中考數(shù)學(xué)自主招生考試試卷(2)(含解析)

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1、“講忠誠(chéng)、嚴(yán)紀(jì)律、立政德”三者相互貫通、相互聯(lián)系。忠誠(chéng)是共產(chǎn)黨人的底色,紀(jì)律是不能觸碰的底線,政德是必須修煉的素養(yǎng)。永葆底色、不碰底線2015年湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(2)一、選擇題(本大題共8題,每小題4分,共32分)1計(jì)算(a2)3(a2)2的結(jié)果是()AaBa2Ca3Da42向如圖所示的正三角形區(qū)域扔沙包(區(qū)域中每一個(gè)小正三角形除顏色外完全相同),假設(shè)沙包擊中每一個(gè)小三角形是等可能的,扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于()ABCD3已知m、n是方程x2+2x+1=0的兩根,則代數(shù)式的值為()A9B3C3D54在如圖所示的三個(gè)函數(shù)圖象中,有兩個(gè)函數(shù)圖象能近似地刻畫(huà)如下a,b

2、兩個(gè)情境:情境a:小芳離開(kāi)家不久,發(fā)現(xiàn)把作業(yè)本忘在家里,于是返回了家里找到了作業(yè)本再去學(xué)校;情境b:小芳從家出發(fā),走了一段路程后,為了趕時(shí)間,以更快的速度前進(jìn)則情境a,b所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別是()A、B、C、D、5如果,那么等于()A1B2C3D46若關(guān)于x的方程無(wú)解,則a的值為()A或2B或1C或2或1D2或17已知,那么a,b,c的大小關(guān)系是()AabcBbacCcbaDcab8已知,在面積為7的梯形ABCD中,ADBC,AD=3,BC=4,P為邊AD上不與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn),Q是邊BC上的任意一點(diǎn),連結(jié)AQ、DQ,過(guò)P作PEDQ交AQ于E,作PFAQ交DQ于F則PEF面積的最大值是()A

3、BCD二、填空題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)9計(jì)算: =10規(guī)定用符號(hào)m表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分,例如:=0,3.14=3按此規(guī)定的值為11定義:在直角三角形ABC中,銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切,記作ctan,即ctan=,根據(jù)上述角的余切概念,則ctan30=12如圖,一次函數(shù)y1=ax+b(a0)與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4)、B(4,1)兩點(diǎn),若使y1y2,則x的取值范圍是13已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1,2,3,若m,n為整數(shù),則代數(shù)式的值是14若一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)3x1時(shí),對(duì)應(yīng)的y值為1y9,則一次函數(shù)的解析式為15如圖,平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn),它

4、們的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)若在此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)點(diǎn)A,使得這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是軸對(duì)稱圖形,并且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)仍是整數(shù),則移動(dòng)后點(diǎn)A的坐標(biāo)為16在正方形ABCD中,N是DC的中點(diǎn),M是AD上異于D的點(diǎn),且NMB=MBC,則tanABM=三、解答題(本大題共4道題,共48分)17某實(shí)驗(yàn)學(xué)校為開(kāi)展研究性學(xué)習(xí),準(zhǔn)備購(gòu)買一定數(shù)量的兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌,如果購(gòu)買3張兩人學(xué)習(xí)桌,1張三人學(xué)習(xí)桌需220元;如果購(gòu)買2張兩人學(xué)習(xí)桌,3張三人學(xué)習(xí)桌需310元(1)求兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的單價(jià);(2)學(xué)校欲投入資金不超過(guò)6000元,購(gòu)買兩種學(xué)習(xí)桌共98張,以至少滿足248名學(xué)生的需求,設(shè)購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌x張,購(gòu)買兩

5、人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的總費(fèi)用為W 元,求出W與x的函數(shù)關(guān)系式;求出所有的購(gòu)買方案18設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為a,b對(duì)于任何一個(gè)二次函數(shù),它在給定的閉區(qū)間上都有最小值(1)函數(shù)y=x2+4x2在區(qū)間0,5上的最小值是(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值(3)求函數(shù)y=x24x4在區(qū)間t2,t1(t為任意實(shí)數(shù))上的最小值ymin的解析式19如圖,P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn),PA、PB、PC的長(zhǎng)為正整數(shù),且PA2+PB2=PC2,設(shè)PA=m,n為大于5的實(shí)數(shù),滿m2n+30m+9n5m2+6mn+45,求ABC的面積20已知:如圖,在直角梯形

6、ABCD中,ADBC,B=90,AD=2,BC=6,AB=3E為BC邊上一點(diǎn),以BE為邊作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)(1)當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí),求BE的長(zhǎng);(2)將(1)問(wèn)中的正方形BEFG沿BC向右平移,記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為t,正方形BEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M,連接BD,BM,DM,是否存在這樣的t,使BDM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在(2)問(wèn)的平移過(guò)程中,設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量

7、t的取值范圍2015年湖南省長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)高中自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(2)參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共8題,每小題4分,共32分)1計(jì)算(a2)3(a2)2的結(jié)果是()AaBa2Ca3Da4【考點(diǎn)】整式的除法【分析】根據(jù)冪的乘方首先進(jìn)行化簡(jiǎn),再利用同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算法則計(jì)算后直接選取答案【解答】解:(a2)3(a2)2=a6a4=a2故選:B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的除法,熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵2向如圖所示的正三角形區(qū)域扔沙包(區(qū)域中每一個(gè)小正三角形除顏色外完全相同),假設(shè)沙包擊中每一個(gè)小三角形是等可能的,扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于()ABCD【考點(diǎn)】幾何概率

8、【分析】求出陰影部分的面積與三角形的面積的比值即可解答【解答】解:因?yàn)殛幱安糠值拿娣e與三角形的面積的比值是=,所以扔沙包1次擊中陰影區(qū)域的概率等于故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何概率的求法:首先根據(jù)題意將代數(shù)關(guān)系用面積表示出來(lái),一般用陰影區(qū)域表示所求事件(A);然后計(jì)算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例,這個(gè)比例即事件(A)發(fā)生的概率3已知m、n是方程x2+2x+1=0的兩根,則代數(shù)式的值為()A9B3C3D5【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系;二次根式的化簡(jiǎn)求值【專題】整體思想【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=2,mn=1,再變形得,然后把m+n=2,mn=1整體代

9、入計(jì)算即可【解答】解:m、n是方程x2+2x+1=0的兩根,m+n=2,mn=1,=3故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根與系數(shù)的關(guān)系:若方程兩根分別為x1,x2,則x1+x2=,x1x2=也考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值4在如圖所示的三個(gè)函數(shù)圖象中,有兩個(gè)函數(shù)圖象能近似地刻畫(huà)如下a,b兩個(gè)情境:情境a:小芳離開(kāi)家不久,發(fā)現(xiàn)把作業(yè)本忘在家里,于是返回了家里找到了作業(yè)本再去學(xué)校;情境b:小芳從家出發(fā),走了一段路程后,為了趕時(shí)間,以更快的速度前進(jìn)則情境a,b所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別是()A、B、C、D、【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【分析】根據(jù)圖象,一段一段的分析,再一個(gè)一個(gè)的排除,即可

10、得出答案;【解答】解:情境a:小芳離開(kāi)家不久,即離家一段路程,此時(shí)都符合,發(fā)現(xiàn)把作業(yè)本忘在家里,于是返回了家里找到了作業(yè)本,即又返回家,離家的距離是0,此時(shí)都符合,又去學(xué)校,即離家越來(lái)越遠(yuǎn),此時(shí)只有返回,只有符合情境a;情境b:小芳從家出發(fā),走了一段路程后,為了趕時(shí)間,以更快的速度前進(jìn),即離家越來(lái)越遠(yuǎn),且沒(méi)有停留,只有符合,故選D【點(diǎn)評(píng)】此題考查函數(shù)圖象問(wèn)題,主要考查學(xué)生的觀察圖象的能力,同時(shí)也考查了學(xué)生的敘述能力,用了數(shù)形結(jié)合思想,題型比較好,但是一道比較容易出錯(cuò)的題目5如果,那么等于()A1B2C3D4【考點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值【分析】所求分式涉及字母a、c,故要消除b,根據(jù)兩個(gè)已知等式中b的

11、倒數(shù)關(guān)系消除b,再把所得等式變形即可【解答】解:由已知得=1a,b=1,兩式相乘,得(1a)(1)=1,展開(kāi),得1a+=1去分母,得ac+2=2a兩邊同除以a,得c+=2故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式等式的變形,消元法的數(shù)學(xué)思想,需要靈活運(yùn)用這種變形方法6若關(guān)于x的方程無(wú)解,則a的值為()A或2B或1C或2或1D2或1【考點(diǎn)】分式方程的解【分析】先去分母得到關(guān)于x的整式方程,然后根據(jù)分式方程無(wú)解得到關(guān)于a的方程,從而求得a的值【解答】解:去分母得:x2+a(x1)=2a+2整理得:(a+1)x=3a+4當(dāng)a+1=0時(shí),解得:a=1,此時(shí)分式方程無(wú)解;當(dāng)a+10時(shí),x=當(dāng)x=1時(shí), =1解得:a=

12、,此時(shí)分式方程無(wú)解;當(dāng)x=2時(shí), =2,解得:a=2,此時(shí)分式方程無(wú)解故選:C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是分式方程的解,掌握分式方程無(wú)解的條件是解題的關(guān)鍵7已知,那么a,b,c的大小關(guān)系是()AabcBbacCcbaDcab【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較【分析】利用作差法比較a和b、b和c、a和c的大小,再比較a、b、c三者的大小【解答】解:ab=1(2)=(1+)2.4492.4140,ab;ac=1(2)=+12.4142.4490,ac;于是bac,故選B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)的大小的比較,其中比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,可以采用作差法、取近似值法、比較n次方的方法等實(shí)數(shù)大小比較法則:(1)正數(shù)大于0,0

13、大于負(fù)數(shù),正數(shù)大于負(fù)數(shù);(2)兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小8已知,在面積為7的梯形ABCD中,ADBC,AD=3,BC=4,P為邊AD上不與A、D重合的一動(dòng)點(diǎn),Q是邊BC上的任意一點(diǎn),連結(jié)AQ、DQ,過(guò)P作PEDQ交AQ于E,作PFAQ交DQ于F則PEF面積的最大值是()ABCD【考點(diǎn)】面積及等積變換【分析】設(shè)PD=x,SPEF=y根據(jù)平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定及相似三角形的判定,證明PEFQFE、AEPAQD、PDFADQ,相似三角形的面積比是相似比的平方,再由三角形AQD與梯形ABCD的面積公式求得梯形的高,代入SPEF=(SAQDSDPFSAPE)2,得出關(guān)于x的二次函數(shù)方程,根據(jù)頂點(diǎn)

14、坐標(biāo)公式,求得則PEF面積最大值【解答】解:設(shè)PD=x,SPEF=y,SAQD=z,梯形ABCD的高為h,AD=3,BC=4,梯形ABCD面積為7,解得:,PEDQ,PEF=QFE,EPF=PFD,又PFAQ,PFD=EQF,EPF=EQF,EF=FE,PEFQFE(AAS),PEDQ,AEPAQD,同理,DPFDAQ,=()2, =()2,SAQD=3,SDPF=x2,SAPE=(3x)2,SPEF=(SAQDSDPFSAPE)2,y=3x2(3x)2=x2+x,y最大值=,即y最大值=PEF面積最大值是,故選:D【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了二次函數(shù)的最值、三角形的面積、梯形的面積以及相似三角形的

15、判定與性質(zhì),熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及用含x的代數(shù)式表示出三角形的面積是解題的關(guān)鍵二、填空題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)9計(jì)算: =22【考點(diǎn)】二次根式的混合運(yùn)算【專題】計(jì)算題【分析】先利用二次根式的除法法則和分母有理化計(jì)算,然后化簡(jiǎn)后合并即可【解答】解:原式=22(+1)=422=22故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的計(jì)算:先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式,再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算,然后合并同類二次根式在二次根式的混合運(yùn)算中,如能結(jié)合題目特點(diǎn),靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑,往往能事半功倍10規(guī)定用符號(hào)m表示一個(gè)實(shí)數(shù)m的整數(shù)部分,例如:=0,3.14=3按此規(guī)定

16、的值為3【考點(diǎn)】估算無(wú)理數(shù)的大小【分析】先據(jù)算出的大小,然后求得7的范圍,從而可求得的值【解答】解:91316,334473故的值為3故答案為:3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是無(wú)算無(wú)理數(shù)的大小,估算出的范圍是解題的關(guān)鍵11定義:在直角三角形ABC中,銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切,記作ctan,即ctan=,根據(jù)上述角的余切概念,則ctan30=【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義【專題】新定義【分析】根據(jù)在直角三角形ABC中,銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切,可得答案【解答】解:ctan30=,故答案為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義,在直角三角形ABC中,銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角的余切12如圖,

17、一次函數(shù)y1=ax+b(a0)與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4)、B(4,1)兩點(diǎn),若使y1y2,則x的取值范圍是x0或1x4【考點(diǎn)】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題【專題】壓軸題;數(shù)形結(jié)合【分析】根據(jù)圖形,找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍即可【解答】解:根據(jù)圖形,當(dāng)x0或1x4時(shí),一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方,y1y2故答案為:x0或1x4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,要注意y軸左邊的部分,一次函數(shù)圖象在第二象限,反比例函數(shù)圖象在第三象限,這也是本題容易忽視而導(dǎo)致出錯(cuò)的地方13已知關(guān)于x的不等式組的整數(shù)解僅為1,2,3,若m,n為整數(shù),則代數(shù)式的值是【考

18、點(diǎn)】分式的化簡(jiǎn)求值;一元一次不等式組的整數(shù)解【專題】計(jì)算題;分式【分析】表示出不等式組的解集,根據(jù)不等式組的整數(shù)解確定出m與n的值,原式第二項(xiàng)利用除法法則變形,約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算得到最簡(jiǎn)結(jié)果,把m與n的值代入計(jì)算即可求出值【解答】解:不等式整理得:,即nxm,由不等式組的整數(shù)解僅有1,2,3,得到m=4,n=1,則原式=1=1=,當(dāng)m=4,n=1時(shí),原式=故答案為:【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值,以及一元一次不等式的整數(shù)解,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵14若一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)3x1時(shí),對(duì)應(yīng)的y值為1y9,則一次函數(shù)的解析式為y=2x+7或y=2x+3【考點(diǎn)】

19、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式【分析】根據(jù)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù),因?yàn)橹篮瘮?shù)定義域?yàn)?x1,值域?yàn)?y9,進(jìn)行分類討論k大于0還是小于0,列出二元一次方程組求出k和b的值【解答】解:()當(dāng)k0時(shí),解得:,此時(shí)y=2x+7,()當(dāng)k0時(shí),解得:,此時(shí)y=2x+3,綜上,所求的函數(shù)解析式為:y=2x+7或y=2x+3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的知識(shí),解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì):在定義域上是單調(diào)函數(shù),本題難度不大15如圖,平面直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn),它們的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)若在此平面直角坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)點(diǎn)A,使得這四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是軸對(duì)稱圖形,并且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)仍是整數(shù),則移動(dòng)后

20、點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1),(2,2),(0,2),(2,3)【考點(diǎn)】利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案【專題】壓軸題【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義:如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形,這條直線叫做對(duì)稱軸,把A進(jìn)行移動(dòng)可得到點(diǎn)的坐標(biāo),注意考慮全面【解答】解:如圖所示:A1(1,1),A2(2,2),A3(0,2),A4(2,3),(3,2)(此時(shí)不是四邊形,舍去),故答案為:(1,1),(2,2),(0,2),(2,3)【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了利用軸對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案,關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的定義,根據(jù)3個(gè)定點(diǎn)所在位置,找出A的位置16在正方形ABCD中,N是DC的中點(diǎn),M是AD上

21、異于D的點(diǎn),且NMB=MBC,則tanABM=【考點(diǎn)】解直角三角形;正方形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì)【專題】計(jì)算題【分析】根據(jù)NMB=MBC,延長(zhǎng)MN,BC相交于T,得到等腰TBM,連接點(diǎn)T和MB的中點(diǎn),得到相似三角形,然后由相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,求出ABM的正切【解答】解:如圖:延長(zhǎng)MN交BC的延長(zhǎng)線于T,設(shè)MB的中點(diǎn)為O,連TO,則OTBM,ABM+MBT=90,OTB+MBT=90,ABM=OTB,則BAMTOB,=,即=,即MB2=2AMBT 令DN=1,CT=MD=K,則:AM=2K,BM=,BT=2+K,代入中得:4+(2K)2=2(2K)(2+K),解方程得:K1=0(舍

22、去),K2=AM=2=tanABM=故答案是:【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形,運(yùn)用正方形的性質(zhì),根據(jù)題目中角的關(guān)系,判斷兩個(gè)三角形相似,然后用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,求出直角三角形中邊的長(zhǎng)度,再用正切的定義求出角的正切值三、解答題(本大題共4道題,共48分)17某實(shí)驗(yàn)學(xué)校為開(kāi)展研究性學(xué)習(xí),準(zhǔn)備購(gòu)買一定數(shù)量的兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌,如果購(gòu)買3張兩人學(xué)習(xí)桌,1張三人學(xué)習(xí)桌需220元;如果購(gòu)買2張兩人學(xué)習(xí)桌,3張三人學(xué)習(xí)桌需310元(1)求兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的單價(jià);(2)學(xué)校欲投入資金不超過(guò)6000元,購(gòu)買兩種學(xué)習(xí)桌共98張,以至少滿足248名學(xué)生的需求,設(shè)購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌x張,購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌

23、和三人學(xué)習(xí)桌的總費(fèi)用為W 元,求出W與x的函數(shù)關(guān)系式;求出所有的購(gòu)買方案【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用;二元一次方程組的應(yīng)用;一元一次不等式組的應(yīng)用【分析】(1)設(shè)每張兩人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為a元和每張三人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為b元,根據(jù)如果購(gòu)買3張兩人學(xué)習(xí)桌,1張三人學(xué)習(xí)桌需220元;如果購(gòu)買2張兩人學(xué)習(xí)桌,3張三人學(xué)習(xí)桌需310元分別得出等式方程,組成方程組求出即可;(2)根據(jù)購(gòu)買兩種學(xué)習(xí)桌共98張,設(shè)購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌x張,則購(gòu)買3人學(xué)習(xí)桌(98x)張,根據(jù)以至少滿足248名學(xué)生的需求,以及學(xué)校欲投入資金不超過(guò)6000元得出不等式,進(jìn)而求出即可【解答】解:(1)設(shè)每張兩人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為a元和每張三人學(xué)習(xí)桌單價(jià)為b元,根

24、據(jù)題意得出:,解得:,答:兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的單價(jià)分別為50元,70元;(2)設(shè)購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌x張,則購(gòu)買3人學(xué)習(xí)桌(98x)張,購(gòu)買兩人學(xué)習(xí)桌和三人學(xué)習(xí)桌的總費(fèi)用為W 元,則W與x的函數(shù)關(guān)系式為:W=50 x+70(98x)=20 x+6860;根據(jù)題意得出:,由50 x+70(98x)6000,解得:x43,由2x+3(98x)248,解得:x46,故不等式組的解集為:43x46,故所有購(gòu)買方案為:當(dāng)購(gòu)買兩人桌43張時(shí),購(gòu)買三人桌55張,當(dāng)購(gòu)買兩人桌44張時(shí),購(gòu)買三人桌54張,當(dāng)購(gòu)買兩人桌45張時(shí),購(gòu)買三人桌53張,當(dāng)購(gòu)買兩人桌46張時(shí),購(gòu)買三人桌52張【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方

25、程組的應(yīng)用以及不等式組的應(yīng)用,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意,找到關(guān)鍵描述語(yǔ),進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系18設(shè)a,b是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù),我們規(guī)定:滿足不等式axb的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間,表示為a,b對(duì)于任何一個(gè)二次函數(shù),它在給定的閉區(qū)間上都有最小值(1)函數(shù)y=x2+4x2在區(qū)間0,5上的最小值是7(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值(3)求函數(shù)y=x24x4在區(qū)間t2,t1(t為任意實(shí)數(shù))上的最小值ymin的解析式【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值【專題】新定義【分析】(1)先求得拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo),然后畫(huà)出拋物線的大致圖象,根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng)x=5時(shí),函數(shù)值最??;(2)先畫(huà)出函數(shù)的大致圖

26、象,然后根據(jù)函數(shù)圖象可知當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)值最?。唬?)先求得拋物線的對(duì)稱軸,然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸在區(qū)間t2,t1的左側(cè)、區(qū)間內(nèi)、區(qū)間右側(cè)分類討論即可【解答】解:(1)y=x2+4x2其對(duì)稱軸為直線為x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),函數(shù)圖象開(kāi)口向下函數(shù)圖大致象如圖1所示:當(dāng)x=5時(shí),函數(shù)有最小值,最小值為7故答案為:7(2),其對(duì)稱軸為直線,頂點(diǎn)坐標(biāo),且圖象開(kāi)口向上其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi),如圖2所示當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)y有最小值(3)將二次函數(shù)配方得:y=x24x4=(x2)28其對(duì)稱軸為直線:x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8),圖象開(kāi)口向上若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間t2,t1左側(cè),則2t2,即t4當(dāng)x=t2時(shí),

27、函數(shù)取得最小值:若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間t2,t1上,則t22t1,即3t4當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)取得最小值:ymin=8若頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間t2,t1右側(cè),則t12,即t3當(dāng)x=t1時(shí),函數(shù)取得最小值:綜上討論,得【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的最值,根據(jù)函數(shù)解析式畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后根據(jù)對(duì)稱軸是否在區(qū)間內(nèi)進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵19(10分)(2015長(zhǎng)沙校級(jí)自主招生)如圖,P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn),PA、PB、PC的長(zhǎng)為正整數(shù),且PA2+PB2=PC2,設(shè)PA=m,n為大于5的實(shí)數(shù),滿m2n+30m+9n5m2+6mn+45,求ABC的面積【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理;因式分解提公因式法;解一元二次方程公式

28、法;特殊角的三角函數(shù)值【專題】計(jì)算題【分析】由已知求出PA、PB、PC的長(zhǎng)度,設(shè)PAB=Q,等邊三角形的邊長(zhǎng)是a,PAC=60Q,根據(jù)銳角三角函數(shù)(余弦定理)求出cosQ和cos(60Q)的值,即可求出a的長(zhǎng)度,過(guò)A作ADBC于D,求出AD的長(zhǎng)度,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案【解答】解:m2n+30m+9n5m2+6mn+45,分解因式得:(n5)(m3)20,n為大于5的實(shí)數(shù),m3=0,即:PA=m=3,PA2+PB2=PC2,PA、PB、PC的長(zhǎng)為正整數(shù),PB=4,PC=5,設(shè)PAB=Q,等邊三角形的邊長(zhǎng)是a,則PAC=60Q,由余弦定理得:cosQ=,(1)cos(60Q)=,(2)

29、而cos(60Q)=cos60cosQsin60sinQ,=,(3)將(1)代入(3)得:=,解得:sinQ=,(sinQ)2+(cosQ)2=1,+=1,令a2=t,+=1,解得:t1=25+12,t2=2512,由(1)知a0,cosQ0,即0,a27,t2=25127,不合題意舍去,t=25+12,即a2=2512,過(guò)A作ADBC于D,等邊ABC,BD=CD=a,由勾股定理得:AD=,SABC=a=9+答:ABC的面積是9+【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理的逆定理,用公式法解一元二次方程,用提取公因式法分解因式,余弦定理等知識(shí)點(diǎn),運(yùn)用余弦定理求等邊三角形的邊長(zhǎng)是解此題的關(guān)鍵題型較好但難度較

30、大20已知:如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,B=90,AD=2,BC=6,AB=3E為BC邊上一點(diǎn),以BE為邊作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè)(1)當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在對(duì)角線AC上時(shí),求BE的長(zhǎng);(2)將(1)問(wèn)中的正方形BEFG沿BC向右平移,記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)停止平移設(shè)平移的距離為t,正方形BEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M,連接BD,BM,DM,是否存在這樣的t,使BDM是直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)在(2)問(wèn)的平移過(guò)程中,設(shè)正方形BEFG與ADC重疊部分的面積為S,請(qǐng)直接寫(xiě)出S與

31、t之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;正方形的性質(zhì);直角梯形【專題】代數(shù)幾何綜合題;壓軸題【分析】(1)首先設(shè)正方形BEFG的邊長(zhǎng)為x,易得AGFABC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可求得BE的長(zhǎng);(2)首先利用MECABC與勾股定理,求得BM,DM與BD的平方,然后分別從若DBM=90,則DM2=BM2+BD2,若DBM=90,則DM2=BM2+BD2,若BDM=90,則BM2=BD2+DM2去分析,即可得到方程,解方程即可求得答案;(3)分別從當(dāng)0t時(shí),當(dāng)t2時(shí),當(dāng)2t時(shí),當(dāng)t4時(shí)去分析求解即可求得答案【解答】解:(1)如圖,設(shè)正方形BEFG

32、的邊長(zhǎng)為x,則BE=FG=BG=x,AB=3,BC=6,AG=ABBG=3x,GFBE,AGFABC,即,解得:x=2,即BE=2;(2)存在滿足條件的t,理由:如圖,過(guò)點(diǎn)D作DHBC于H,則BH=AD=2,DH=AB=3,由題意得:BB=HE=t,HB=|t2|,EC=4t,EFAB,MECABC,即,ME=2t,在RtBME中,BM2=ME2+BE2=22+(2t)2=t22t+8,在RtDHB中,BD2=DH2+BH2=32+(t2)2=t24t+13,過(guò)點(diǎn)M作MNDH于N,則MN=HE=t,NH=ME=2t,DN=DHNH=3(2t)=t+1,在RtDMN中,DM2=DN2+MN2=t

33、2+t+1,()若DBM=90,則DM2=BM2+BD2,即t2+t+1=(t22t+8)+(t24t+13),解得:t=,()若BMD=90,則BD2=BM2+DM2,即t24t+13=(t22t+8)+(t2+t+1),解得:t1=3+,t2=3(舍去),t=3+;()若BDM=90,則BM2=BD2+DM2,即: t22t+8=(t24t+13)+(t2+t+1),此方程無(wú)解,綜上所述,當(dāng)t=或3+時(shí),BDM是直角三角形;(3)如圖,當(dāng)F在CD上時(shí),EF:DH=CE:CH,即2:3=CE:4,CE=,t=BB=BCBEEC=62=,ME=2t,F(xiàn)M=t,當(dāng)0t時(shí),S=SFMN=tt=t2

34、,如圖,當(dāng)G在AC上時(shí),t=2,EK=ECtanDCB=EC=(4t)=3t,F(xiàn)K=2EK=t1,NL=AD=,F(xiàn)L=t,當(dāng)t2時(shí),S=SFMNSFKL=t2(t)(t1)=t2+t;如圖,當(dāng)G在CD上時(shí),BC:CH=BG:DH,即BC:4=2:3,解得:BC=,EC=4t=BC2=,t=,BN=BC=(6t)=3t,GN=GBBN=t1,當(dāng)2t時(shí),S=S梯形GNMFSFKL=2(t1+t)(t)(t1)=t2+2t,如圖,當(dāng)t4時(shí),BL=BC=(6t),EK=EC=(4t),BN=BC=(6t),EM=EC=(4t),S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN=t+綜上所述:當(dāng)0t時(shí),S=t2,當(dāng)t2時(shí),S=t2+t;當(dāng)2t時(shí),S=t2+2t,當(dāng)t4時(shí),S=t+【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)此題難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用,注意輔助線的作法政德才能立得穩(wěn)、立得牢。要深入學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義思想特別是習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于“立政德”的重要論述,深刻認(rèn)識(shí)新時(shí)代立政德的重要性和緊迫性。

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