(2019高考題 2019模擬題)2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練(七)理(含解析)

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1、素養(yǎng)提升練(七)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分,考試時間120分鐘第卷(選擇題,共60分)一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1(2019宣城二調(diào))復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的虛部是()A3i B6i C3 D6答案C解析復(fù)數(shù)23i.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的虛部是3.故選C.2(2019廣東汕頭模擬)已知集合A0,1,2,若AZB(Z是整數(shù)集合),則集合B可以為()Ax|x2a,aA Bx|x2a,aACx|xa1,aN Dx|xa2,aN答案C解析由題意知,集合A0,1,2,可知x|x2a,aA0,2,4,此

2、時AZB1,A不滿足題意;x|x2a,aA1,2,4,則AZB0,B不滿足題意;x|xa1,aN1,0,1,2,3,則AZB,C滿足題意;x|xa2,aN0,1,4,9,16,則AZB2,D不滿足題意故選C.3(2019衡陽聯(lián)考)比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項能力指標(biāo)值(滿分為5分,分值高者為優(yōu)),繪制了如圖所示的六維能力雷達圖,例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4,乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5,則下面敘述正確的是()A乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力B甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值C乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平D甲的數(shù)學(xué)運算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀

3、想象能力指標(biāo)值答案C解析甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4,優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值3,故A錯誤;甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3,乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5,所以乙的直觀想象能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值,故B錯誤;甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為(434534),乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為(543543)4,因為4,故C正確;甲的數(shù)學(xué)運算能力指標(biāo)值為4,甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5,所以甲的數(shù)學(xué)運算能力指標(biāo)值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值,故D錯誤故選C.4(2019東北三校模擬)已知cos,則sin()A B. C. D答案B解析cos,sincoscos12cos2.故選B.5(2019達州一診)

4、如圖虛線網(wǎng)格的最小正方形邊長為1,實線是某幾何體的三視圖,這個幾何體的體積為()A4 B2 C. D答案B解析根據(jù)圖中三視圖可知幾何體的直觀圖如圖所示,為圓柱的一半,可得幾何體的體積為1242.故選B.6(2019全國卷)下列函數(shù)中,以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是()Af(x)|cos2x| Bf(x)|sin2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|答案A解析作出函數(shù)f(x)|cos2x|的圖象,如圖由圖象可知f(x)|cos2x|的周期為,在區(qū)間上單調(diào)遞增同理可得f(x)|sin2x|的周期為,在區(qū)間上單調(diào)遞減,f(x)cos|x|的周期為2.f(x)sin|x|不是周期函數(shù),排除

5、B,C,D.故選A.7(2019鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知正項等比數(shù)列an滿足a7a62a5,若存在兩項am,an,使得aman16a,則的最小值為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q,且q0,由a7a62a5,得a6qa6,化簡得q2q20,解得q2或q1(舍去),因為aman16a,所以(a1qm1)(a1qn1)16a,則qmn216,解得mn6,所以(mn),故選C.8(2019安徽蕪湖二模)一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時期(公元5世紀(jì))的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”問題,原文如下:有物不知數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,問物幾何?

6、即,一個整數(shù)除以三余二,除以五余三,求這個整數(shù)設(shè)這個整數(shù)為a,當(dāng)a2,2019時,符合條件的a共有()A133個 B134個 C135個 D136個答案C解析由題設(shè)a3m25n3,m,nN*,則3m5n1.當(dāng)m5k,n不存在;當(dāng)m5k1,n不存在;當(dāng)m5k2,n3k1,滿足題意;當(dāng)m5k3,n不存在;當(dāng)m5k4,n不存在;故2a15k82019,解得k,kZ,則k0,1,2,134,共135個故選C.9(2019湖南百所重點中學(xué)診測)若變量x,y滿足約束條件且a(6,3),則z僅在點A處取得最大值的概率為()A. B. C. D.答案A解析z可以看作點(x,y)和點(a,0)的斜率,直線AB與

7、x軸交點為(2,0),當(dāng)a(2,1)時,z僅在點A處取得最大值,所以P.故選A.10(2019肇慶二模)已知x1是f(x)x2(a3)x2a3ex的極小值點,則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,) B(1,)C(,1) D(,1)答案D解析根據(jù)題意求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x),根據(jù)x1是f(x)的極小值點,得出x1時f(x)1時f(x)0,由此可得出實數(shù)a的取值范圍函數(shù)f(x)x2(a3)x2a3ex,則f(x)x2(a1)xaex,令f(x)0,得x2(a1)xa0,極值點是x1和xa,僅當(dāng)a1,則實數(shù)m的取值范圍是_答案(,0)(e,)解析如圖所示,可得f(x)的圖象與y1的交點分別為(0,1

8、),(e,1),f(m)1,則實數(shù)m的取值范圍是(,0)(e,)16(2019全國卷)已知雙曲線C:1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點若,0,則C的離心率為_答案2解析解法一:由,得A為F1B的中點又O為F1F2的中點,OABF2.又0,F(xiàn)1BF290.OF2OB,OBF2OF2B.又F1OABOF2,F(xiàn)1OAOF2B,BOF2OF2BOBF2,OBF2為等邊三角形如圖1所示,不妨設(shè)B為.點B在直線yx上,離心率e2.解法二:0,F(xiàn)1BF290.在RtF1BF2中,O為F1F2的中點,|OF2|OB|c.如圖2,作BHx軸于H,由l1為

9、雙曲線的漸近線,可得,且|BH|2|OH|2|OB|2c2,|BH|b,|OH|a,B(a,b),F(xiàn)2(c,0)又,A為F1B的中點OAF2B,c2a,離心率e2.三、解答題:共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題,每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答(一)必考題:60分17(本小題滿分12分)(2019湖南永州三模)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2ann(nN*)(1)證明:數(shù)列an1為等比數(shù)列;(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列,且b3a2,b7a3,求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)證明:當(dāng)n1時,a12a11,a11.當(dāng)n2時,Sn12an

10、1(n1),an2an2an11,an12(an11),數(shù)列an1是首項、公比都為2的等比數(shù)列(2)由(1)得,an12n,即an2n1,b33,b77,b12d3,b16d7,b1d1,bnn,Tn1.18(本小題滿分12分)(2019汕頭一模)我市南澳縣是廣東唯一的海島縣,海區(qū)面積廣闊,發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨厚的優(yōu)勢,所產(chǎn)的“南澳牡蠣”是中國國家地理標(biāo)志產(chǎn)品,產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營養(yǎng)好,素有“海洋牛奶精品”的美譽根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗,產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個“南澳牡蠣”質(zhì)量(g)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布N(32,16)(1)購買10只該基地的“南澳牡蠣”,會買到質(zhì)量小于20

11、 g的牡蠣的可能性有多大?(2)2019年該基地考慮增加人工投入,現(xiàn)有以往的人工投入增量x(萬人)與年收益增量y(萬元)的數(shù)據(jù)如下:人工投入增量x(萬人)234681013年收益增量y(萬元)13223142505658該基地為了預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量,建立了y與x的兩個回歸模型:模型:由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程:4.1x11.8;模型:由散點圖的樣本點分布,可以認(rèn)為樣本點集中在曲線:yba的附近,對人工投入增量x做變換,令t,則ybta,且有2.5,38.9, (ti)(yi)81.0, (ti)23.8.(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計量,求模型中y關(guān)于x的回歸方程(精確

12、到0.1);(2)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù),比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)R2,并選擇擬合精度更高、更可靠的模型,預(yù)測人工投入增量為16人時的年收益增量回歸模型模型模型回歸方程4.1x11.8yba (yii)2182.479.2附:若隨機變量ZN(,2),則P(3Z3)0.9974,0.9987100.9871;樣本(ti,yi)(i1,2,n)的最小二乘估計公式為,另:刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R21.解(1)由已知,單個“南澳牡蠣”質(zhì)量N(32,16),則32,4,由正態(tài)分布的對稱性可知,P(20)1P(2044)1P(379.2,即,模型的R2小于模型,說明回歸模型刻畫的擬合效果更好當(dāng)x16時,模型的

13、收益增量的預(yù)測值為21.314.421.3414.470.8(萬元),這個結(jié)果比模型的預(yù)測精度更高、更可靠19(本小題滿分12分)(2019哈爾濱三中模擬)如圖所示,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,AA1底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,BAD120,ABAA12A1B12.(1)若M為CD的中點,求證:AM平面AA1B1B;(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值解(1)證明:四邊形ABCD為菱形,BAD120,連接AC,則ACD為等邊三角形,又M為CD的中點,AMCD,由CDAB,AMAB,AA1底面ABCD,AM底面ABCD,AMAA1,又ABAA1A,AM平面AA1B1B.

14、(2)四邊形ABCD為菱形,BAD120,ABAA12A1B12,DM1,AM,AMDBAM90,又AA1底面ABCD,分別以AB,AM,AA1為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz,則A1(0,0,2),B(2,0,0),D(1,0),D1,(3,0,(2,0,2),設(shè)平面A1BD的一個法向量n(x,y,z),則有yxz,令x1,則n(1,1),直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值sin|cosn,|.20(本小題滿分12分)(2019南京市三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:1(ab0)過點,離心率為.A,B分別是橢圓C的上、下頂點,M是橢圓C上異于A,B的一點

15、(1)求橢圓C的方程;(2)若點P在直線xy20上,且3,求PMA的面積;(3)過點M作斜率為1的直線分別交橢圓C于另一點N,交y軸于點D,且D點在線段OA上(不包括端點O,A),直線NA與直線BM交于點P,求的值解(1)因為橢圓過點,離心率為,所以1,1e2,解得a22,b21,所以橢圓C的方程為y21.(2)由(1)知B(0,1),設(shè)M(x0,y0),P(x,y)由3,得(x,y1)3(x0,y01),則x3x0,y3y02.又因為P在直線xy20上,所以y0x0.因為M在橢圓C上,所以y1,將代入上式,得x.所以|x0|,從而|xP|,所以SPMASPABSMAB22.(3)解法一:由(

16、1)知,A(0,1),B(0,1)設(shè)D(0,m),0m1,M(x1,y1),N(x2,y2)因為MN的斜率為1,所以直線MN的方程為yxm,聯(lián)立方程組消去y,得3x24mx2m220,所以x1x2,x1x2.直線MB的方程為yx1,直線NA的方程為yx1,聯(lián)立解得yP.將y1x1m,y2x2m代入,得yP.所以(0,m)(xP,yP)myPm1.解法二:A(0,1),B(0,1)設(shè)M(x0,y0),則y1.因為MN的斜率為1,所以直線MN的方程為yxx0y0,則D(0,y0x0),聯(lián)立方程消去y,得3x24(x0y0)x2(x0y0)220,所以xNx0,所以xN,yN,所以直線NA的方程為y

17、x1x1,直線MB的方程為yx1,聯(lián)立解得yP.又因為y1,所以yP,所以(0,y0x0)(xP,yP)(y0x0)1.21(本小題滿分12分)(2019仙桃期末)已知函數(shù)f(x)x2axln x,其中e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a0時,求證:x1時,f(x)0;(2)當(dāng)a時,討論函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)解(1)證明:由f(x)xa(ln x1),易知f0,設(shè)g(x)f(x),則g(x),當(dāng)a0時,g(x)0,又fg0,0x時,g(x)時,g(x)0,即f(x)在上遞減,在上遞增,所以當(dāng)x1時,f(x)f(1)0得證(2)由(1)可得,當(dāng)a0時,f(x)當(dāng)且僅當(dāng)在x處取得極小值,無極大值,故此時

18、極值點個數(shù)為1;當(dāng)a0時,易知g(x)在(0,a)上遞減,在(a,)上遞增,所以g(x)ming(a)aln (a),又設(shè)h(a)aln (a),其中a0,則h(a)1ln (a)0,對a0恒成立,所以h(a)單調(diào)遞減,h(a)h0,所以()當(dāng)a時,g(x)0即f(x)在(0,)上單調(diào)遞增,故此時極值點個數(shù)為0;()當(dāng)aa0,g(x)在(a,)上遞增,又g0,所以當(dāng)ax時g(x)時,g(x)0,即f(x)總在x處取得極小值;又當(dāng)x0且x0時,g(x),所以存在唯一x0(0,a)使得g(x0)0,且當(dāng)0x0,當(dāng)x0xa時,g(x)0,則f(x)在xx0處取得極大值,故此時極值點個數(shù)為2,綜上,當(dāng)

19、a時,f(x)的極值點個數(shù)為0;當(dāng)a0)與曲線C1,C2分別交于A,B兩點,設(shè)定點M(2,0),求MAB的面積解(1)曲線C1的圓心為(2,0),半徑為2,把互化公式代入可得曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos.設(shè)Q(,),則P,則有4cos4sin.所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin.(2)M到射線的距離為d2sin,|AB|BA42(1),則S|AB|d3.23(本小題滿分10分)選修45:不等式選講(2019全國卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)當(dāng)a1時,求不等式f(x)0的解集;(2)若x(,1)時,f(x)0,求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時,f(x)|x1|x|x2|(x1)當(dāng)x1時,f(x)2(x1)20;當(dāng)x1時,f(x)0.所以,不等式f(x)0的解集為(,1)(2)因為f(a)0,所以a1.當(dāng)a1,x(,1)時,f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以,a的取值范圍是1,)16

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