2019年高考數(shù)學(xué) 高考題和高考模擬題分項(xiàng)版匯編 專題03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 文（含解析）

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1、專題03 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1【2019年高考全國卷文數(shù)】曲線y=2sinx+cosx在點(diǎn)(，-1)處的切線方程為ABCD【答案】C【解析】則在點(diǎn)處的切線方程為，即故選C【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)采取導(dǎo)數(shù)法，利用函數(shù)與方程思想解題學(xué)生易在非切點(diǎn)處直接求導(dǎo)數(shù)而出錯(cuò)，首先證明已知點(diǎn)是否為切點(diǎn)，若是切點(diǎn)，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求解；若不是切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)，再求導(dǎo)，然后列出切線方程2【2019年高考全國卷文數(shù)】已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則ABa=e，b=1CD，【答案】D【解析】切線的斜率，將代入，得.故選D【名師點(diǎn)睛】本題求

2、解的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)在曲線上得到含有a，b的等式，從而求解，屬于?？碱}型.3【2019年高考浙江】已知，函數(shù)若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b0【答案】C【解析】當(dāng)x0時(shí)，yf（x）axbxaxb（1a）xb0，得x=b1-a，則yf（x）axb最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2+axaxb=13x3-12（a+1）x2b，當(dāng)a+10，即a1時(shí)，y0，yf（x）axb在0，+）上單調(diào)遞增，則yf（x）axb最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a+10，即a1時(shí)，令y0得x(a+1，+），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令y0得x0，a+1），

3、此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)題意，函數(shù)yf（x）axb恰有3個(gè)零點(diǎn)函數(shù)yf（x）axb在（，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在0，+）上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，b-16（a+1）3，則a1，b0.故選C【名師點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.當(dāng)x0時(shí)，yf（x）axbxaxb（1a）xb最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2b，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫出函數(shù)的草圖，從而結(jié)合題意可列不等式組求解4【2019年高考全國卷文數(shù)】曲線在點(diǎn)處的切線方程為_【答案】【解析

4、】所以切線的斜率，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即【名師點(diǎn)睛】準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步計(jì)算的基礎(chǔ)，本題易因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則掌握不熟，而導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤求導(dǎo)要“慢”，計(jì)算要準(zhǔn)，是解答此類問題的基本要求5【2019年高考天津文數(shù)】曲線在點(diǎn)處的切線方程為_.【答案】【解析】，故所求的切線方程為，即.【名師點(diǎn)睛】曲線切線方程的求法：（1）以曲線上的點(diǎn)(x0，f(x0)為切點(diǎn)的切線方程的求解步驟：求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)；求切線的斜率f(x0)；寫出切線方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化簡（2）如果已知點(diǎn)(x1，y1)不在曲線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，y0)，解方程組得切點(diǎn)(x0，y0)，進(jìn)而確定切線方程6

5、【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是 .【答案】4【解析】由，得，設(shè)斜率為的直線與曲線切于，由得（舍去），曲線上，點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為.故答案為【名師點(diǎn)睛】本題考查曲線上任意一點(diǎn)到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取導(dǎo)數(shù)法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.7【2019年高考江蘇】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 .【答案】【解析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值，可得切點(diǎn)坐標(biāo).設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，則

6、曲線在點(diǎn)A處的切線為，即，將點(diǎn)代入，得，即，考察函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.【名師點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)8【2019年高考全國卷文數(shù)】已知函數(shù)f（x）=2sinx-xcosx-x，f（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)（1）證明：f（x）在區(qū)間（0，）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x0，時(shí)，f（x）ax，求a的取值范圍【

7、答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，故在存在唯一零點(diǎn).所以在存在唯一零點(diǎn).（2）由題設(shè)知，可得a0.由（1）知，在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，所以，當(dāng)時(shí)，.又當(dāng)時(shí)，ax0，故.因此，a的取值范圍是.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)范圍的問題.對于此類端點(diǎn)值恰為恒成立不等式取等的值的問題，通常采用構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)最值與零之間的比較，進(jìn)而通過導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，從而得到最值.9【2019年高考全國卷文數(shù)】已知函數(shù)證明：（1）存

8、在唯一的極值點(diǎn)；（2）有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）的定義域?yàn)椋?，+）.因?yàn)閱握{(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，又，故存在唯一，使得.又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.因此，存在唯一的極值點(diǎn).（2）由（1）知，又，所以在內(nèi)存在唯一根.由得.又，故是在的唯一根.綜上，有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù)【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，以及函數(shù)零點(diǎn)的問題，屬于?？碱}型.10【2019年高考天津文數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中.（1）若a0，討論的單調(diào)性；（2）若，（i）證明恰有兩個(gè)零點(diǎn)；（ii）設(shè)

9、為的極值點(diǎn)，為的零點(diǎn)，且，證明.【答案】（1）在內(nèi)單調(diào)遞增.；（2）（i）見解析；（ii）見解析.【解析】（1）解：由已知，的定義域?yàn)椋?因此當(dāng)a0時(shí)，從而，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.（2）證明：（i）由（）知.令，由，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，又，且.故在內(nèi)有唯一解，從而在內(nèi)有唯一解，不妨設(shè)為，則.當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，因此是的唯一極值點(diǎn).令，則當(dāng)時(shí)，故在內(nèi)單調(diào)遞減，從而當(dāng)時(shí)，所以.從而，又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn).又在內(nèi)有唯一零點(diǎn)1，從而，在內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）由題意，即從而，即.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，又，故，兩邊取對數(shù)，得，于是，整理得.【名師點(diǎn)睛】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證

10、明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查綜合分析問題和解決問題的能力.11【2019年高考全國卷文數(shù)】已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)0a0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；若a=0，在單調(diào)遞增；若a0)，令f(x)0，解得：0x1.故選A【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.16【江西省新八校2019屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)】若對恒成立，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為ABCD【答案】B【解析】，聯(lián)立，解得，則，切線方程為：，即.故選B.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解在某一點(diǎn)處的切線方程，關(guān)鍵是能夠利用構(gòu)造方程組

11、的方式求得函數(shù)的解析式.17【云南省玉溪市第一中學(xué)2019屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)】函數(shù)的最小值為ABCD【答案】C【解析】由題得，令，解得，則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以處的函數(shù)值為最小值，且.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，解此類題首先確定函數(shù)的定義域，其次判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定最值點(diǎn)，最后代回原函數(shù)求得最值.18【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)】若函數(shù)f(x)=12ax2+xlnx-x存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是ABCD【答案】B【解析】，在x上成立，即ax+0在x上成立，即a在x上成立令g（x），則g（x），g（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（

12、e，+）上單調(diào)遞增，g（x）的最小值為g（e）=，a故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及轉(zhuǎn)化化歸思想的運(yùn)用，屬中檔題19【山西省太原市2019屆高三模擬試題（一）數(shù)學(xué)】已知定義在(0,+)上的函數(shù)f(x)滿足xf(x)-f(x)0的解集是A(-,ln2)B(ln2,+)C0,e2De2,+【答案】A【解析】令gx=fxx,gx=xfx-fxx20等價(jià)為fexexf22，即gexg2，故ex2,即xln2，則所求的解集為(-,ln2).故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)的思想，考查分析推理能力，是中檔題.20【河南省焦作市2019屆高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)

13、】已知a=ln33，b=e-1，c=3ln28，則a,b,c的大小關(guān)系為AbccbCabcDbac【答案】D【解析】依題意，得，.令fx=lnxx，所以fx=1-lnxx2.所以函數(shù)fx在0,e上單調(diào)遞增，在e,+上單調(diào)遞減，所以fxmax=fe=1e=b，且f3f8，即ac，所以bac.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造出函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.21【安徽省毛坦廠中學(xué)2019屆高三校區(qū)4月聯(lián)考數(shù)學(xué)】已知fx=lnx+1-aex，若關(guān)于x的不等式fx0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是ABCD【答案】D【解析】由恒成立得恒成立，設(shè)，則.設(shè)，則恒成立，gx在0,+上

14、單調(diào)遞減，又g1=0，當(dāng)0xg1=0，即hx0；當(dāng)x1時(shí)，gxg1=0，即hx1e.故選D.【名師點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，不等式恒成立問題，分離參數(shù)是常見的方法，屬于中檔題.22【遼寧省丹東市2019屆高三總復(fù)習(xí)質(zhì)量測試】若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值為A-2B3C-2或3D-3或2【答案】B【解析】，由題意可知，即或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，顯然是函數(shù)的極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去.故.故選B【名師點(diǎn)睛】本題考查了已知函數(shù)的極值，求參數(shù)的問題.本題易錯(cuò)的地方是求出的值，沒有通過單調(diào)性來驗(yàn)證是不是函數(shù)的極值點(diǎn)，也就是說使得導(dǎo)

15、函數(shù)為零的自變量的值，不一定是極值點(diǎn).23【黑龍江省大慶市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期第四次模擬（最后一卷)考試】已知奇函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為ABCD【答案】A【解析】設(shè)，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，即為上的奇函數(shù)對求導(dǎo)，得，而當(dāng)時(shí)，有，故時(shí)，即單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則不等式即，即，即，所以，解得.故選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)解不等式，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，題目較綜合，有一定的技巧性，屬于中檔題.24【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則_.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因此，曲線在

16、點(diǎn)處的切線斜率為，又該切線與直線垂直，所以.故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)處的切線斜率問題，熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解，屬于?？碱}型.25【河南省新鄉(xiāng)市2019屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x)=ex-alnx在1,2上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是_.【答案】(-,e【解析】由題意知f(x)=ex-ax0在1,2上恒成立，則a(xex)min，令g(x)=xex，知g(x)在1,2上單調(diào)遞增，則g(x)的最小值為g1=e，故ae.故答案為(-,e.【名師點(diǎn)睛】對于恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)

17、最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù).26【廣東省深圳市高級中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)若方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的最大值是_【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由，可得，即，不妨設(shè)，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值，為.故答案為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查方程的根與圖象交點(diǎn)的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的極值與最值，屬于難題.求函數(shù)的極值與最值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；（4）判斷在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左

18、正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該點(diǎn)處取得極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)處的函數(shù)值與極值的大小.27【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試（一模）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，討論的單調(diào)性并判斷有無極值，有極值時(shí)求出極值【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，極大值為，極小值為.【解析】（1）由題意，所以當(dāng)時(shí)，因此曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.（2）因?yàn)?，所以，令，則，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減

19、，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，也就說，對于恒有.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，可得當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值；當(dāng)時(shí)，取得極小值.綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)既有極大值，又有極小值，極大值為，極小值為.【名師點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題28【陜西省2019屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)】已知函數(shù)f(x)=lnx-ax，g(x)=x2，aR.（1）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（2）若f(x)g(x)恒成立，求a的取值范圍.【答案】（1）極大值點(diǎn)為1a，無極小值點(diǎn)

20、.（2）a-1.【解析】（1）的定義域?yàn)?,+，fx=1x-a，當(dāng)a0時(shí)，fx=1x-a0，所以fx在0,+上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，解fx=1x-a0得0x1a，解fx=1x-a1a，所以fx在0,1a上單調(diào)遞增，在1a,+上單調(diào)遞減，所以函數(shù)fx有極大值點(diǎn)，為1a，無極小值點(diǎn).（2）由條件可得lnx-x2-ax0(x0)恒成立，則當(dāng)x0時(shí)，alnxx-x恒成立，令hx=lnxx-x(x0)，則hx=1-x2-lnxx2，令kx=1-x2-lnx(x0)，則當(dāng)x0時(shí)，kx=-2x-1x0；在1,+上，hx0，所以g(x)在1,+)上單調(diào)遞增，所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以

21、a2e-1.（2）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-xex+x(x0).則f(x)=1x-(x+1)ex+1=(x+1)(1x-ex)，令m(x)=1x-ex，則m(x)=-1x2-ex0，m(1)0滿足m(x0)=0，即ex0=1x0.當(dāng)x(0,x0)時(shí)，m(x)0，f(x)0；當(dāng)x(x0,+)時(shí)，m(x)0，f(x)0.所以f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增，在(x0,+)上單調(diào)遞減.所以f(x)max=fx0=lnx0-x0ex0+x0，因?yàn)閑x0=1x0，所以x0=-lnx0，所以f(x0)=-x0-1+x0=-1，所以f(x)max=-1.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，

22、最值，零點(diǎn)存在性定理及其應(yīng)用，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.30【福建省2019年三明市高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試】已知函數(shù)f(x)=exex-ax+a有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.（1）求a的取值范圍；（2）求證：2x1x2x1+x2.【答案】（1）(2e,+)；（2）見解析.【解析】（1）因?yàn)閒(x)=exex-ax+a，所以f(x)=exex-ax+a+exex-a=ex2ex-ax，令f(x)=0，則2ex=ax，當(dāng)a=0時(shí)，不成立；當(dāng)a0時(shí)，令，所以，當(dāng)x0，當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，所以g(x)在(-,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減，又因?yàn)?，?dāng)x-時(shí)，g

23、(x)-，當(dāng)x+時(shí)，g(x)0，因此，當(dāng)時(shí)，f(x)有2個(gè)極值點(diǎn)，即a的取值范圍為(2e,+).（2）由（1）不妨設(shè)0x11x2，且，所以ln2+x1=lna+lnx1ln2+x2=lna+lnx2，所以x2-x1=lnx2-lnx1，要證明2x1x2x1+x2，只要證明2x1x2lnx2-lnx1x22-x12，即證明，設(shè)，即要證明2lnt-t+1t0在t(1,+)上恒成立，記，所以h(t)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞減，所以h(t)h(1)=0，即2lnt-t+1t0，即2x1x2x1+x2.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等即可，屬

24、于?？碱}型.31【北京市西城區(qū)2019屆高三4月統(tǒng)一測試（一模）數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)f(x)=mex-x2+3，其中mR（1）當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，求函數(shù)h(x)=xf(x)的極值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,4上有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍【答案】（1）極小值h(-1)=-2，極大值h(1)=2；（2）-2em13e4或m=6e3.【解析】（1）由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，得f(-x)=f(x)，即me-x-(-x)2+3=mex-x2+3對于任意實(shí)數(shù)x都成立，所以m=0.此時(shí)h(x)=xf(x)=-x3+3x，則h(x)=-3x2+3.由h(x)=0，解得x=1. 當(dāng)x變化時(shí)，h(x)與h(x)的變

25、化情況如下表所示：x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+)h(x)-0+0-h(x)極小值極大值所以h(x)在(-,-1)，(1,+)上單調(diào)遞減，在(-1,1)上單調(diào)遞增. 所以h(x)有極小值h(-1)=-2，極大值h(1)=2. （2）由f(x)=mex-x2+3=0，得m=x2-3ex.所以“f(x)在區(qū)間-2,4上有兩個(gè)零點(diǎn)”等價(jià)于“直線y=m與曲線g(x)=x2-3ex，x-2,4有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)”. 對函數(shù)g(x)求導(dǎo)，得g(x)=-x2+2x+3ex.由g(x)=0，解得x1=-1，x2=3. 當(dāng)x變化時(shí)，g(x)與g(x)的變化情況如下表所示：x(-2,-1)-1(-1,3)3(3,4)g(x)-0+0-g(x)極小值極大值所以g(x)在(-2,-1)，(3,4)上單調(diào)遞減，在(-1,3)上單調(diào)遞增. 又因?yàn)間(-2)=e2，g(-1)=-2e，g(3)=6e3g(-1)，所以當(dāng)-2em13e4或m=6e3時(shí)，直線y=m與曲線g(x)=x2-3ex，x-2,4有且只有兩個(gè)公共點(diǎn). 即當(dāng)-2em13e4或m=6e3時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間-2,4上有兩個(gè)零點(diǎn).【名師點(diǎn)睛】利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法：（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象問題，從而構(gòu)建不等式求解.28