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1、習(xí)題八1. 判斷下列平面點(diǎn)集哪些是開(kāi)集、閉集、區(qū)域、有界集、無(wú)界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)集和邊界：(1) (x,y)|x0;(2) (x,y)|1x2+y24;(3) (x,y)|yx2;(4) (x,y)|(x-1)2+y21(x,y)|(x+1)2+y21.解：(1)開(kāi)集、無(wú)界集，聚點(diǎn)集：R2，邊界：(x,y)|x=0.(2)既非開(kāi)集又非閉集，有界集,聚點(diǎn)集：(x,y)|1x2+y24，邊界：(x,y)|x2+y2=1(x,y)| x2+y2=4.(3)開(kāi)集、區(qū)域、無(wú)界集，聚點(diǎn)集：(x,y)|yx2，邊界：(x,y)| y=x2.(4)閉集、有界集，聚點(diǎn)集即是其本身，邊界：(x,y)|(x
2、-1)2+y2=1(x,y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x,y)=x2+y2-xytan,試求.解：3. 已知,試求解：f(x+y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x.4. 求下列各函數(shù)的定義域：解：5. 求下列各極限：解：(1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6. 判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)O(0，0)處是否連續(xù)：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函數(shù)在O(0,0)處連續(xù).(2)故O(0,0)是z的間斷點(diǎn).(3)若P(x,y) 沿直線y=x趨于(0，0)點(diǎn)，則,若點(diǎn)P(x,y) 沿直線y=-
3、x趨于(0，0)點(diǎn)，則故不存在.故函數(shù)z在O(0，0)處不連續(xù).7. 指出下列函數(shù)在向外間斷：(1) f(x,y)=;(2) f(x,y)=;(3) f(x,y)=ln(1x2y2);(4)f(x,y)=解：(1)因?yàn)楫?dāng)y=-x時(shí)，函數(shù)無(wú)定義，所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點(diǎn)處間斷，而在其余點(diǎn)處均連續(xù).(2)因?yàn)楫?dāng)y2=2x時(shí)，函數(shù)無(wú)定義，所以函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(3)因?yàn)楫?dāng)x2+y2=1時(shí)，函數(shù)無(wú)定義，所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(4)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)沿直線y=x趨于O(0,0)時(shí).故(0，0)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，
4、而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).8. 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x2y+;(2)s=;(3)z=xln;(4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y;(6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z;(8).解：(1)(2) (3)(4) (5)兩邊取對(duì)數(shù)得故 (6)(7)(8)9.已知，求證：.證明： .由對(duì)稱性知 .于是 .10.設(shè)，求證：.證明： ,由z關(guān)于x,y的對(duì)稱性得故 11.設(shè)f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .解：則.12.求曲線在點(diǎn)（2，4，5）處的切線與正向x軸所成的傾角.解：設(shè)切線與正向x軸的傾角為,則tan=1. 故=.13.求下列函數(shù)的二階偏
5、導(dǎo)數(shù)：(1)z=x4+ y4-4x2y2;(2)z=arctan;(3)z=yx;(4)z=.解：(1)由x,y的對(duì)稱性知(2)，(3)(4)14.設(shè)f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求解：19315.設(shè)z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函數(shù)的全微分：(1);(2);(3);(4).解：(1)(2) (3)(4)17. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)和自變量增量的條件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似計(jì)算：(1) (1.02)3(0.97)2;(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)設(shè)f(x,y)=x3y2，則故df(x,y)=3x2y2
6、dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，則(1.02)3(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)=1312+113110.02+212(-0.03)=1.(2)設(shè)f(x,y)=,則故取,則(3)設(shè)f(x,y)=xy,則df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則19.矩型一邊長(zhǎng)a=10cm，另一邊長(zhǎng)b=24cm,當(dāng)a邊增加4mm，而b邊縮小1mm時(shí)，求對(duì)角線長(zhǎng)的變化.解：設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為l，則當(dāng)x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時(shí)，(
7、cm)故矩形的對(duì)角線長(zhǎng)約增加0.062cm.20. 1mol理想氣體在溫度0和1個(gè)大氣壓的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，體積是22.4L，從這標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下將溫度升高3，壓強(qiáng)升高0.015個(gè)大氣壓，問(wèn)體積大約改變多少？解：由PV=RT得V=，且在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，R=8.2056810-2,Vdv=-=故體積改變量大約為0.09.21. 測(cè)得一物體的體積V=4.45cm3,其絕對(duì)誤差限是0.01cm3，質(zhì)量m=30.80g，其絕對(duì)誤差限是0.01g，求由公式算出密度的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：當(dāng)V=4.45，m=30.80,dv=0.01,dm=0.01時(shí),當(dāng)v=4.45, m=30.80時(shí).22. 求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)
8、或全導(dǎo)數(shù)：(1)求,；（2） z,xuv,yuv,求,；（3） ,yx3,求;（4） ux2y2z2, x,y,z,求.解：（1）(2)(3)(4).23. 設(shè)f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)24.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證明:故25. 設(shè)，其中f(u)為可導(dǎo)函數(shù)，驗(yàn)證：.證明： ,26. ,其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，求解：由對(duì)稱性知，27. 設(shè)f是c2類函數(shù)，求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)(2)(3)解：(1),(2)(3)28. 試證：利用變量替換,可將方程化簡(jiǎn)為 .證明：設(shè)故29. 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1)，求;(2)，求；(3)，
9、求;(4)，求.解：(1)解法1 用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，設(shè)F(x,y)=siny+ex-xy2,則 故 .解法2 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得故 (2)設(shè)(3)方程兩邊求全微分，得則 故 (4)設(shè),則 30. 設(shè)F(x,y,z)=0可以確定函數(shù)x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y),證明：.證明：31. 設(shè)確定了函數(shù)z=z(x,y),其中F可微，求.解：32. 求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1) 求：(2) 求： (3) 其中f,g是類函數(shù)，求(4) 求解：(1)原方程組變?yōu)榉匠虄蛇厡?duì)x求導(dǎo)，得當(dāng) (2)設(shè)故 (3)設(shè)則 故 (4)是已知函數(shù)的反函數(shù)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得整理得 解得 方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)得整理得 解得 33. 設(shè)，試求解：由方程組可確定反函數(shù)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得 所以 方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得解得 所以 .34. 求函數(shù)在(2，-1)點(diǎn)的泰勒公式.解：故35. 將函數(shù)在(1,1)點(diǎn)展到泰勒公式的二次項(xiàng).解：
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