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1、課程簡介,科學和工程計算是工程類碩士研究生的一門應用性很強的 重要基礎(chǔ)課程，是計算機科學的重要內(nèi)容。 科學計算是工程實踐的重要工具，本課程主要研究用計算機求解各種數(shù)學問題的 數(shù)值計算方法 及其理論，簡稱數(shù)值計算方法或數(shù)值分析。,計算方法,科學計算突破了實驗與 理論方法的局限性 科學計算已和理論、實驗 并列為三大科學方法 （There are three great branches of science：theory，experiment， and computation.）,科學計算的重要性：,1、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M） 466 741 950 1422 163
2、4 水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫,插值法!,應用問題舉例：,1.梁志偉，馬旭東等.一種基于雙層插值的路徑規(guī)劃及跟蹤算法.機器人2010.11 2.任茂棟，梁晉等.數(shù)字圖像相關(guān)法中的優(yōu)化插值濾波器.西安交通大學學報2014.7 3.周峰，趙春宇等.基于時域線性插值的信號周期 計算方法及誤差分析儀器儀表學報20101.8 4.史再峰等.基于邊緣方向插值的視頻縮放算法及電路設計.吉林大學學報2009.4,相關(guān)領(lǐng)域的應用文獻,2、鋁制波紋瓦的長度問題,建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機器
3、將一塊平整的鋁板壓制而成的.,假若要求波紋瓦長48英寸,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2英寸為一個周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.,這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sin x給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L. 由微積分學我們知道,所求的弧長可表示為:,上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.,數(shù)值積分!,主要應用于物理、航天等領(lǐng)域; 神經(jīng)網(wǎng)絡 1.許少華，王穎等一種基于數(shù)值積分的過程神經(jīng)元 網(wǎng)絡訓練算法.計算機科學.2010.11 2.李盼池，施光堯.基于數(shù)值積分的離散過程神經(jīng)網(wǎng) 絡算法及應用;系統(tǒng)工程理論與實踐2013.12 使用智能優(yōu)化
4、算法求解數(shù)值積分問題 1.梁莉莉，韋修喜.云自適應粒子群優(yōu)化算法在 數(shù)值積分中的應用.計算機工程與應用 2012.6 2.賴志柱，張云艷.基于遺傳算法求任意函數(shù)的數(shù)值積分2014.2,全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個位置，至少可以同時收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號,3、全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System, GPS),表示地球上一個接收點R的當前位置，衛(wèi)星Si的位置為 ，則得到下列非線性方程組,非線性方程組的數(shù)值方法!,10,2020年6月20日,國與國之間和地區(qū)之間的種族歧視、民族矛盾、利益沖突、歷史遺留問題等原因造成了局部戰(zhàn)爭和地區(qū)性武裝沖突時有發(fā)生，有的長期處于敵對
5、狀態(tài)，必然會導致敵對雙方的軍備競賽，軍事裝備現(xiàn)已成為決定戰(zhàn)爭勝負的重要因素 軍事裝備: 軍事實力的總和，主要包括武器裝備、電子信息裝備、軍事兵力、軍事費用等,現(xiàn)代戰(zhàn)爭的特點是多兵種的協(xié)同作戰(zhàn)，根據(jù)不同兵種的特點,在不同的區(qū)域參加戰(zhàn)斗，都對戰(zhàn)爭的結(jié)果產(chǎn)生一定的影響,4.戰(zhàn)爭的預測與評估問題,11,2020年6月20日,4.戰(zhàn)爭的預測與評估問題,現(xiàn)在要求建立數(shù)學模型討論的問題： (1) 分析研究引起軍備競賽的因素，并就諸多因素之間的相互關(guān)系進行討論； (2) 在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢進行評估分析. （3）分析研究作戰(zhàn)雙方的兵力消耗，并預測初始總兵力和戰(zhàn)斗力變化對作戰(zhàn)結(jié)果的影響。,12
6、,2020年6月20日,4.戰(zhàn)爭的預測與評估問題,2. 模型的假設,13,2020年6月20日,3. 模型的建立與求解,4.戰(zhàn)爭的預測與評估問題,14,2020年6月20日,4.戰(zhàn)爭的預測與評估問題,微分方程模型！,第一章 緒論,1.1 計算方法的意義 1.2 誤差及有關(guān)概念 1.3 數(shù)值計算中必須注意的幾個原則,主要內(nèi)容：,本課程主要內(nèi)容包括線性方程組的數(shù)值求解、非線性方程求根、插值與逼近、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值解等.,1.1 計算方法的意義,特點：,現(xiàn) 實 世 界,研究 對象,測量 數(shù)據(jù),數(shù)學模型的建立,數(shù)值分析,程序設計,測量 誤差,模型誤差,截斷誤差(方法誤差),舍入誤差,上機計算
7、求得結(jié)果,1.2 誤差及有關(guān)概念(error),1.2.1 誤差來源,19,例如，用泰勒(Taylor)多項式,近似代替函數(shù) ，,則數(shù)值方法的截斷誤差(truncation error)是,在0與x之間。,20,產(chǎn)生的誤差,用3.14159近似代替 ，,就是舍入誤差.,例如，,有了計算公式后，在用計算機做數(shù)值計算時，還要受計算機字長的限制，計算過程又可能產(chǎn)生新的誤差，這種誤差為舍入誤差(roundoff error).,若能根據(jù)測量工具或計算情況估計出誤差絕對值的一個上界，即,1.2.2 絕對誤差與相對誤差,設 為準確值，,為 的一個近似值，,通常準確值x 是未知的，,因此誤差 也是未知的.,
8、為近似值的絕對誤差(absolute error) ，,定義1,稱,簡稱誤差.,則 叫做近似值的誤差限，,它總是正數(shù).,例如，用毫米刻度的米尺測量一長度 ，讀出和該長度接近的刻度 ，,是 的近似值，,它的誤差限是 ，,于是,如讀出的長度為 ，,則有 .,雖然從這個不等式不能知道準確的 是多少，但可知,結(jié)果說明 在區(qū)間 內(nèi).,對于一般情形 ，,即,也可以表示為,需要注意的是誤差限的大小并不能完全表示近似值的好壞.,例如，有兩個量 ，,則,把近似值的誤差 與準確值 的比值,稱為近似值 的相對誤差(relative error) ，,記作 .,上例中 與 的相對誤差限分別為,可見 近似 的程度比 近
9、似 的程度好.,根據(jù)定義，,當準確值x 位數(shù)比較多時，常常按四舍五入的原則得 到x的前幾位近似值 ，,1.2.3 準確位數(shù)與有效數(shù)字,如取 作為 的近似值，,取 ，,按這個定義，,就有3位有效數(shù)字，,就有5位有效數(shù)字.,按定義，,187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.,的5位有效數(shù)字近似數(shù)是8.0000，而不是8，,例1 按四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有5位有效數(shù)字的 近似數(shù)：187.9325, 0.03785551, 8.000033, 2.7182818.,上述各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似數(shù)分別是,因為8只有1位有效數(shù)字.,注意：,（1-1）,其中 是0到9中的一個
10、數(shù)字， 為整數(shù)，則此時 有n位有效數(shù)字,（1-2）,且絕對誤差限,若近似值 表示為,在 相同的情況下， 越大則 越小， 故有效位數(shù)越多，絕對誤差限越小.,其相對誤差限為,有效位數(shù)越多，相對誤差限越小.,1.3 數(shù)值計算中必須注意的幾個原則,前面的誤差分析只適用于簡單情形，一個工程或 科學計算問題往往要運算千萬次，由于每步運算都有誤差， 如果每步都做誤差分析是不可能的，也不科學.,因為誤差積累有正有負，絕對值有大有小，都按最壞 情況估計誤差限得到的結(jié)果比實際誤差大得多，這種保守 的誤差估計不反映實際誤差積累.到目前為止，誤差分析只 是定性分析，定量分析尚沒有好的方法。,要避免絕對值很小的數(shù)做除數(shù)
11、,要避免兩相近數(shù)相減,要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù),注意簡化計算步驟，減少運算次數(shù),數(shù)值計算中通常不采用數(shù)值不穩(wěn)定算法，在設計算法時 還應盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字損失，注意這樣幾個 原則：,例如：,對分母做微小變化：,分母只有0.0001的變化，計算結(jié)果變化很大。 避免很小的數(shù)做除數(shù)。,解,只有一位有效數(shù)字.,則具有3位有效數(shù)字.,若改用,此例說明，可通過改變計算公式避免或減少有效數(shù)字 的損失.,類似地，如果 和 很接近時，由,用右邊算式有效數(shù)字就不損失.,也應該用右端算式代替左端.,當 很大時，,一般情況，當 時，可用泰勒展開,取右端的有限項近似左端.,如果無法改變算式，則采用增加有效位數(shù)進
12、行運算；,在計算機上則采用雙倍字長運算，但這要增加機器計算時間和多占內(nèi)存單元.,例3 已知 a0, a1, a2 , an, x, 計算多項式： 直接計算：運算量（乘） 秦九韶算法（1247年）（horner方法1819）：,運算量n,例4 利用公式,的前 項和，可計算 的近似值（令 ）.,若要精確到 ，需要對 N=100000項求和，此時不但計 算量大，舍入誤差的積累也很嚴重.,若改用,取 ，只要計算前10項之和，其截斷誤差便小于 .,1.了解數(shù)值分析研究的對象及特點；了解誤差的來源及分類； 2.掌握誤差與有效數(shù)字的概念，掌握數(shù)值運算的誤差估計方法； 3.了解數(shù)值算法的穩(wěn)定性；掌握避免誤差危害的若干原則。,本章總結(jié),
同濟大學-工程數(shù)學-第1章-數(shù)值分析與科學計算引論
