（2019高考題 2019模擬題）2020高考數(shù)學(xué) 素養(yǎng)提升練（七）理（含解析）

素養(yǎng)提升練(七)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分滿分150分，考試時(shí)間120分鐘第卷(選擇題，共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1(2019·宣城二調(diào))復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的虛部是()A3i B6i C3 D6答案C解析復(fù)數(shù)23i.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)的虛部是3.故選C.2(2019·廣東汕頭模擬)已知集合A0,1,2，若AZB(Z是整數(shù)集合)，則集合B可以為()Ax|x2a，aA Bx|x2a，aACx|xa1，aN Dx|xa2，aN答案C解析由題意知，集合A0,1,2，可知x|x2a，aA0,2,4，此時(shí)AZB1，A不滿足題意；x|x2a，aA1,2,4，則AZB0，B不滿足題意；x|xa1，aN1,0,1,2，3，則AZB，C滿足題意；x|xa2，aN0,1,4,9,16，則AZB2，D不滿足題意故選C.3(2019·衡陽(yáng)聯(lián)考)比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分，分值高者為優(yōu))，繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述正確的是()A乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力B甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值C乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平D甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值答案C解析甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4，優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值3，故A錯(cuò)誤；甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以乙的直觀想象能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值，故B錯(cuò)誤；甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為×(434534)，乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為×(543543)4，因?yàn)?，故C正確；甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值，故D錯(cuò)誤故選C.4(2019·東北三校模擬)已知cos，則sin()A B. C. D答案B解析cos，sincoscos12cos2.故選B.5(2019·達(dá)州一診)如圖虛線網(wǎng)格的最小正方形邊長(zhǎng)為1，實(shí)線是某幾何體的三視圖，這個(gè)幾何體的體積為()A4 B2 C. D答案B解析根據(jù)圖中三視圖可知幾何體的直觀圖如圖所示，為圓柱的一半，可得幾何體的體積為×12××42.故選B.6(2019·全國(guó)卷)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是()Af(x)|cos2x| Bf(x)|sin2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|答案A解析作出函數(shù)f(x)|cos2x|的圖象，如圖由圖象可知f(x)|cos2x|的周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞增同理可得f(x)|sin2x|的周期為，在區(qū)間上單調(diào)遞減，f(x)cos|x|的周期為2.f(x)sin|x|不是周期函數(shù)，排除B，C，D.故選A.7(2019·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a7a62a5，若存在兩項(xiàng)am，an，使得am·an16a，則的最小值為()A. B. C. D.答案C解析設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為q，且q>0，由a7a62a5，得a6qa6，化簡(jiǎn)得q2q20，解得q2或q1(舍去)，因?yàn)閍man16a，所以(a1qm1)(a1qn1)16a，則qmn216，解得mn6，所以(mn)·，故選C.8(2019·安徽蕪湖二模)一元線性同余方程組問(wèn)題最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期(公元5世紀(jì))的數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問(wèn)題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問(wèn)物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù)設(shè)這個(gè)整數(shù)為a，當(dāng)a2,2019時(shí)，符合條件的a共有()A133個(gè) B134個(gè) C135個(gè) D136個(gè)答案C解析由題設(shè)a3m25n3，m，nN*，則3m5n1.當(dāng)m5k，n不存在；當(dāng)m5k1，n不存在；當(dāng)m5k2，n3k1，滿足題意；當(dāng)m5k3，n不存在；當(dāng)m5k4，n不存在；故2a15k82019，解得k，kZ，則k0,1,2，134，共135個(gè)故選C.9(2019·湖南百所重點(diǎn)中學(xué)診測(cè))若變量x，y滿足約束條件且a(6,3)，則z僅在點(diǎn)A處取得最大值的概率為()A. B. C. D.答案A解析z可以看作點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(a,0)的斜率，直線AB與x軸交點(diǎn)為(2,0)，當(dāng)a(2，1)時(shí)，z僅在點(diǎn)A處取得最大值，所以P.故選A.10(2019·肇慶二模)已知x1是f(x)x2(a3)x2a3ex的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1，) B(1，)C(，1) D(，1)答案D解析根據(jù)題意求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，根據(jù)x1是f(x)的極小值點(diǎn)，得出x<1時(shí)f(x)<0，且x>1時(shí)f(x)>0，由此可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍函數(shù)f(x)x2(a3)x2a3ex，則f(x)x2(a1)xaex，令f(x)0，得x2(a1)xa0，極值點(diǎn)是x1和xa，僅當(dāng)a<1時(shí)，增區(qū)間是(，a)和(1，)，減區(qū)間是(a,1)，符合題意故選D.11(2019·啟東中學(xué)模擬)若橢圓1和雙曲線1的共同焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1|·|PF2|的值為()A. B84 C3 D21答案D解析依據(jù)題意作出橢圓與雙曲線的圖象如下，由橢圓方程1可得a25，a15，由橢圓定義可得，|PF1|PF2|2a110，由雙曲線方程1可得a4，a22，由雙曲線定義可得，|PF1|PF2|2a24，聯(lián)立方程，解得，|PF1|7，|PF2|3，|PF1|·|PF2|3×721，故選D.12(2019·茂名一模)已知函數(shù)f(x)是定義域在R上的偶函數(shù)，且f(x1)f(x1)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)x3，則關(guān)于x的方程f(x)|cosx|在上所有實(shí)數(shù)解之和為()A1 B3 C6 D7答案D解析因?yàn)閒(x1)f(x1)，則f(x)f(x2)，所以f(x)的最小正周期為2，又由f(x1)f(x1)f(1x)得f(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱令g(x)|cosx|，則g(x)的圖象如圖所示，由圖象可得，yf(x)與g(x)|cosx|的圖象在上有7個(gè)交點(diǎn)，且實(shí)數(shù)解的和為2×317，故選D.第卷(非選擇題，共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13(2019·湖南八校聯(lián)考)二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)答案80解析由二項(xiàng)式5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得，Tr12rCxxr2rCx，令2，解得r3，即二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中的系數(shù)為23C80.14(2019·葫蘆島調(diào)研)廟會(huì)是我國(guó)古老的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)，又稱“廟市”或“節(jié)場(chǎng)”廟會(huì)大多在春節(jié)、元宵節(jié)等節(jié)日舉行廟會(huì)上有豐富多彩的文化娛樂(lè)活動(dòng)，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一顆金蛋，如果有獎(jiǎng)品，則“中獎(jiǎng)”)今年春節(jié)期間，某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約來(lái)到某廟會(huì)，每人均獲得砸一顆金蛋的機(jī)會(huì)游戲開(kāi)始前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)游戲中獎(jiǎng)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如下：甲說(shuō)：“我或乙能中獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“丁能中獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我或乙能中獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“甲不能中獎(jiǎng)”游戲結(jié)束后，這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)中獎(jiǎng)，且只有一位同學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的，則中獎(jiǎng)的同學(xué)是_答案甲解析由四人的預(yù)測(cè)可得下表：中獎(jiǎng)人預(yù)測(cè)結(jié)果甲乙丙丁甲×××乙×丙××丁××若甲中獎(jiǎng)，僅有甲預(yù)測(cè)正確，符合題意；若乙中獎(jiǎng)，甲、丙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意；若丙中獎(jiǎng)，丙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意；若丁中獎(jiǎng)，乙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意故只有當(dāng)甲中獎(jiǎng)時(shí)，僅有甲一人預(yù)測(cè)正確，故答案為甲15(2019·吉林一模)設(shè)函數(shù)f(x)若f(m)>1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案(，0)(e，)解析如圖所示，可得f(x)的圖象與y1的交點(diǎn)分別為(0,1)，(e,1)，f(m)>1，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，0)(e，)16(2019·全國(guó)卷)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若，·0，則C的離心率為_(kāi)答案2解析解法一：由，得A為F1B的中點(diǎn)又O為F1F2的中點(diǎn)，OABF2.又·0，F(xiàn)1BF290°.OF2OB，OBF2OF2B.又F1OABOF2，F(xiàn)1OAOF2B，BOF2OF2BOBF2，OBF2為等邊三角形如圖1所示，不妨設(shè)B為.點(diǎn)B在直線yx上，離心率e2.解法二：·0，F(xiàn)1BF290°.在RtF1BF2中，O為F1F2的中點(diǎn)，|OF2|OB|c.如圖2，作BHx軸于H，由l1為雙曲線的漸近線，可得，且|BH|2|OH|2|OB|2c2，|BH|b，|OH|a，B(a，b)，F(xiàn)2(c,0)又，A為F1B的中點(diǎn)OAF2B，c2a，離心率e2.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答(一)必考題：60分17(本小題滿分12分)(2019·湖南永州三模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ann(nN*)(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3a2，b7a3，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.解(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，a12a11，a11.當(dāng)n2時(shí)，Sn12an1(n1)，an2an2an11，an12(an11)，數(shù)列an1是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列(2)由(1)得，an12n，即an2n1，b33，b77，b12d3，b16d7，b1d1，bnn，Tn1.18(本小題滿分12分)(2019·汕頭一模)我市南澳縣是廣東唯一的海島縣，海區(qū)面積廣闊，發(fā)展太平洋牡蠣養(yǎng)殖業(yè)具有得天獨(dú)厚的優(yōu)勢(shì)，所產(chǎn)的“南澳牡蠣”是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，產(chǎn)量高、肉質(zhì)肥、營(yíng)養(yǎng)好，素有“海洋牛奶精品”的美譽(yù)根據(jù)養(yǎng)殖規(guī)模與以往的養(yǎng)殖經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)自某南澳牡蠣養(yǎng)殖基地的單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量(g)在正常環(huán)境下服從正態(tài)分布N(32,16)(1)購(gòu)買(mǎi)10只該基地的“南澳牡蠣”，會(huì)買(mǎi)到質(zhì)量小于20 g的牡蠣的可能性有多大？(2)2019年該基地考慮增加人工投入，現(xiàn)有以往的人工投入增量x(萬(wàn)人)與年收益增量y(萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如下：人工投入增量x(萬(wàn)人)234681013年收益增量y(萬(wàn)元)13223142505658該基地為了預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型：模型：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：4.1x11.8；模型：由散點(diǎn)圖的樣本點(diǎn)分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：yba的附近，對(duì)人工投入增量x做變換，令t，則yb·ta，且有2.5，38.9， (ti)(yi)81.0， (ti)23.8.(1)根據(jù)所給的統(tǒng)計(jì)量，求模型中y關(guān)于x的回歸方程(精確到0.1)；(2)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)R2，并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)人工投入增量為16人時(shí)的年收益增量回歸模型模型模型回歸方程4.1x11.8yba (yii)2182.479.2附：若隨機(jī)變量ZN(，2)，則P(3<Z<3)0.9974,0.9987100.9871；樣本(ti，yi)(i1,2，n)的最小二乘估計(jì)公式為，另：刻畫(huà)回歸效果的相關(guān)指數(shù)R21.解(1)由已知，單個(gè)“南澳牡蠣”質(zhì)量N(32,16)，則32，4，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，P(<20)1P(20<<44)1P(3<<3)(10.9974)0.0013，設(shè)購(gòu)買(mǎi)10只該基地的“南澳牡蠣”，其中質(zhì)量小于20 g的牡蠣為X只，故XB(10,0.0013)，故P(X1)1P(X0)1(10.0013)1010.98710.0129，這10只“南澳牡蠣”中，會(huì)買(mǎi)到質(zhì)量小于20 g的牡蠣的可能性僅為1.29%.(2)()由2.5，38.9， (ti)(yi)81.0， (ti)23.8，有21.3，且38.921.3×2.514.4，模型中y關(guān)于x的回歸方程為21.314.4.()由表格中的數(shù)據(jù)，有182.4>79.2，即>，模型的R2小于模型，說(shuō)明回歸模型刻畫(huà)的擬合效果更好當(dāng)x16時(shí)，模型的收益增量的預(yù)測(cè)值為21.3×14.421.3×414.470.8(萬(wàn)元)，這個(gè)結(jié)果比模型的預(yù)測(cè)精度更高、更可靠19(本小題滿分12分)(2019·哈爾濱三中模擬)如圖所示，在四棱臺(tái)ABCDA1B1C1D1中，AA1底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，BAD120°，ABAA12A1B12.(1)若M為CD的中點(diǎn)，求證：AM平面AA1B1B；(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值解(1)證明：四邊形ABCD為菱形，BAD120°，連接AC，則ACD為等邊三角形，又M為CD的中點(diǎn)，AMCD，由CDAB，AMAB，AA1底面ABCD，AM底面ABCD，AMAA1，又ABAA1A，AM平面AA1B1B.(2)四邊形ABCD為菱形，BAD120°，ABAA12A1B12，DM1，AM，AMDBAM90°，又AA1底面ABCD，分別以AB，AM，AA1為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(1，0)，D1，(3，0，(2,0，2)，設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則有yxz，令x1，則n(1，1)，直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值sin|cosn，|.20(本小題滿分12分)(2019·南京市三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：1(ab0)過(guò)點(diǎn)，離心率為.A，B分別是橢圓C的上、下頂點(diǎn)，M是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P在直線xy20上，且3，求PMA的面積；(3)過(guò)點(diǎn)M作斜率為1的直線分別交橢圓C于另一點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)D，且D點(diǎn)在線段OA上(不包括端點(diǎn)O，A)，直線NA與直線BM交于點(diǎn)P，求·的值解(1)因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，所以1，1e2，解得a22，b21，所以橢圓C的方程為y21.(2)由(1)知B(0，1)，設(shè)M(x0，y0)，P(x，y)由3，得(x，y1)3(x0，y01)，則x3x0，y3y02.又因?yàn)镻在直線xy20上，所以y0x0.因?yàn)镸在橢圓C上，所以y1，將代入上式，得x.所以|x0|，從而|xP|，所以SPMASPABSMAB×2××2×.(3)解法一：由(1)知，A(0,1)，B(0，1)設(shè)D(0，m)，0m1，M(x1，y1)，N(x2，y2)因?yàn)镸N的斜率為1，所以直線MN的方程為yxm，聯(lián)立方程組消去y，得3x24mx2m220，所以x1x2，x1x2.直線MB的方程為yx1，直線NA的方程為yx1，聯(lián)立解得yP.將y1x1m，y2x2m代入，得yP.所以·(0，m)·(xP，yP)myPm·1.解法二：A(0,1)，B(0，1)設(shè)M(x0，y0)，則y1.因?yàn)镸N的斜率為1，所以直線MN的方程為yxx0y0，則D(0，y0x0)，聯(lián)立方程消去y，得3x24(x0y0)x2(x0y0)220，所以xNx0，所以xN，yN，所以直線NA的方程為yx1x1，直線MB的方程為yx1，聯(lián)立解得yP.又因?yàn)閥1，所以yP，所以·(0，y0x0)·(xP，yP)(y0x0)·1.21(本小題滿分12分)(2019·仙桃期末)已知函數(shù)f(x)x2axln x，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)當(dāng)a0時(shí)，求證：x1時(shí)，f(x)>0；(2)當(dāng)a時(shí)，討論函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)證明：由f(x)xa(ln x1)，易知f0，設(shè)g(x)f(x)，則g(x)，當(dāng)a0時(shí)，g(x)>0，又fg0，0<x<時(shí)，g(x)<0；x>時(shí)，g(x)>0，即f(x)在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)f(1)>0得證(2)由(1)可得，當(dāng)a0時(shí)，f(x)當(dāng)且僅當(dāng)在x處取得極小值，無(wú)極大值，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)a<0時(shí)，易知g(x)在(0，a)上遞減，在(a，)上遞增，所以g(x)ming(a)aln (a)，又設(shè)h(a)aln (a)，其中a<0，則h(a)1ln (a)0，對(duì)a<0恒成立，所以h(a)單調(diào)遞減，h(a)h0，所以()當(dāng)a時(shí)，g(x)0即f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；()當(dāng)<a<0時(shí)，>a>0，g(x)在(a，)上遞增，又g0，所以當(dāng)ax<時(shí)g(x)<0，當(dāng)x>時(shí)，g(x)>0，即f(x)總在x處取得極小值；又當(dāng)x0且x>0時(shí)，g(x)，所以存在唯一x0(0，a)使得g(x0)0，且當(dāng)0<x<x0時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x0<x<a時(shí)，g(x)<0，則f(x)在xx0處取得極大值，故此時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，綜上，當(dāng)a時(shí)，f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)<a<0時(shí)，f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)a0時(shí)，f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.(二)選考題：10分請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22(本小題滿分10分)選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(2019·寶雞模擬)點(diǎn)P是曲線C1：(x2)2y24上的動(dòng)點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，以極點(diǎn)O為中心，將點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C2.(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)射線(>0)與曲線C1，C2分別交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)M(2,0)，求MAB的面積解(1)曲線C1的圓心為(2,0)，半徑為2，把互化公式代入可得曲線C1的極坐標(biāo)方程為4cos.設(shè)Q(，)，則P，則有4cos4sin.所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為4sin.(2)M到射線的距離為d2sin，|AB|BA42(1)，則S|AB|×d3.23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講(2019·全國(guó)卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x(，1)時(shí)，f(x)<0，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x|x2|(x1)當(dāng)x<1時(shí)，f(x)2(x1)2<0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0.所以，不等式f(x)<0的解集為(，1)(2)因?yàn)閒(a)0，所以a1.當(dāng)a1，x(，1)時(shí)，f(x)(ax)x(2x)·(xa)2(ax)(x1)<0.所以，a的取值范圍是1，)16