（新課標(biāo) 全國(guó)I卷）2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題14 解析幾何（2）文（含解析）

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1、專題14 解析幾何（2）解析幾何大題：10年10考，每年1題命題的特點(diǎn)：2011-2015年和2019年的載體都是圓，利用圓作為載體，更利于考查數(shù)形結(jié)合，圓承擔(dān)的使命就是“形”，盡量不要對(duì)圓像橢圓一樣運(yùn)算，2016-2018年的載體連續(xù)3年都是拋物線，2010年的載體是橢圓1（2019年）已知點(diǎn)A，B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，|AB|4，M過點(diǎn)A，B且與直線x+20相切（1）若A在直線x+y0上，求M的半徑；（2）是否存在定點(diǎn)P，使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|MP|為定值？并說明理由【解析】（1）M過點(diǎn)A，B且A在直線x+y0上，點(diǎn)M在線段AB的中垂線xy0上，設(shè)M的方程為：（xa）2+（ya）2R2（R

2、0），則圓心M（a，a）到直線x+y0的距離d，又|AB|4，在RtOMB中，d2+（|AB|）2R2，即又M與x2相切，|a+2|R由解得或，M的半徑為2或6；（2）線段AB為M的一條弦O是弦AB的中點(diǎn)，圓心M在線段AB的中垂線上，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），則|OM|2+|OA|2|MA|2，M與直線x+20相切，|MA|x+2|，|x+2|2|OM|2+|OA|2x2+y2+4，y24x，M的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)x1為準(zhǔn)線的拋物線，|MA|MP|x+2|MP|x+1|MP|+1|MF|MP|+1，當(dāng)|MA|MP|為定值時(shí)，則點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，即P的坐標(biāo)為（1，0），存在定點(diǎn)P（1，0）

3、使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MA|MP|為定值2（2018年）設(shè)拋物線C：y22x，點(diǎn)A（2，0），B（2，0），過點(diǎn)A的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線BM的方程；（2）證明：ABMABN【解析】（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，x2，代入拋物線解得y2，M（2，2）或M（2，2），直線BM的方程：yx+1，或：yx1（2）證明：設(shè)直線l的方程為l：xty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立直線l與拋物線方程得，消x得y22ty40，即y1+y22t，y1y24，則有kBN+kBM+0，直線BN與BM的傾斜角互補(bǔ)，ABMABN3（2017年）設(shè)A，B為曲線C：y上兩點(diǎn)，A與B的橫

4、坐標(biāo)之和為4（1）求直線AB的斜率；（2）設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AMBM，求直線AB的方程【解析】（1）設(shè)A（x1，），B（x2，）為曲線C：y上兩點(diǎn)，則直線AB的斜率為k（x1+x2）41；（2）設(shè)直線AB的方程為yx+t，代入曲線C：y，可得x24x4t0，即有x1+x24，x1x24t，再由y的導(dǎo)數(shù)為yx，設(shè)M（m，），可得M處切線的斜率為m，由C在M處的切線與直線AB平行，可得m1，解得m2，即M（2，1），由AMBM可得，kAMkBM1，即為1，化為x1x2+2（x1+x2）+200，即為4t+8+200，解得t7則直線AB的方程為yx+74（2016年

5、）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt（t0）交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y22px（p0）于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H（1）求；（2）除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說明理由【解析】（1）將直線l與拋物線方程聯(lián)立，解得P（，t），M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，t，N（，t），ON的方程為yx，與拋物線方程聯(lián)立，解得H（，2t）2；（2）由（1）知kMH，直線MH的方程為yx+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y24ty+4t20，16t244t20，直線MH與C除點(diǎn)H外沒有其它公共點(diǎn)5（2015年）已知過點(diǎn)A（0，1）且斜率為k的直線l與圓C：（x2）2+（y3）21

6、交于點(diǎn)M、N兩點(diǎn)（1）求k的取值范圍；（2）若12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|【解析】（1）由題意可得，直線l的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)A（0，1）的直線方程為ykx+1，即kxy+10由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R1故由1，故當(dāng)k，過點(diǎn)A（0，1）的直線與圓C：（x2）2+（y3）21相交于M，N兩點(diǎn)（2）設(shè)M（x1，y1）；N（x2，y2），由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為ykx+1，代入圓C的方程（x2）2+（y3）21，可得 （1+k2）x24（k+1）x+70，x1+x2，x1x2，y1y2（kx1+1）（kx2+1）k2x1x2+k（x1+x2）+1k2+k+1，

7、由x1x2+y1y212，解得 k1，故直線l的方程為 yx+1，即 xy+10圓心C在直線l上，MN長(zhǎng)即為圓的直徑所以|MN|26（2014年）已知點(diǎn)P（2，2），圓C：x2+y28y0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）求M的軌跡方程；（2）當(dāng)|OP|OM|時(shí)，求l的方程及POM的面積【解析】（1）由圓C：x2+y28y0，得x2+（y4）216，圓C的圓心坐標(biāo)為（0，4），半徑為4設(shè)M（x，y），則，由題意可得：即x（2x）+（y4）（2y）0整理得：（x1）2+（y3）22M的軌跡方程是（x1）2+（y3）22（2）由（1）知M的軌跡是以點(diǎn)N（

8、1，3）為圓心，為半徑的圓，由于|OP|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ONPMkON3，直線l的斜率為直線PM的方程為，即x+3y80則O到直線l的距離為又N到l的距離為，|PM|7（2013年）已知圓M：（x+1）2+y21，圓N：（x1）2+y29，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C（1）求C的方程；（2）l是與圓P，圓M都相切的一條直線，l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)圓P的半徑最長(zhǎng)時(shí)，求|AB|【解析】（1）由圓M：（x+1）2+y21，可知圓心M（1，0）；圓N：（x1）2+y29，圓心N（1，0），半徑3設(shè)動(dòng)圓的半徑為R，動(dòng)圓P與圓M外切并與圓

9、N內(nèi)切，|PM|+|PN|R+1+（3R）4，而|NM|2，由橢圓的定義可知：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，a2，c1，b2a2c23曲線C的方程為（x2）（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（x，y），由于|PM|PN|2R2312，所以R2，當(dāng)且僅當(dāng)P的圓心為（2，0），R2時(shí)，其半徑最大，其方程為（x2）2+y24l的傾斜角為90，則l與y軸重合，可得|AB|若l的傾斜角不為90，由于M的半徑1R，可知l與x軸不平行，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為Q，則，可得Q（4，0），所以可設(shè)l：yk（x+4），由l于M相切可得：，解得當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，得到7x2+8x80，|AB|，由于對(duì)稱性可知：當(dāng)時(shí)，也

10、有|AB|綜上可知：|AB|或8（2012年）設(shè)拋物線C：x22py（p0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，AC，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點(diǎn)（1）若BFD90，ABD的面積為，求p的值及圓F的方程；（2）若A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，直線n與m平行，且n與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值【解析】（1）由對(duì)稱性知：BFD是等腰直角，斜邊|BD|2p點(diǎn)A到準(zhǔn)線l的距離，ABD的面積SABD，解得p2，所以F坐標(biāo)為（0，1），圓F的方程為x2+（y1）28（2）由題設(shè)（），則，A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上，又AB為圓F的直徑，故A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱由點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)F對(duì)稱得：

11、，得：，直線：， 切點(diǎn)， 直線：，坐標(biāo)原點(diǎn)到m，n距離的比值為：9（2011年）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線yx26x+1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓C上（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線xy+a0交與A，B兩點(diǎn)，且OAOB，求a的值【解析】（1）法一：曲線yx26x+1與y軸的交點(diǎn)為（0，1），與x軸的交點(diǎn)為（3+2，0），（32，0）可知圓心在直線x3上，故可設(shè)該圓的圓心C為（3，t），則有32+（t1）2（2）2+t2，解得t1，故圓C的半徑為，所以圓C的方程為（x3）2+（y1）29法二：圓x2+y2+Dx+Ey+F0，x0，y1有1+E+F0，y0，x2 6x+10與x2+Dx+F0是

12、同一方程，故有D6，F(xiàn)1，E2，即圓方程為x2+y26x2y+10（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標(biāo)滿足方程組，消去y，得到方程2x2+（2a8）x+a22a+10，由已知可得判別式5616a4a20在此條件下利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x24a，x1x2，由于OAOB可得x1x2+y1y20，又y1x1+a，y2x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a20由可得a1，滿足5616a4a20故a110（2010年）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2+1（0b1）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列（1）求|AB|；（2）若直線l的斜率為1，求b的值【解析】（1）由橢圓定義知|AF2|+|AB|+|BF2|4，又2|AB|AF2|+|BF2|，得（2）的方程式為yx+c，其中，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組，化簡(jiǎn)得（1+b2）x2+2cx+12b20則， 因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以，即則解得 9