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1、第七章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正,7-1 離散系統(tǒng)的基本概念,7-2 信號(hào)的采樣與保持,7-3 z變換理論,7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,7-5 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,7-6 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析,7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,7-1 離散系統(tǒng)的基本概念,1、基本概念： 控制系統(tǒng)中有一處或幾處信號(hào)是一串脈沖或數(shù)字（數(shù)碼），由于信號(hào)在時(shí)間上是離散的這類系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)。,一、離散系統(tǒng)基本概念和分類,（1）采樣控制系統(tǒng)或脈沖控制系統(tǒng) 離散信號(hào)是脈沖序列（時(shí)間上離散）,2、分類：,采樣系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖,（2）數(shù)字控制系統(tǒng)或計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng) 離散信號(hào)是數(shù)字序列（時(shí)間上離散、幅值上整量化）,例2 小口
2、徑高炮高精度伺服系統(tǒng),A/D：模數(shù)轉(zhuǎn)換器，將連續(xù)的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換為離散的數(shù)字信號(hào)。包括采樣與量化兩過(guò)程。,D/A：數(shù)模轉(zhuǎn)換器，將離散的數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬信號(hào)。包括解碼與復(fù)現(xiàn)兩過(guò)程。,7-2 信號(hào)的采樣與保持,二、采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述： 1、理想采樣過(guò)程的數(shù)學(xué)描述：,2、采樣信號(hào)的拉氏變換：,注意： 由于 e*(t)只描述了e(t)在采樣瞬時(shí)的數(shù)值，所以E*(s)不能給出連續(xù)函數(shù)e(t)在采樣間隔之間的信息。,例題： 設(shè) ，求 的拉氏變換。,解：,例題： 設(shè) 為常數(shù)，求 的拉氏變換,解：,3、采樣信號(hào)的頻譜,s=2/T為采樣角頻率,Cn是傅氏系數(shù),其值為：,連續(xù)信號(hào)的頻譜為,采樣信號(hào)的頻譜為,
3、h,-h,0,h,-h,0,s,2s,3s,-3s,-2s,-s,s = 2h,濾波器的寬度滿足什么,條件時(shí)能從,得到,?,s 2h,或：,T/h,三、香農(nóng)采樣定理： 如果采樣器的 輸入信號(hào)e(t) 具有有限帶寬，具有最高頻率為 的分量，要從采樣信號(hào)中e*(t)完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號(hào)e(t) ，必須滿足以下條件：,四、采樣周期的選取 采樣定理給出了采樣周期選擇的基本原則，未給出選擇采樣周期的具體計(jì)算公式。顯然，采樣周期選得越小，對(duì)控制過(guò)程的信息獲得越多，控制效果越好。但是采樣周期選得過(guò)小，將增加不必要的負(fù)擔(dān)；采樣周期選得過(guò)大，會(huì)給控制過(guò)程帶來(lái)較大誤差。,五、信號(hào)保持,信號(hào)保持是指將離散信號(hào)
4、轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號(hào)的過(guò)程。用于這種轉(zhuǎn)換的元件稱為保持器。工程實(shí)踐中，普遍采用零階保持器。零階保持器把前一采樣時(shí)刻的采樣值保持到下一個(gè)采樣時(shí)刻到來(lái)之前。,零階保持器,T=0.4,T=0.8,T=0.2,T=3,零階保持器： 當(dāng)給零階保持器輸入一個(gè)理想單位脈沖 ，則脈沖響應(yīng)（輸出）,脈沖過(guò)渡函數(shù)：,幅值為1，持續(xù)時(shí)間為 T,對(duì)應(yīng)的拉氏變換,零階保持器的特性： （1）低通特性 （2）相角滯后特性 （3）時(shí)間滯后特性,令 ，得到零階保持器的頻率特性,7-3 Z 變換理論,一、Z變換定義,采樣信號(hào)拉氏變換為：,令z=esT，則,稱E(z)為采樣信號(hào)e*(t)的Z變換，記做,二、Z變換方法,1、級(jí)數(shù)求和法 級(jí)
5、數(shù)求和法直接根據(jù)z變換定義求取。,例題： 試求單位階躍函數(shù)1(t)的z變換,解：,2、部分分式法, 先求出已知連續(xù)時(shí)間函數(shù)e(t)的拉氏變換E (s)； 將E (s)展開成部分分式之和的形式； 求拉氏反變換，再求Z變換E(z)。,例題：已知 ，求相應(yīng)的E(z),解：,三、z變換性質(zhì),1、線性定理,3、復(fù)數(shù)位移定理,4、終值定理,5、初值定理,四、 Z 反變換 1、Z 反變換的定義 由已知的 Z 變換E(z)，求相應(yīng)的離散時(shí)間序列e(nT) 并表示為： 2、 Z 反變換的求法 求 Z 反變換的方法很多，常用的方法有：部分分式法，長(zhǎng)除法。,(1)部分分式法,(2)長(zhǎng)除法,7-4 離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
6、,一、線性常系數(shù)差分方程及其解法：,1、差分定義：,前向差分：,后向差分：,2、解法,1. 迭代法 根據(jù)給定差分方程和輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，一步一步算出輸出序列。,2.Z變換法 用Z變換法解差分方程的實(shí)質(zhì)，是對(duì)差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的位移性質(zhì)，得到以z為變量的代數(shù)方程，然后對(duì)代數(shù)方程的解E(z)取Z反變換即求得輸出序列。,三、脈沖傳遞函數(shù) 1、定義：零初始條件下，離散系統(tǒng)輸出脈沖序列Z變換與輸入脈沖序列Z變換之比。,2、意義：理想脈沖輸出響應(yīng)的Z變換就是脈沖傳遞函數(shù)。 3、求法 （1）由差分方程求取 （2）由連續(xù)部分的傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù),4、開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),
7、（1）采樣拉氏變換的兩個(gè)重要性質(zhì)： 采樣函數(shù)的拉氏變換具有周期性,（2）具有串聯(lián)環(huán)節(jié)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),注意：,（3）帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),6、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù),7-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差,一、 s 域到 z 域的映射關(guān)系,二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件： 閉環(huán)特征根全部位于z平面單位圓內(nèi)。,解：開環(huán)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)特征方程,結(jié)論：因?yàn)閨z2|1，所以閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù),連續(xù)系統(tǒng)的代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 判定:特征方程的根是否都在左半s平面。 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性： 特征根是否都在z平面的單位圓內(nèi)。 將勞思-赫爾維茨判據(jù)用于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定
8、性判定，首先要將z平面上的穩(wěn)定域單位圓內(nèi)映射成w平面上的左半平面,1、W變換（雙線性變換）與勞思穩(wěn)定判據(jù),令,在W域應(yīng)用勞思判據(jù)。,解：,使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K取值范圍,臨界增益,勞思表,2、朱利穩(wěn)定判據(jù),朱利穩(wěn)定判據(jù)是根據(jù)離散系統(tǒng)的z域特征方程 的系數(shù)，直接判別特征根是否嚴(yán)格位于z平面上的單位圓內(nèi)。,朱利穩(wěn)定判據(jù)：特征方程 的根，全部嚴(yán)格位于z平面上單位圓內(nèi)的充要條件是：,以及下列（n-1）個(gè)約束成立：,只有上述條件滿足，系統(tǒng)穩(wěn)定。,四、采樣周期與開環(huán)增益對(duì)穩(wěn)定性的影響,連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于：開環(huán)增益、閉環(huán)極點(diǎn)、傳輸延遲等。 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性：除以上因素，還有采樣周期T。,例題：設(shè)有零階保持器
9、Gh(s)的離散系統(tǒng)如圖所示，求：T=1s和0.5s時(shí)，系統(tǒng)的臨界開環(huán)增益,解,結(jié)論： （1）當(dāng)采樣周期一定時(shí)，加大開環(huán)增益會(huì)使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差； （2）當(dāng)開環(huán)增益一定時(shí)，采樣周期越長(zhǎng)，丟失的信息就越多，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能不利。,1. 終值定理法,2. 誤差系數(shù)法 (1) 單位階躍輸入時(shí) r(t)=1(t),(2) 單位斜坡輸入時(shí) r(t)=t,(3) 單位加速度輸入時(shí) r(t)=t2/2,五、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,解1：,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。,解2：,型系統(tǒng),8-6 離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析,通常假定外作用為單位階躍函數(shù)r(t)=1(t)，此時(shí)R(z)=z/(z-1)， 則系統(tǒng)輸出量的Z變換函
10、數(shù)為,一、離散系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng),然后用長(zhǎng)除法，將C(z)展成無(wú)窮冪級(jí)數(shù)： C(z)=C0+C1z-1+ C2z-2+ Cnz-n,則得單位階躍作用下的輸出序列為 C(kT)=Ck , k=0,1,2,n,閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式,Im,Re,0,1,二、閉環(huán)極點(diǎn)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系,Im,Re,1,1,閉環(huán)復(fù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)形式,7-7 離散系統(tǒng)的數(shù)字校正,一、數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù),數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù),或,二、最小拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),最小拍系統(tǒng)是指：系統(tǒng)在典型的輸入信號(hào)作用下，經(jīng)過(guò)最少采樣周期，使得輸出穩(wěn)態(tài)誤差為零，達(dá)到完全跟蹤。,典型輸入信號(hào),典型信號(hào)作用下的(z),
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