2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題04 函數(shù)及其表示（含解析）

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1、專題04函數(shù)及其表示最新考綱1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念2.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用(函數(shù)分段不超過三段).基礎(chǔ)知識融會貫通1函數(shù)與映射函數(shù)映射兩個集合A，B設(shè)A，B是兩個非空數(shù)集設(shè)A，B是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f

2、：AB為從集合A到集合B的一個映射函數(shù)記法函數(shù)yf(x)，xA映射：f：AB2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域(2)函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域(3)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)【知識拓展

3、】簡單函數(shù)定義域的類型(1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域?yàn)槭狗帜覆粸榱愕膶?shí)數(shù)集合；(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義域?yàn)槭贡婚_方式非負(fù)的實(shí)數(shù)的集合；(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實(shí)數(shù)集合；(4)若f(x)x0，則定義域?yàn)閤|x0；(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1；(6)正切函數(shù)ytan x的定義域?yàn)?重點(diǎn)難點(diǎn)突破【題型一】函數(shù)的概念【典型例題】若函數(shù)yf（x）的定義域?yàn)镸x|2x2，值域?yàn)镹y|0y2，則函數(shù)yf（x）的圖象可能是（）ABCD【解答】解：對A不符合定義域當(dāng)中的每一個元素都有象，即可排除；對B滿足函數(shù)定義，故符合；對C出現(xiàn)了定義域

4、當(dāng)中的一個元素對應(yīng)值域當(dāng)中的兩個元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒有原象，故可否定故選：B【再練一題】下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）AByarcsin（sinx）和ysin（arcsinx）Cyx和yarccos（cosx）Dyx（x0，1）和yx2（x0，1）【解答】解：Aylog22xx，函數(shù)的定義域?yàn)镽，yx，函數(shù)的定義域?yàn)閤|x0，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)Bysin（arcsinx）的定義域?yàn)?，1，yarcsin（sinx）的定義域是R，兩個函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)Cyarccos（cosx）的值域是，yx的值域是R，不是

5、相同函數(shù)Dyx對應(yīng)的點(diǎn)為（0，0），（1，1），yx2對應(yīng)的點(diǎn)為（0，0），（1，1），兩個函數(shù)是同一函數(shù)，故選：D思維升華 函數(shù)的值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系唯一確定；判斷兩個函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對于函數(shù)定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同【題型二】函數(shù)的定義域問題命題點(diǎn)1求函數(shù)的定義域【典型例題】若函數(shù)f（x）ln（x+1），則函數(shù)g（x）f（x）+f（x）的定義域?yàn)椋ǎ〢（1，2B（1，1）C（2，2）D2，2【解答】解：解得，1x2；要使g（x）有意義，則：；解得1x1；g（x）的定義域?yàn)椋?，1）故選：B【再練一題】已知函數(shù)f（x）的定義域

6、為（1，2），則函數(shù)f（x2）的定義域是（）A（1，2）B（1，4）CRD（，1）（1，）【解答】解：數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，2），由1x22，得x1或1x即函數(shù)f（x2）的定義域是（，1）（1，）故選：D命題點(diǎn)2已知函數(shù)的定義域求參數(shù)范圍【典型例題】設(shè)函數(shù)f（x）（1）當(dāng)a5時，求函數(shù)f（x）的定義域；（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍【解答】解：（1）當(dāng)a5時，f（x），由|x1|+|x2|50，得或或，解得：x4或x1，即函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閤|x1或x4（2）由題可知|x1|+|x2|a0恒成立，即a|x1|+|x2|恒成立，而|x1|+|x2|（x1）+（2x）|

7、1，所以a1，即a的取值范圍為（，1【再練一題】函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于x的不等式2kx2kx0恒成立，k0時，不等式為0恒成立；k0時，應(yīng)滿足k242k0，解得0k3，綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是0，3）故答案為：0，3）思維升華 (1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，可借助于數(shù)軸，注意端點(diǎn)值的取舍(2)求抽象函數(shù)的定義域：若yf(x)的定義域?yàn)?a，b)，則解不等式ag(x)0時，, 則（ ）A4 B-4 C D【答案】B【解析】結(jié)合奇函數(shù)的概念，可知，所以，故選B。15已知函數(shù)，則滿足的取值范圍是（ ）A B C D【答案】

8、B【解析】由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式可知，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，所以當(dāng)時，恒成立；當(dāng) 時，因?yàn)椋院愠闪?綜上：故選：B16已知函數(shù)(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)已知mR，p：關(guān)于x的不等式f(x)m22m2對任意xR恒成立，q：函數(shù)y(m21)x是增函數(shù)，若p正確，q錯誤，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【答案】（1）1；（2）【解析】(1)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示可知函數(shù)f(x)在x2處取得最小值1.(2)若p正確，則由(1)得m22m21，即m22m30，所以3m1.若q正確，則函數(shù)y(m21)x是增函數(shù)，則m211，解得m.又p正確q錯誤，則解得m1.即實(shí)數(shù)m的取值范圍是17已知函數(shù)，.（

9、）當(dāng)時，若對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）當(dāng)時，求的最大值.【答案】（I）；（II）.【解析】（）當(dāng)時，（）當(dāng)時， 可知在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.18根據(jù)已知條件，求函數(shù)的解析式（）已知為一次函數(shù)，且，求的解析式（）下圖為二次函數(shù)的圖像，求該函數(shù)的解析式【答案】（1）；（2）【解析】（）為一次函數(shù)，設(shè)，（）如圖所示，二次函數(shù)過三點(diǎn)，代入得，解得， 19設(shè)函數(shù)為常數(shù)），且方程有兩個實(shí)根為（1）求的解析式；（2）證明：曲線的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心【答案】（1）；（2）見解析【解析】（1）由解得（2）證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對稱圖形而

10、 可知，函數(shù)的圖像沿軸方向向右平移1個單位，再沿軸方向向上平移1個單位,即得到函數(shù)的圖像，故函數(shù)的圖像是以點(diǎn)為中心的中心對稱圖形20某游戲廠商對新出品的一款游戲設(shè)定了“防沉迷系統(tǒng)”，規(guī)則如下：3小時以內(nèi)(含3小時)為健康時間，玩家在這段時間內(nèi)獲得的累積經(jīng)驗(yàn)值單位：與游玩時間小時)滿足關(guān)系式：；3到5小時(含5小時)為疲勞時間，玩家在這段時間內(nèi)獲得的經(jīng)驗(yàn)值為即累積經(jīng)驗(yàn)值不變)；超過5小時為不健康時間，累積經(jīng)驗(yàn)值開始損失，損失的經(jīng)驗(yàn)值與不健康時間成正比例關(guān)系，比例系數(shù)為50當(dāng)時，寫出累積經(jīng)驗(yàn)值E與游玩時間t的函數(shù)關(guān)系式，并求出游玩6小時的累積經(jīng)驗(yàn)值；該游戲廠商把累積經(jīng)驗(yàn)值E與游玩時間t的比值稱為“

11、玩家愉悅指數(shù)”，記作；若，且該游戲廠商希望在健康時間內(nèi)，這款游戲的“玩家愉悅指數(shù)”不低于24，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】； 【解析】解：，當(dāng)時，當(dāng)時，則，綜上，能力提升訓(xùn)練1存在函數(shù)滿足對任意都有( )A BC D【答案】D【解析】對于選項(xiàng)A，令可得，令可得，不符合函數(shù)的定義，選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B，令可得，令可得，不符合函數(shù)的定義，選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，令可得無意義，則函數(shù)不是定義在R上的函數(shù)，選項(xiàng)C錯誤；對于選項(xiàng)D，則，即存在函數(shù)滿足，選項(xiàng)D正確.本題選擇D選項(xiàng).2若函數(shù)是R上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)x都有，則 ( )A B C D1【答案】C【解析】假設(shè)，得到，進(jìn)而從而，因?yàn)槭菃握{(diào)函

12、數(shù)，所以當(dāng)，得到，所以，因而，故選C。3若函數(shù)上是單調(diào)函數(shù)，且滿足對任意，都有，則的值是( )A B6 C8 D10【答案】D【解析】對任意，都有，且函數(shù)上是單調(diào)函數(shù)，故，即，解得，故，故選D.4設(shè)函數(shù)滿足，且對任意都有，則 ()A0 B1 C2 017 D2 018【答案】D【解析】令xy0，則f（1）f(0)f(0)f(0)211122，令y0，則f（1）f(x)f(0)f(0)x2，將f(0)1，f（1）2代入，可得f(x)1x，f(2 017)2018故選D5若都是定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，且有實(shí)數(shù)解，則以下函數(shù)，中，不可能是的有（）A個 B2個 C個 D個【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，?/p>

13、為有實(shí)數(shù)解，所以有實(shí)數(shù)解.因?yàn)?，所以A可能是,因?yàn)椋訠不可能是,因?yàn)?，所以C不可能是,因?yàn)椋訢不可能是,綜上，不可能是的有3個，選C.6若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為f（x）=x2+1，值域?yàn)?，10的“孿生函數(shù)”共有（）A4個 B8個 C9個 D12個【答案】C【解析】由得 ,所以定義域可為,共9種情況,所以選C.7若函數(shù)）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D【答案】D【解析】當(dāng)時，故，因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以單調(diào)遞增，故，則，解得.故選D.8已知函數(shù)，則方程的實(shí)根個數(shù)不可能為（ ）A8 B7 C6 D5【答

14、案】D【解析】，令tx1，則t（，31，+）可得f（t）a，畫出yf（x）的圖象，當(dāng)a1時，t1，2，4，由tx1的圖象可得x有6個解；當(dāng)alog35，即有t3，3，由tx1的圖象可得x有7個解；當(dāng)log35a2時，t有一個小于3的解，三個大于1的解，由tx1的圖象可得x有8個解；綜上可得方程的實(shí)根個數(shù)不可能為5故選：D9已知函數(shù)，若函數(shù)有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A B C D【答案】C【解析】函數(shù)yf（f（x）+1的零點(diǎn)，即方程ff（x）1的解個數(shù)，（1）當(dāng)a0時，f（x），當(dāng)x1時，x，f（f（x）1成立，方程ff（x）1有1解當(dāng)0x1，log2x0，方程ff（x）1無解，

15、當(dāng)x0時，f（x）1，f（f（x）0，方程ff（x）1無解，f（f（x）1有1解，故a0不符合題意，（2）當(dāng)a0時，當(dāng)x1時，x，f（f（x）1成立，當(dāng)0x1，log2x0，方程ff（x）1有1解，當(dāng)x0時，0f（x）1，f（f（x）1有1解，當(dāng)x時，f（x）0，f（f（x）1有1解，故，f（f（x）1有4解，（3）當(dāng)a0時，當(dāng)x1時，x，f（f（x）1成立，f（f（x）1有1解，當(dāng)0x1時，f（x）0，成立, 方程ff（x）1無解，當(dāng)x0時，f（x）1，成立, 方程ff（x）1無解， 故f（f（x）1有1解，不符合題意，綜上：a0故選：C10定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若關(guān)于的方程,恰有5個不同的實(shí)數(shù)解，則等于（ ）A B C D【答案】C【解析】一元二次方程最多兩個解，當(dāng)時，方程至多四個解，不滿足題意，當(dāng)是方程的一個解時，才有可能5個解，結(jié)合圖象性質(zhì)，可知，即.故答案為C.25