同濟(jì)大學(xué)-工程數(shù)學(xué)-第1章-數(shù)值分析與科學(xué)計(jì)算引論

課程簡(jiǎn)介,科學(xué)和工程計(jì)算是工程類碩士研究生的一門應(yīng)用性很強(qiáng)的 重要基礎(chǔ)課程，是計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要內(nèi)容。 科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具，本課程主要研究用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的 數(shù)值計(jì)算方法 及其理論，簡(jiǎn)稱數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值分析。,計(jì)算方法,科學(xué)計(jì)算突破了實(shí)驗(yàn)與 理論方法的局限性 科學(xué)計(jì)算已和理論、實(shí)驗(yàn) 并列為三大科學(xué)方法 （There are three great branches of science：theory，experiment， and computation.）,科學(xué)計(jì)算的重要性：,1、已經(jīng)測(cè)得在某處海洋不同深度處的水溫如下： 深度（M） 466 741 950 1422 1634 水溫（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計(jì)出其它深度（如500米，600米，1000米）處的水溫,插值法!,應(yīng)用問(wèn)題舉例：,1.梁志偉，馬旭東等.一種基于雙層插值的路徑規(guī)劃及跟蹤算法.機(jī)器人2010.11 2.任茂棟，梁晉等.數(shù)字圖像相關(guān)法中的優(yōu)化插值濾波器.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)2014.7 3.周峰，趙春宇等.基于時(shí)域線性插值的信號(hào)周期 計(jì)算方法及誤差分析儀器儀表學(xué)報(bào)20101.8 4.史再峰等.基于邊緣方向插值的視頻縮放算法及電路設(shè)計(jì).吉林大學(xué)學(xué)報(bào)2009.4,相關(guān)領(lǐng)域的應(yīng)用文獻(xiàn),2、鋁制波紋瓦的長(zhǎng)度問(wèn)題,建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.,假若要求波紋瓦長(zhǎng)48英寸,每個(gè)波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個(gè)波紋以近似2英寸為一個(gè)周期. 求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長(zhǎng)度L.,這個(gè)問(wèn)題就是要求由函數(shù)f(x)=sin x給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長(zhǎng)L. 由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長(zhǎng)可表示為:,上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來(lái)計(jì)算.,數(shù)值積分!,主要應(yīng)用于物理、航天等領(lǐng)域; 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 1.許少華，王穎等一種基于數(shù)值積分的過(guò)程神經(jīng)元 網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練算法.計(jì)算機(jī)科學(xué).2010.11 2.李盼池，施光堯.基于數(shù)值積分的離散過(guò)程神經(jīng)網(wǎng) 絡(luò)算法及應(yīng)用;系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐2013.12 使用智能優(yōu)化算法求解數(shù)值積分問(wèn)題 1.梁莉莉，韋修喜.云自適應(yīng)粒子群優(yōu)化算法在 數(shù)值積分中的應(yīng)用.計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用 2012.6 2.賴志柱，張?jiān)破G.基于遺傳算法求任意函數(shù)的數(shù)值積分2014.2,全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個(gè)位置，至少可以同時(shí)收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào),3、全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System, GPS),表示地球上一個(gè)接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為 ，則得到下列非線性方程組,非線性方程組的數(shù)值方法!,10,2020年6月20日,國(guó)與國(guó)之間和地區(qū)之間的種族歧視、民族矛盾、利益沖突、歷史遺留問(wèn)題等原因造成了局部戰(zhàn)爭(zhēng)和地區(qū)性武裝沖突時(shí)有發(fā)生，有的長(zhǎng)期處于敵對(duì)狀態(tài)，必然會(huì)導(dǎo)致敵對(duì)雙方的軍備競(jìng)賽，軍事裝備現(xiàn)已成為決定戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的重要因素 軍事裝備: 軍事實(shí)力的總和，主要包括武器裝備、電子信息裝備、軍事兵力、軍事費(fèi)用等,現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)的特點(diǎn)是多兵種的協(xié)同作戰(zhàn)，根據(jù)不同兵種的特點(diǎn),在不同的區(qū)域參加戰(zhàn)斗，都對(duì)戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)果產(chǎn)生一定的影響,4.戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問(wèn)題,11,2020年6月20日,4.戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問(wèn)題,現(xiàn)在要求建立數(shù)學(xué)模型討論的問(wèn)題： (1) 分析研究引起軍備競(jìng)賽的因素，并就諸多因素之間的相互關(guān)系進(jìn)行討論； (2) 在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對(duì)作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢(shì)進(jìn)行評(píng)估分析. （3）分析研究作戰(zhàn)雙方的兵力消耗，并預(yù)測(cè)初始總兵力和戰(zhàn)斗力變化對(duì)作戰(zhàn)結(jié)果的影響。,12,2020年6月20日,4.戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問(wèn)題,2. 模型的假設(shè),13,2020年6月20日,3. 模型的建立與求解,4.戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問(wèn)題,14,2020年6月20日,4.戰(zhàn)爭(zhēng)的預(yù)測(cè)與評(píng)估問(wèn)題,微分方程模型！,第一章 緒論,1.1 計(jì)算方法的意義 1.2 誤差及有關(guān)概念 1.3 數(shù)值計(jì)算中必須注意的幾個(gè)原則,主要內(nèi)容：,本課程主要內(nèi)容包括線性方程組的數(shù)值求解、非線性方程求根、插值與逼近、數(shù)值積分、常微分方程數(shù)值解等.,1.1 計(jì)算方法的意義,特點(diǎn)：,現(xiàn) 實(shí) 世 界,研究 對(duì)象,測(cè)量 數(shù)據(jù),數(shù)學(xué)模型的建立,數(shù)值分析,程序設(shè)計(jì),測(cè)量 誤差,模型誤差,截?cái)嗾`差(方法誤差),舍入誤差,上機(jī)計(jì)算 求得結(jié)果,1.2 誤差及有關(guān)概念(error),1.2.1 誤差來(lái)源,19,例如，用泰勒(Taylor)多項(xiàng)式,近似代替函數(shù) ，,則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差(truncation error)是,在0與x之間。,20,產(chǎn)生的誤差,用3.14159近似代替 ，,就是舍入誤差.,例如，,有了計(jì)算公式后，在用計(jì)算機(jī)做數(shù)值計(jì)算時(shí)，還要受計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的限制，計(jì)算過(guò)程又可能產(chǎn)生新的誤差，這種誤差為舍入誤差(roundoff error).,若能根據(jù)測(cè)量工具或計(jì)算情況估計(jì)出誤差絕對(duì)值的一個(gè)上界，即,1.2.2 絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差,設(shè) 為準(zhǔn)確值，,為 的一個(gè)近似值，,通常準(zhǔn)確值x 是未知的，,因此誤差 也是未知的.,為近似值的絕對(duì)誤差(absolute error) ，,定義1,稱,簡(jiǎn)稱誤差.,則 叫做近似值的誤差限，,它總是正數(shù).,例如，用毫米刻度的米尺測(cè)量一長(zhǎng)度 ，讀出和該長(zhǎng)度接近的刻度 ，,是 的近似值，,它的誤差限是 ，,于是,如讀出的長(zhǎng)度為 ，,則有 .,雖然從這個(gè)不等式不能知道準(zhǔn)確的 是多少，但可知,結(jié)果說(shuō)明 在區(qū)間 內(nèi).,對(duì)于一般情形 ，,即,也可以表示為,需要注意的是誤差限的大小并不能完全表示近似值的好壞.,例如，有兩個(gè)量 ，,則,把近似值的誤差 與準(zhǔn)確值 的比值,稱為近似值 的相對(duì)誤差(relative error) ，,記作 .,上例中 與 的相對(duì)誤差限分別為,可見(jiàn) 近似 的程度比 近似 的程度好.,根據(jù)定義，,當(dāng)準(zhǔn)確值x 位數(shù)比較多時(shí)，常常按四舍五入的原則得 到x的前幾位近似值 ，,1.2.3 準(zhǔn)確位數(shù)與有效數(shù)字,如取 作為 的近似值，,取 ，,按這個(gè)定義，,就有3位有效數(shù)字，,就有5位有效數(shù)字.,按定義，,187.93, 0.037856, 8.0000, 2.7183.,的5位有效數(shù)字近似數(shù)是8.0000，而不是8，,例1 按四舍五入原則寫出下列各數(shù)具有5位有效數(shù)字的 近似數(shù)：187.9325, 0.03785551, 8.000033, 2.7182818.,上述各數(shù)具有5位有效數(shù)字的近似數(shù)分別是,因?yàn)?只有1位有效數(shù)字.,注意：,（1-1）,其中 是0到9中的一個(gè)數(shù)字， 為整數(shù)，則此時(shí) 有n位有效數(shù)字,（1-2）,且絕對(duì)誤差限,若近似值 表示為,在 相同的情況下， 越大則 越小， 故有效位數(shù)越多，絕對(duì)誤差限越小.,其相對(duì)誤差限為,有效位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越小.,1.3 數(shù)值計(jì)算中必須注意的幾個(gè)原則,前面的誤差分析只適用于簡(jiǎn)單情形，一個(gè)工程或 科學(xué)計(jì)算問(wèn)題往往要運(yùn)算千萬(wàn)次，由于每步運(yùn)算都有誤差， 如果每步都做誤差分析是不可能的，也不科學(xué).,因?yàn)檎`差積累有正有負(fù)，絕對(duì)值有大有小，都按最壞 情況估計(jì)誤差限得到的結(jié)果比實(shí)際誤差大得多，這種保守 的誤差估計(jì)不反映實(shí)際誤差積累.到目前為止，誤差分析只 是定性分析，定量分析尚沒(méi)有好的方法。,要避免絕對(duì)值很小的數(shù)做除數(shù),要避免兩相近數(shù)相減,要防止大數(shù)“吃掉”小數(shù),注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù),數(shù)值計(jì)算中通常不采用數(shù)值不穩(wěn)定算法，在設(shè)計(jì)算法時(shí) 還應(yīng)盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字損失，注意這樣幾個(gè) 原則：,例如：,對(duì)分母做微小變化：,分母只有0.0001的變化，計(jì)算結(jié)果變化很大。 避免很小的數(shù)做除數(shù)。,解,只有一位有效數(shù)字.,則具有3位有效數(shù)字.,若改用,此例說(shuō)明，可通過(guò)改變計(jì)算公式避免或減少有效數(shù)字 的損失.,類似地，如果 和 很接近時(shí)，由,用右邊算式有效數(shù)字就不損失.,也應(yīng)該用右端算式代替左端.,當(dāng) 很大時(shí)，,一般情況，當(dāng) 時(shí)，可用泰勒展開(kāi),取右端的有限項(xiàng)近似左端.,如果無(wú)法改變算式，則采用增加有效位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算；,在計(jì)算機(jī)上則采用雙倍字長(zhǎng)運(yùn)算，但這要增加機(jī)器計(jì)算時(shí)間和多占內(nèi)存單元.,例3 已知 a0, a1, a2 , an, x, 計(jì)算多項(xiàng)式： 直接計(jì)算：運(yùn)算量（乘） 秦九韶算法（1247年）（horner方法1819）：,運(yùn)算量n,例4 利用公式,的前 項(xiàng)和，可計(jì)算 的近似值（令 ）.,若要精確到 ，需要對(duì) N=100000項(xiàng)求和，此時(shí)不但計(jì) 算量大，舍入誤差的積累也很嚴(yán)重.,若改用,取 ，只要計(jì)算前10項(xiàng)之和，其截?cái)嗾`差便小于 .,1.了解數(shù)值分析研究的對(duì)象及特點(diǎn)；了解誤差的來(lái)源及分類； 2.掌握誤差與有效數(shù)字的概念，掌握數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)方法； 3.了解數(shù)值算法的穩(wěn)定性；掌握避免誤差危害的若干原則。,本章總結(jié),