2022年完整word版,人教版九年級數(shù)學(xué)下冊反比例函數(shù)知識點(diǎn)歸納及練習(xí)

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1、1 反比例函數(shù)26.1 知識點(diǎn) 1 反比例函數(shù)的定義一般地,形如xky(k 為常數(shù),0k)的函數(shù)稱為反比例函數(shù),它可以從以下幾個方面來理解:x 是自變量,y 是 x 的反比例函數(shù);自變量x 的取值范圍是0 x的一切實(shí)數(shù),函數(shù)值的取值范圍是0y;比例系數(shù)0k是反比例函數(shù)定義的一個重要組成部分;反比例函數(shù)有三種表達(dá)式:xky(0k),1kxy(0k),kyx(定值)(0k);函數(shù)xky(0k)與ykx(0k)是等價的,所以當(dāng)y 是 x 的反比例函數(shù)時,x 也是 y 的反比例函數(shù)。(k 為常數(shù),0k)是反比例函數(shù)的一部分,當(dāng)k=0 時,xky,就不是反比例函數(shù)了,由于反比例函數(shù)xky(0k)中,只有

2、一個待定系數(shù),因此,只要一組對應(yīng)值,就可以求出k 的值,從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。26.2 知識點(diǎn) 2 用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式由于反比例函數(shù)xky(0k)中,只有一個待定系數(shù),因此,只要一組對應(yīng)值,就可以求出k 的值,從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式。26.3 知識點(diǎn) 3 反比例函數(shù)的圖像及畫法反比例函數(shù)的圖像是雙曲線,它有兩個分支,這兩個分支分別位于第一、第三象限或第二、第四象限,它們與原點(diǎn)對稱,由于反比例函數(shù)中自變量函數(shù)中自變量0 x,函數(shù)值0y,所以它的圖像與x 軸、y 軸都沒有交點(diǎn),即雙曲線的兩個分支無限接近坐標(biāo)軸,但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸。反比例的畫法分三個步驟:列表;描點(diǎn);連線。再

3、作反比例函數(shù)的圖像時應(yīng)注意以下幾點(diǎn):列表時選取的數(shù)值宜對稱選?。涣斜頃r選取的數(shù)值越多,畫的圖像越精確;連線時,必須根據(jù)自變量大小從左至右(或從右至左)用光滑的曲線連接,切忌畫成折線;畫圖像時,它的兩個分支應(yīng)全部畫出,但切忌將圖像與坐標(biāo)軸相交。(1)圖象的形狀:雙曲線越大,圖象的彎曲度越小,曲線越平直越小,圖象的彎曲度越大(2)圖象的位置和性質(zhì):與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn),稱兩條坐標(biāo)軸是雙曲線的漸近線當(dāng)時,圖象的兩支分別位于一、三象限;在每個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減小;精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁,共 7 頁2 當(dāng)時,圖象的兩支分別位于二、四象限;在每個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而增大(

4、3)對稱性:圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,則(,)在雙曲線的另一支上圖象關(guān)于直線對稱,即若(a,b)在雙曲線的一支上,則(,)和(,)在雙曲線的另一支上4 k 的幾何意義如圖 1,設(shè)點(diǎn) P(a,b)是雙曲線上任意一點(diǎn),作PAx 軸于 A 點(diǎn),PBy 軸于 B 點(diǎn),則矩形PBOA 的面積是(三角形PAO 和三角形PBO 的面積都是)如圖 2,由雙曲線的對稱性可知,P 關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)Q 也在雙曲線上,作QCPA 的延長線于C,則有三角形PQC 的面積為圖1 圖 2 5說明:(1)雙 曲 線 的 兩 個 分 支 是 斷 開 的,研 究 反 比 例 函 數(shù) 的 增 減 性 時,要

5、 將 兩 個分支分別討論,不能一概而論(2)直線與雙曲線的關(guān)系:當(dāng)時,兩圖象沒有交點(diǎn);當(dāng)時,兩圖象必有兩個交點(diǎn),且這兩個交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(3)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系26.4 知識點(diǎn) 4 反比例函數(shù)的性質(zhì)關(guān)于反比例函數(shù)的性質(zhì),主要研究它的圖像的位置及函數(shù)值的增減情況,如下表:反比例函數(shù)xky(0k)精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁,共 7 頁3 k的符號0k0k圖像性質(zhì)x的 取 值 范 圍 是0 x,y 的取值范圍是0y當(dāng)0k時,函數(shù)圖像的 兩 個 分 支 分 別 在 第一、第三象限,在每個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減小。x的 取 值 范 圍 是0 x,y 的取值范圍是0y當(dāng)

6、0k時,函數(shù)圖像的 兩 個 分 支 分 別 在 第二、第四象限,在每個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而增大。注意:描述函數(shù)值的增減情況時,必須指出“在每個象限內(nèi)”否則,籠統(tǒng)地說,當(dāng)0k時,y 隨 x 的增大而減小“,就會與事實(shí)不符的矛盾。反比例函數(shù)圖像的位置和函數(shù)的增減性,是有反比例函數(shù)系數(shù)k 的符號決定的,反過來,由反比例函數(shù)圖像(雙曲線)的位置和函數(shù)的增減性,也可以推斷出k 的符號。如xky在第一、第三象限,則可知0k。反比例函數(shù)xky(0k)中比例系數(shù)k 的絕對值k的幾何意義。如圖所示,過雙曲線上任一點(diǎn)P(x,y)分別作x 軸、y 軸的垂線,E、F 分別為垂足,則OEPFSPEPFyxxy矩

7、形k反比例函數(shù)xky(0k)中,k越大,雙曲線xky越遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn);k越小,雙曲線xky越靠近坐標(biāo)原點(diǎn)。雙曲線是中心對稱圖形,對稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn);雙曲線又是軸對稱圖形,對稱軸是直線y=x 和直線 y=x。練習(xí)一、選擇題(每小題 3 分,共 30 分)1、下列函數(shù)中y 是 x 的反比例函數(shù)的是()A 21xyB xy=8 C 52xyD 53xy2、反比例函數(shù) yxn5圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3),則 n 的值是()A、2B、1C、0D、1 3、函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能是()。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁,共 7 頁4 4、若點(diǎn) A(x1,1)、B(x2,2)、C(x3,3)在

8、雙曲線上,則()A、x1x2x3 B、x1x3x2 C、x3x2x1 D、x3x1x25、如圖 4,A、C是函數(shù) y=的圖象上任意兩點(diǎn),過點(diǎn)A作 y 軸的垂線,垂足為 B,過點(diǎn) C作 y 軸的垂線,垂足為 D,記 RtAOB 的面積為 S1,RtCOD 的面積為 S2,則()圖 4 A、S1S2;B、S1S2;C、S1=S2;D、S1和 S2的大小關(guān)系不能確定6、在反比例函數(shù)1kyx的圖象的每一條曲線上,yx都隨的增大而增大,則 k 的值可以是()A1B0 C1 D2 7、如圖 2,正比例函數(shù) y=x 與反比例 y=的圖象相交于 A、C 兩點(diǎn),ABx 軸于 B,CDx 軸于 D,則四邊形 AB

9、CD 的面積為()A、1 B、C、2 D、8、已知反比例函數(shù)yxm21的圖象上有 A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),當(dāng) x1x20 時,y1y2,則m 的取值范圍是()A、m0B、m0C、m21D、m219、一次函數(shù) ykxk,y 隨 x 的增大而減小,那么反比例函數(shù)yxk滿足()A、當(dāng) x0 時,y0B、在每個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而減小C、圖象分布在第一、三象限D(zhuǎn)、圖象分布在第二、四象限10、若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,-a),則 a 的值為()A、2;B、2;C、-2;D、4 二、填空題(每小題 4 分,共 40 分)11、已知正比例函數(shù)y=k1x(k10)與反比例函數(shù)y=2

10、kx(k20)的圖象有一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,-1),則它的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)是A B C yx O D xy4-精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁,共 7 頁5 12、函數(shù)22)2(axay是反比例函數(shù),則a的值是13、正比例函數(shù)5yx的圖象與反比例函數(shù)(0)kykx的圖象相交于點(diǎn)A(1,a),則 k14、反比例函數(shù) y(m2)xm210的圖象分布在第二、四象限內(nèi),則m 的值為15、在反比例函數(shù)xky1的圖象上有兩點(diǎn)11()xy,和22()xy,若xx120時,yy12,則k的取值范圍是16、如圖,點(diǎn) M 是反比例函數(shù)yxa(a0)的圖象上一點(diǎn),過M 點(diǎn)作 x 軸、y 軸的平行線,若S陰

11、影5,則此反比例函數(shù)解析式為軸、y 軸作17、如圖,點(diǎn) A、B 是雙曲線3yx上的點(diǎn),分別經(jīng)過 A、B 兩點(diǎn)向x垂線段,若1S陰影,則12SS18、點(diǎn) P 在反比例函數(shù)1yx(x 0)的圖象上,且橫坐標(biāo)為2.若將點(diǎn) P 先向右平移兩個單位,再向上平移一個單位后所得的像為點(diǎn)P.則在第一象限內(nèi),經(jīng)過點(diǎn) P 的反比例函數(shù)圖象的解析式是_ 19.如圖,直線 y kx(k0)與雙曲線xy4交于 A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則 2x1y27x2y1_ 20、如圖 5,A、B 是函數(shù)2yx的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對稱的任意兩點(diǎn),BCx軸,AC y 軸,則 ABC 的面積 S=_ 三、解答題(共 50 分

12、)21、(8 分)已知21yyy若1y與2x成正比例關(guān)系,2y與 x 成反比例關(guān)系,且當(dāng) X=-1 時,3 由1 時,5 時,求與的函數(shù)關(guān)系式?O B xyC A 圖 5 x yA B O 1S2S17 題圖精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁,共 7 頁6 22、(10 分)如圖所示:已知直線x21與雙曲線)0(kxk交于兩點(diǎn),且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4 求的值 若雙曲線)0(kxk上的一點(diǎn) C的縱坐標(biāo)為 8,求 AOC 的面積23、(8 分)在反比例函數(shù)xky的圖像的每一條曲線上,y 都隨x的增大而減小在曲線上取一點(diǎn)A,分別向x軸、y 軸作垂線段,垂足分別為B、C,坐標(biāo)原點(diǎn)為 O,若四邊形 AB

13、OC 面積為 6,求 k 的值24、(24 分)如圖,已知反比例函數(shù) yxk的圖象與一次函數(shù) yaxb 的圖象交于 M(2,m)和 N(1,4)兩點(diǎn)(1)求這兩個函數(shù)的解析式;(2)求MON 的面積;(3)請判斷點(diǎn) P(4,1)是否在這個反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由(4)根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x 的取值范圍x y A B O 精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁,共 7 頁7 參考答案1、B 2、D 3、B 4、C 5、C 6、D 7、C 8、D 9、D 10、B 11、(2,1)12、-1,13、-5 14、-3,15、K-1 16、y=x5,17、4 18、y=x6,19、4 20、4,21、y=-x2-x422、k=8,AOC 的面積=1523、k=6,24、(1)y=x4,y=2x-2(2)=3,(3)在,(4)、x-1 或 0 x 2 精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁,共 7 頁

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