊目錄 ，進入相關(guān)章節(jié),3.3 卷積和 一、卷積和 二、卷積的圖解 三、卷積和的性質(zhì) *3.4 離散系統(tǒng)的算子分析 一、E算子及方程 二、離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 三、由H(E)求h(k) 四、求解零狀態(tài)響應(yīng),第三章 離散系統(tǒng)的時域分析,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),一、差分與差分方程,設(shè)有序列f(k)，則，f(k+2)，f(k+1)，f(k-1)，f(k-2),等稱為f(k)的

2、移位序列。 仿照連續(xù)信號的微分運算，定義離散信號的差分運算。,1. 差分運算,離散信號的變化率有兩種表示形式：,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),（1）一階前向差分定義：f(k) = f(k+1) f(k) （2）一階后向差分定義：f(k) = f(k) f(k 1) 式中，和稱為差分算子，無原則區(qū)別。本書主要用后向差分，簡稱為差分。 （3）差分的線性性質(zhì)： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二階差分定義： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1

3、) f(k-2)= f(k) 2 f(k-1) +f(k-2) （5） m階差分: mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m),因此，可定義：,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 差分方程,包含未知序列y(k)及其各階差分的方程式稱為差分方程。將差分展開為移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),差分方程本質(zhì)上是遞推的代數(shù)方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數(shù)值解。 例1：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始條件y(0)=

4、0,y(1)=2,激勵f(k)=2k(k),求y(k)。 解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 注：一般不易得到解析形式的(閉合)解。,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),二、差分方程的經(jīng)典解,y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m),與微分方程經(jīng)典解類似，上述差分方程的解由齊次解和特解兩部分組成。齊次解用yh(k)表示，特解用yp(k)表示，即 y(k) = yh(k) + yp(k),1. 齊次解y

5、h(k),齊次解 是齊次差分方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 的解。yh(k)的函數(shù)形式由上述差分方程的特征根確定。 （齊次解的函數(shù)形式見P87表3-1）,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),齊次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0 其特征方程為 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即 n + an-1n 1 + + a0 = 0 其根i( i = 1，2，n)稱為差分方程的特征根。,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 特解 yp(k) 特解的函數(shù)形式與激勵函數(shù)的形式有關(guān)。P87表3-2列出了幾種典型得f(

6、k)所對應(yīng)的特解yp(k)。,例2：若描述某系統(tǒng)的差分方程為 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k) 已知初始條件y(0)=0，y(1)= 1；激勵f(k)=2k，k0。求方程的全解。,解： 特征方程為 2 + 4+ 4=0 可解得特征根1=2= 2，其齊次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解為 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k2 , k0 故全解為 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k

7、2, k0 代入初始條件解得 C1=1 , C2= 1/4,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),三、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)的全響應(yīng)y(k)可以分解為零輸入響應(yīng)yx(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(k) 。 y(k) = yx(k) + yf(k) 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)可以分別用經(jīng)典法求解。,已知單輸入-單輸出LTI離散系統(tǒng)的激勵為f(k)，其全響應(yīng)為y(k)，那么，描述該系統(tǒng)激勵f(k)與響應(yīng)y(k)之間的關(guān)系的數(shù)學模型是n階常系數(shù)線性差分方程，表示如下：,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),1. 零輸入響應(yīng),系統(tǒng)的激勵為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，稱為零輸入響應(yīng)，用yx

8、(k)表示。,在零輸入條件下，(1)式可化為齊次方程：,通常，用y(-1)，y(-2)，y(-n)描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)。,一般設(shè)定激勵是在k=0時刻接入系統(tǒng)的，在k0時，激勵尚未接入，因此（2）的初始狀態(tài)滿足：,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),2. 零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，僅由激勵f(k)引起的響應(yīng)，稱為零狀態(tài)響應(yīng)，用yf (k)表示。,在零狀態(tài)條件下，(1)式仍為非齊次方程，其初始條件為零，即零狀態(tài)響應(yīng)滿足：,利用迭代法分別求得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的初始值yx(j)和yf (j) ( j = 0, 1, 2 , ，n 1),零狀態(tài)響應(yīng)為：,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),例：若描述某離散

9、系統(tǒng)的差分方程為 y(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知激勵f(k)=2k , k0，初始狀態(tài)y(1)=0, y(2)=1/2, 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。,解：（1）yx(k)滿足方程 yx(k) + 3yx(k 1)+ 2yx(k 2)= 0 其初始狀態(tài)yx(1)= y(1)= 0, yx(2) = y(2) = 1/2 首先遞推求出初始值yx(0), yx(1), yx(k)= 3yx(k 1) 2yx(k 2) yx(0)= 3yx(1) 2yx(2)= 1 , yx(1)= 3yx(0) 2yx(1)=3 方程的特征根為1= 1 ，2= 2

10、 ， 其解為 yx(k)=Cx1( 1)k+Cx2(2)k 將初始值代入 并解得 Cx1=1 , Cx2= 2 所以 yx(k)=( 1)k 2( 2)k , k0,3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng),yf(k) + 3yf(k 1) + 2yf(k 2) = f(k) 初始狀態(tài)： yf(1)= yf(2) = 0 遞推求初始值 yf(0), yf(1)， yf(k) = 3yf(k 1) 2yf(k 2) + 2k , k0 yf(0) = 3yf(1) 2yf(2) + 1 = 1 yf(1) = 3yf(0) 2yf(1) + 2 = 1 分別求出齊次解和特解，得 yf(k) = Cf1(1)

11、k + Cf2(2)k + yp(k) = Cf1( 1)k + Cf2( 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Cf1= 1/3 , Cf2=1 所以 yf(k)= ( 1)k/3+ ( 2)k + (1/3)2k , k0,（2）零狀態(tài)響應(yīng)yf(k) 滿足,概念：連續(xù)信號 是連續(xù)時間變量t的函數(shù)，記為f (t)。 離散信號 是離散時間變量tk（k為任意整數(shù)）的函數(shù)， 記為f (tk)。,離散信號表示： （a）圖形表示：,（tkt(k1)） N在圖a中為變數(shù)；在圖b，c中為常數(shù)。,序列,序列 值,序號,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),一、單位序列和單位階躍序列,3.2 單位序列和單位序

12、列響應(yīng),復習,（b）解析表示：,（c）集合表示：,k0,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),位移單位脈沖序列：,1. 單位序列(單位脈沖序列/單位樣值序列/單位取樣序列)：,基本離散信號：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),迭分：,延時：,乘：,加：,運算：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),取樣性質(zhì)：,偶函數(shù)：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),(1)定義：,(2)運算：同一般離散信號的運算,相加：,相乘：,延時：,2. 單位階躍序列：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),迭分：,（3） 與 的關(guān)系：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),3.正弦序列：,連續(xù)正弦信號是周期信號，但正弦序列不一定是周期序列。,3

13、.2 單位序列和單位序列響應(yīng),如果正弦序列是由連續(xù)正弦信號通過抽樣得到，設(shè)正弦信號,式中：,代入式,得：,否則為非周期序列。,當 為有理數(shù)時，正弦序列才是周期序列；,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),可見，復指數(shù)序列的實部和虛部均為幅值按指數(shù)規(guī)律變化的正弦序列。 如下頁圖所示,4.復指數(shù)序列：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),r 1時，f (k)的實虛部均為指數(shù)增長的正弦序列。,r 1時，f (k)的實虛部均為指數(shù)減小的正弦序列。,r 1時，f (k)的實虛部均為正弦序列。,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),5.Z序列：,z為復數(shù),類比：連續(xù)與離散基本信號的對應(yīng)關(guān)系,復指數(shù)函數(shù)：,復指數(shù)序列,單位

14、沖激信號：,單位階躍信號：,正弦信號：,虛指數(shù)信號：,單位脈沖序列,單位階躍序列,正弦序列,虛指數(shù)序列,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),二、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng),1.單位序列響應(yīng),當LTI系統(tǒng)的激勵為單位序列(k)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)（或單位樣值響應(yīng)、單位取樣響應(yīng)），用h(k)表示，它的作用與連續(xù)系統(tǒng)中的沖激響應(yīng)h(t)相類似。,求解系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)可用求解差分方程法或z變換法（見第六章）。,由于單位序列(k)僅在k=0處等于1，而在k0時為零，因而在k0時，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)與系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)的函數(shù)形式相同。這樣就把求解單位序列響應(yīng)的問題轉(zhuǎn)換為求解齊次方程的問題。而k=0

15、處的值h(0)可按零狀態(tài)的條件由差分方程確定。,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),2.階躍響應(yīng),當LTI系統(tǒng)的激勵為單位序列(k)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)，用g(k)表示。,若已知系統(tǒng)的差分方程，那么利用經(jīng)典法可以求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(k)。此外,由于,由線性和移位不變性,由于,那么,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),例1.求如圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)和階躍響應(yīng)g(k)。,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),解：,（1）列寫差分方程，求初始值,由加法器的輸出可列出系統(tǒng)的方程為,整理得：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),根據(jù)單位序列響應(yīng)的定義，它應(yīng)滿足方程,由迭代得：,（2）求h

16、(k),當k0時，h(k)滿足齊次方程,其特征方程為：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),代入初始值得：,于是，系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),注意：這時已將h(0)的值代入，因而方程的解也滿足 k=0。 由上式可解得：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),（3）求 g(k),根據(jù)階躍響應(yīng)的定義，它應(yīng)滿足方程,由迭代得：,容易求得其特解為：,于是，得：,解法I,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),代入初始值得：,于是，系統(tǒng)的階躍響應(yīng),由上式可解得：,3.2 單位序列和單位序列響應(yīng),考慮到k0，得：,解法II,由級數(shù)求和公式得：,3.3 卷積和,3.3 卷積和,一、卷積和,1 .序列的時域分解,任意離散序列f(k)

17、可表示為,3.3 卷積和,2 .任意序列作用下的零狀態(tài)響應(yīng),根據(jù)h(k)的定義：,(k),h(k),由時不變性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k -i),由齊次性：,f (i) h(k-i),由疊加性：,f (k),yf (k),卷積和,3.3 卷積和,3 .卷積和的定義,已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和,為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡稱卷積；記為 f(k)= f1(k)*f2(k) 注意：求和是在虛設(shè)的變量 i 下進行的， i 為求和變量，k 為參變量。結(jié)果仍為k 的函數(shù)。,3.3 卷積和,若有兩個序列f1(k)與f2(k)，如果序列f1

18、(k)是因果序列，即有f1(k)=0,k0,則卷積和可改寫為：,若有兩個序列f1(k)與f2(k)，如果序列f2(k)是因果序列，即有f2(k)=0,k0,則卷積和可改寫為：,如果序列f1(k)與f2(k)均為因果序列，即若f1(k)=f2(k)=0, k0, 則卷積和可寫為：,3.3 卷積和,例1：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求yf (k)。,解： yf (k) = f (k) * h(k),當i k時，(k - i) = 0,這種卷積和的計算方法稱為解析法。,例2：求,例3：求,3.3 卷積和,例4：求,3.3 卷積和,例5：求,3.3 卷積和,二、卷積的

19、圖解法,卷積過程可分解為五步： （1）換元： k換為 i得 f1(i)， f2(i)； （2）反轉(zhuǎn)： 將 f2(i)以縱坐標為軸線反轉(zhuǎn)，成為f2(i)； （3）平移：將f2(i)沿i軸正方向平移k 個單位 f2(k i); （4）乘積： f1(i) f2(k i) ; （5）求和： i 從 到對乘積項求和。 注意：k 為參變量。 下面舉例說明。,3.3 卷積和,例1：f1(k)、 f2(k)如圖所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？,解：,（1）換元,（2） f2(i)反轉(zhuǎn)得f2( i),（3） f2(i)右移2得f2(2i),（4） f1(i)乘f2(2i),（5

20、）求和，得f(2) = 4.5,f2(i ),f2(2i),3.3 卷積和,解：（1）換元，反轉(zhuǎn)，得,例2 求,（2） 平移，求,3.3 卷積和,（3）求,3.3 卷積和,3.3 卷積和,三、不進位乘法求卷積,f(k)=所有兩序列序號之和為k 的那些樣本乘積之和。 如k=2時 f(2)= +f1(-1)f2(3) + f1(0)f2(2) + f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) + ,例1 f1(k) =0， f1(1) ， f1(2) ， f1(3)，0 f2(k) =0， f2(0) ， f2(1)，0,3.3 卷積和,f1(1) ， f1(2) ， f1(3),f2(0) ，

21、f2(1),f1(1) f2(0) ，f1(2) f2(0) ，f1(3) f2(0),f1(1)f2(1) ，f1(2) f2(1) ，f1(3) f2(1),+ ,f1(3) f2(1),f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0),f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0),f1(1) f2(0),f(k)= 0， f1(1) f2(0)， f1(1)f2(1)+ f1(2)f2(0) f1(2)f2(1)+ f1(3)f2(0) ， f1(3) f2(1) ，0 ,排成乘法,3.3 卷積和,3 ， 4， 0， 6,2 ， 1 ， 5,解:,15 ，20， 0， 30,3 ， 4， 0

22、， 6,6 ，8， 0， 12,+ ,6 ，11，19，32，6，30,f(k) = 0，6 ，11，19，32，6，30 k=1,注：教材中提到的列表法與這里介紹的不進位乘法本質(zhì)是一樣的。,3.3 卷積和,四、卷積和的性質(zhì),1. 滿足乘法的三律,(1) 交換律：,(2) 分配律：,(3) 結(jié)合律：,證明： (僅證明交換律，其它類似。),3.3 卷積和,2. 復合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng),3. f(k)*(k) = (k) *f(k)=f(k)，f(k)*(k k0) = f(k k0),4. f(k)*(k) =,5. f1(k k1)* f2(k k2) = f1(k k1 k2)* f2(k)

23、,6. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k),3.3 卷積和,常用卷積和公式,求卷積和是本章的重點。,證明:,3.3 卷積和,例1,解法I：（列表法）,3.3 卷積和,解法II：（不進位乘法）,3.3 卷積和,解法III： （圖解法）,3.3 卷積和,3.3 卷積和,解法IV： （解析法）,3.3 卷積和,例2,解：（1）求零輸入響應(yīng)：,零輸入響應(yīng)滿足方程：,方程特征根為：,上式的特征方程：,(P.110 3.6 (4) ),3.3 卷積和,解以上兩式得：,于是系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為：,所以其齊次解為：,將初始值代入得：,3.3 卷積和,系統(tǒng)的零狀態(tài)

24、響應(yīng)是非齊次方程的解，分別求出非齊次方程的齊次解和特解，得,（2）求零狀態(tài)響應(yīng)：,零狀態(tài)響應(yīng)滿足方程,初始狀態(tài),由（2）式得：,迭代得：,3.3 卷積和,（3）系統(tǒng)的全響應(yīng)為：,解以上三式得：,于是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：,3.3 卷積和,例3:,解：,(1) 求系統(tǒng)的差分方程：,整理得：,(P.112 3.17),3.3 卷積和,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)滿足：,由迭代得：,(2) 求零狀態(tài)響應(yīng)的齊次解,差分方程的特征方程為：,3.3 卷積和,可解得特征根為：,因此，齊次解為：,(3) 求零狀態(tài)響應(yīng)的特解,其特解為：,將特解代入（1），得：,3.3 卷積和,解得：,（4）求零狀態(tài)響應(yīng),代入初始條件得：,解

25、得：,所以，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：,3.3 卷積和,例4:,已知某LTI系統(tǒng)的輸入為,解：,時，其零狀態(tài)響應(yīng)為,求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。,由題意知：,(P.112 3.19),3.3 卷積和,初始條件：,設(shè)系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h(k)，根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性質(zhì)：,由迭代得：,（1）特解：,代入得：,3.3 卷積和,特征方程：,特征根：,（2）齊次解,齊次解：,（3）零狀態(tài)響應(yīng)全解,代入初始條件：,3.3 卷積和,解得：,系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：,3.3 卷積和,例5:,解：,由復合系統(tǒng)各個子系統(tǒng)之間的連接關(guān)系得:,(3.21),3.3 卷積和,例6:,某人向銀行貸款M=10萬元，月利率=1%，他定期

26、于每月初還款數(shù)為f(k)，尚未還清的款數(shù)為y(k)，列出y(k)的方程。如果他從貸款后第一個月(可設(shè)為k=0)還款，則有f(k)=N(k)萬元和y(-1)=M=10萬元。,解：,(1) 如每月還款N=0.5萬元，求y(k)。 (2) 他還清貸款需要幾個月？ (3) 如他想在10個月內(nèi)還清貸款，求每月還款數(shù)N。,（1）列出y(k)的差分方程。,整理得：,(3.23),3.3 卷積和,齊次解：,特解：,初始條件：,迭代得：,全解：,代入初始條件：,特解代入得：,3.3 卷積和,解得：,所以：,（2）還清貸款需要滿足y(k) 0，即：,解得：,k取整數(shù)，故k=22。k從0開始計算，所以還清貸款需要2

27、3個月。,3.3 卷積和,（3）如果想10個月還清貸款，需要滿足y(9) 0。,3.3 卷積和,例7: 求圖示系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。,x(k),x(k-1),x(k-2),解：,設(shè)一中間變量x(k)，則左邊的加法器輸出為：,右邊加法器輸出為：,整理得：,3.3 卷積和,所以，圖示系統(tǒng)的差分方程為：,k2時，(2)式的零狀態(tài)響應(yīng)化為齊次方程：,初始狀態(tài)：,迭代得：,由(2)得：,3.3 卷積和,（3）式的特征根為：,所以：,代入初始條件得：,解得：,由于h(0),h(1)作為初始值代入，因而方程的解也滿足k=0和k=1。所以系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,2、LTI離散系統(tǒng)的

28、響應(yīng),（1）零輸入響應(yīng)yx(k) :,輸入f(k)為零，由初始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng)稱零輸入 響應(yīng)。設(shè)初始時刻為k0=0，系統(tǒng)初始狀態(tài)通常指： （對n階系統(tǒng)）。,*3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,1、描述：,LTI離散系統(tǒng)的基本概念,復習,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,初始狀態(tài)為零，由輸入f(k) 產(chǎn)生的響應(yīng)稱零狀態(tài)響應(yīng)。,（3）完全響應(yīng)y(k)：,3、線性時不變因果系統(tǒng)的性質(zhì)：,（2）零狀態(tài)響應(yīng)yf (k):,（2）時不變性：,由初始狀態(tài)和輸入共同產(chǎn)生的響應(yīng)稱為完全響應(yīng)。,可分解性： y(k)=yx(k)+yf (k)； 零輸入線性： yx(k)與初始狀態(tài)滿足線性； 零狀態(tài)線性： yf (k)與輸入f

29、(k)滿足線性。,（1） 線性：包括以下三個方面：,若,則,若kk0時，輸入f(k)=0 ； 則kk0時，零狀態(tài)響應(yīng)yf(k)=0 。,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,已知單輸入單輸出LTI離散系統(tǒng)的激勵為f(k)，其全響應(yīng)為y(k)，那么，描述該系統(tǒng)激勵f(k)與響應(yīng)y(k)之間的關(guān)系的數(shù)學模型是n階常系數(shù)線性差分方程，表示如下：,4. LTI離散系統(tǒng)的差分方程,（3）因果性：,2、n階離散系統(tǒng)的差分算子方程：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,1、差分算子：,一、離散系統(tǒng)的差分算子及方程,由后向差分方程形式得：,算子方程也可寫成：,進一步寫成：,H(E)稱為系統(tǒng)的傳

30、輸算子。,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,3、關(guān)于差分算子方程的說明：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,（3）算子方程兩邊的公因子或H(E)的公因子不能隨 意消去。,（2） 其中，A(E)、B(E)為E的正冪或負冪多項式；,（1）E的正冪多項式可以相乘，也可以進行因式分解； 例：,H(E)的E正冪形式：（由前向差分方程形式得到）,例1 圖示LTI離散系統(tǒng)，寫出系統(tǒng)的差分算子方程，和傳輸算子H(E)。,由系統(tǒng)框圖得：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,解：,差分方程：,或：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,3.4 離

31、散系統(tǒng)的E算子分析,傳輸算子：,系統(tǒng)的差分算子方程：,系統(tǒng)算子方程為（前向差分方程）：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,二、離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng),1. 零輸入響應(yīng)yx(k)的方程：,設(shè)n階系統(tǒng)的傳輸算子為,零輸入響應(yīng)yx(k)的方程：令f(k)=0,2. 零輸入響應(yīng)yx(k) 的計算：設(shè)初始時刻k0=0,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,(1) 情況1：,情況1的推廣：,（1）+（2）得：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,設(shè),設(shè),則,（2）情況2：,則,推廣：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,（3） 一般情況：,求yx(k)方法小結(jié)：,設(shè)方程為：,（2）根據(jù)情況1、2求各分式對應(yīng)的零輸入響應(yīng)；,（3）

32、yx(k)等于各因式對應(yīng)的零輸入響應(yīng)之和；,（4）由初始條件 yx(-1),yx(-2),或yx(0),yx(1), 確定待定系數(shù)Ci。,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,（1）對A(E)進行因式分解；,3. 關(guān)于初始條件的說明：（初始時刻k0=0）,(1),對因果系統(tǒng)，因果輸入f(k) (k0,f(k)=0):,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,(2) 用遞推法求響應(yīng)初始值,例2 已知:,求:,解：,由y(k)的方程得：,令k0：,令k1：,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,(1)求yx(-1)，yx(-2)：,（2）求yx(0)，yx(1)；,（3） 求yx(k) ：,代入得：,即：,3.4 離散系統(tǒng)

33、的E算子分析,yx(k)的方程 ：,yx(k)的算子方程 ：,前面已經(jīng)求得：,所以：,得,3.4 離散系統(tǒng)的E算子分析,代入初始條件：,零輸入響應(yīng)為：,1.單位序列響應(yīng),當LTI系統(tǒng)的激勵為單位序列(k)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位序列響應(yīng)（或單位樣值響應(yīng)、單位取樣響應(yīng)），用h(k)表示，它的作用與連續(xù)系統(tǒng)中的沖激響應(yīng)h(t)相類似。,本章第一節(jié)我們已經(jīng)向大家講述了單位序列響應(yīng)的經(jīng)典解法求解差分方程法。,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),*3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),本節(jié)我們會介紹由傳輸算子H(E)求解h(k)的方法。,第六章我們會給大家講解利用z變換法求解單位序列響應(yīng)。,一、單位序列響應(yīng)和階躍

34、響應(yīng),2.階躍響應(yīng),當LTI系統(tǒng)的激勵為單位序列(k)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)，用g(k)表示。,若已知系統(tǒng)的差分方程，那么利用經(jīng)典法可以求得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(k)。此外,由于,由線性和移位不變性,由于,那么,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),(k2k1 ),兩個常用的求和公式：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),以二階系統(tǒng)為例,設(shè)二階系統(tǒng)的傳輸算子為:,二、由H(E)求單位序列響應(yīng)h(k),按照單位序列響應(yīng)的定義，h(k)的方程為：,對因果系統(tǒng)：,1. h(k)的計算：設(shè)H(E)是E的正冪分式,（1）情況1:,的方程,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),用遞推法：

35、,（2）情況2：,的方程：,設(shè) 得,-1,即 -2,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),比較式1和2，得：,用遞推法得：,同法：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),推廣：,（3）一般情況：,設(shè) 為常數(shù)，,由情況1、情況2求 ；,則,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),求單位響應(yīng)h(k)方法小結(jié)： 1、H(E)為E的正冪分式，H(E)除以E，得H(E)/E; 2、設(shè)H(E)/E為有理真分式，將H(E)/E展開為部分 分式之和； 3、H(E)/E的部分分式展開式乘以E，得到H(E)的 部分分式展開式； 4、根據(jù)情況1，情況2求H(E)的各分式對應(yīng)的單位 響應(yīng)； 5、求系統(tǒng)的單位響應(yīng)h(k)，h(k)等于各分式對應(yīng)

36、 單位響應(yīng)之和。,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),2有理分式的部分分式展開,H(E)/E為有理真分式,（1）H(E)/E的極點為單極點：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),（2）H(E)/E的極點為m重極點：,（3）H(E)/E的極點為單極點和重極點:,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),1、任一信號f(k)可分解為單位序列之和,三、求零狀態(tài)響應(yīng)yf (k),3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),2 .任意序列f(k)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)yf (k),根據(jù)h(k)的定義：,(k),h(k),由時不變性：,(k -i),h(k -i),f (i)(k -i),由齊次性：,f (i) h(

37、k-i),由疊加性：,f (k),yf (k),3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),例1:,解：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),例2:,解：,例3：,求,解：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),已知系統(tǒng)的,由H(E)得：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),例4：,求,已知LTI離散系統(tǒng)的傳輸算子和輸入如下：,輸出y(k)的初始值為,解：,已知系統(tǒng)的傳輸算子為：,可得系統(tǒng)的單位響應(yīng)為：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),（1）求零狀態(tài)響應(yīng),（2）求零輸入響應(yīng),可得傳輸算子的極點：,所以，零輸入響應(yīng)為：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),將零輸入響應(yīng)yx(k)的初始值代入得：,初始條件為：,全響應(yīng)為：,由（1）得：,所

38、以：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),解得：,所以，零輸入響應(yīng)為：,（3）全響應(yīng)為：,例5 求圖示LTI離散系統(tǒng)的單位響應(yīng)和階躍響應(yīng)。,(1) 求系統(tǒng)的單位響應(yīng)，由系統(tǒng)框圖得：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),解：,系統(tǒng)的差分算子方程：,由部分分式展開得：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),傳輸算子：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),(2) 求系統(tǒng)的階躍響應(yīng),3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),例6: 求圖示系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。,x(k),x(k-1),x(k-2),解：,設(shè)一中間變量x(k)，則左邊的加法器輸出為：,右邊加法器輸出為：,整理得：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),所以，圖示系統(tǒng)的算子方程為：,所

39、以，圖示系統(tǒng)的差分方程為：,傳輸算子為：,由部分分式展開得：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),所以系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),例6: 求圖示系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)。,x(k),x(k-1),x(k-2),解：,設(shè)一中間變量x(k)，則左邊的加法器輸出為：,右邊加法器輸出為：,整理得：,例6經(jīng)典解法,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),所以，圖示系統(tǒng)的差分方程為：,k2時，(2)式的零狀態(tài)響應(yīng)化為齊次方程：,初始狀態(tài)：,迭代得：,由(2)得：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),（3）式的特征根為：,所以：,代入初始條件得：,解得：,由于h(0),h(1)作為初始值代入，因而方程的解也滿足k=0和k=1。所以系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為：,3.5 離散系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),