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1、2014年4月30日作者:姚藝 學(xué)號：2012011192指導(dǎo)教師：王培專業(yè)名稱：勘查12-2班復(fù)變函數(shù)中的洛必達(dá)法則 關(guān)于復(fù)變函數(shù)中的“洛必達(dá)”法則 摘要：洛必達(dá)法則是計算未定式的一個重要法則，在復(fù)變函數(shù)中運(yùn)用泰勒級數(shù)以及洛朗級數(shù)，從而將實(shí)變函數(shù)中的洛必達(dá)法則，推廣到復(fù)變函數(shù)中。 關(guān)鍵詞：未定式，洛必達(dá)法則，解析，泰勒級數(shù)，洛朗級數(shù) 正文： 在實(shí)變函數(shù)中，洛必達(dá)法則是計算未定式與， 極限的有力工具，用它能解決大量未定型極限的計算問題。而在復(fù)變函數(shù)中，我們可以通過泰勒級數(shù)，洛朗級數(shù)為工具，來把實(shí)變函數(shù)洛必達(dá)法則引進(jìn)來。 1.未定式的極限 定理1：設(shè)1）函數(shù)，在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域k-a內(nèi)解析；2）
2、，但；可以得到 證明：有定理?xiàng)l件可知，點(diǎn)a是，的可去奇點(diǎn)（因?yàn)椋臉O限值均為有限值），于是在k內(nèi)的，的洛朗展開式（m是自然數(shù)）， （n也是自然數(shù)）而（m是自然數(shù)） （n也是自然數(shù)）很顯然 = 而對于該極限顯然有三種情況：1） 若當(dāng)m=n時，原式=；2） 若當(dāng)mn時，原式=0；3） 若當(dāng)mn時，原式=0；3）若當(dāng)mn時，原式=0；3）若當(dāng)mn時，原式=0；3）若當(dāng)mn時，原式=；故當(dāng) 也有三種情況與上面一樣所以定理五 設(shè)1），在點(diǎn)的某去心領(lǐng)域k-內(nèi)解析；4）5） 那么證明：在定理?xiàng)l件下，都滿足定理一的條件，于是有，同理有，一直這樣下去，直到 所以定理六 設(shè)1），在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的某去心領(lǐng)域k-內(nèi)解析；
3、2） 如果極限存在可以得到這個定理，可以做 ，當(dāng) 時，也逐漸趨近于零，此時可以變化為 時的去心領(lǐng)域k-0內(nèi)模仿即可，這里不再證明。對于 ， 的極限，可以化成上述的類型進(jìn)行計算。結(jié)論：由上述論證可知，復(fù)變函數(shù)中也是存在洛必達(dá)法則的。而這個洛必達(dá)法則在很多復(fù)變函數(shù)的計算中都能夠得到應(yīng)用，比如在求孤立奇點(diǎn)的類型，可以通過求函數(shù)在奇點(diǎn)的極限值進(jìn)行判斷，但對于0/0型的函數(shù)，就可以去使用洛必達(dá)法則進(jìn)行計算。除此之外，我們也會發(fā)現(xiàn)這種方法巧妙地避開了中值定理的證明，因?yàn)閺?fù)變函數(shù)中的中值定理與實(shí)變函數(shù)中的中值定理是不一樣的，不能夠直接使用。同時，對于能夠采取級數(shù)展開的一個很大的原因，就是解析函數(shù)可以任意階求
4、導(dǎo)，而實(shí)變函數(shù)中的函數(shù)（除了幾個初等函數(shù)等），很難做到任意階求導(dǎo)，這也就是為什么在實(shí)變函數(shù)中，我們采取中值定理進(jìn)行證明。參考文獻(xiàn)：1. 華東師范數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第三版）M.北京:高等教育出版社 20012. 復(fù)變函數(shù)中的洛必達(dá)法則.晉中學(xué)院.吳瓊.20063. 高等數(shù)學(xué)（上）.同濟(jì)大學(xué)編第六版.2007附：積分中值定理和微分中值定理的證明積分中值定理：設(shè)函數(shù)是凸區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，是內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則在與的連線段上至少存在兩點(diǎn)，使得.證明 因?yàn)槭菂^(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)，為凸區(qū)域，所以與的連線段，的方程 ， .由復(fù)變函數(shù)積分計算法知 .因?yàn)闉榻馕龊瘮?shù)，故必為的連續(xù)函數(shù)，從而及均為的連續(xù)函數(shù)，由實(shí)函數(shù)中的積分中值定理，必存在，使，.令， ，則微分中值定理：設(shè)是定義在凸開集上的解析函數(shù)，則存在，使得 證明：容易看到，將積分中值定理用于該式就可以得到也即下面我們再用牛頓-萊布尼茨公式證明洛必達(dá)法則函數(shù)，在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域k-a內(nèi)解析 令2），但，可以得到證明： 由于，在點(diǎn)a的某去心領(lǐng)域k-a內(nèi)解析，而對于a點(diǎn)來說，我們認(rèn)為其是可去奇點(diǎn)，所以我們定義F(a)=0,G(a)=0。所以=所以在這種情況下得證。
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