高等數(shù)學下復旦大學出版習題八.doc

習題八1. 判斷下列平面點集哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點集和邊界：(1) (x,y)|x0;(2) (x,y)|1x2+y24;(3) (x,y)|yx2;(4) (x,y)|(x-1)2+y21(x,y)|(x+1)2+y21.解：(1)開集、無界集，聚點集：R2，邊界：(x,y)|x=0.(2)既非開集又非閉集，有界集,聚點集：(x,y)|1x2+y24，邊界：(x,y)|x2+y2=1(x,y)| x2+y2=4.(3)開集、區(qū)域、無界集，聚點集：(x,y)|yx2，邊界：(x,y)| y=x2.(4)閉集、有界集，聚點集即是其本身，邊界：(x,y)|(x-1)2+y2=1(x,y)|(x+1)2+y2=1.2. 已知f(x,y)=x2+y2-xytan,試求.解：3. 已知,試求解：f(x+y, x-y, xy) =(x+y)xy+(xy)x+y+x-y =(x+y)xy+(xy)2x.4. 求下列各函數(shù)的定義域：解：5. 求下列各極限：解：(1)原式=(2)原式=+.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6. 判斷下列函數(shù)在原點O(0，0)處是否連續(xù)：(3) 解：(1)由于又，且,故.故函數(shù)在O(0,0)處連續(xù).(2)故O(0,0)是z的間斷點.(3)若P(x,y) 沿直線y=x趨于(0，0)點，則,若點P(x,y) 沿直線y=-x趨于(0，0)點，則故不存在.故函數(shù)z在O(0，0)處不連續(xù).7. 指出下列函數(shù)在向外間斷：(1) f(x,y)=;(2) f(x,y)=;(3) f(x,y)=ln(1x2y2);(4)f(x,y)=解：(1)因為當y=-x時，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點處間斷，而在其余點處均連續(xù).(2)因為當y2=2x時，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點處間斷.而在其余各點處均連續(xù).(3)因為當x2+y2=1時，函數(shù)無定義，所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點處間斷.而在其余各點處均連續(xù).(4)因為點P(x,y)沿直線y=x趨于O(0,0)時.故(0，0)是函數(shù)的間斷點，而在其余各點處均連續(xù).8. 求下列函數(shù)的偏導數(shù)：(1)z=x2y+;(2)s=;(3)z=xln;(4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y;(6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z;(8).解：(1)(2) (3)(4) (5)兩邊取對數(shù)得故 (6)(7)(8)9.已知，求證：.證明： .由對稱性知 .于是 .10.設，求證：.證明： ,由z關于x,y的對稱性得故 11.設f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .解：則.12.求曲線在點（2，4，5）處的切線與正向x軸所成的傾角.解：設切線與正向x軸的傾角為,則tan=1. 故=.13.求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)：(1)z=x4+ y4-4x2y2;(2)z=arctan;(3)z=yx;(4)z=.解：(1)由x,y的對稱性知(2)，(3)(4)14.設f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求解：19315.設z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函數(shù)的全微分：(1);(2);(3);(4).解：(1)(2) (3)(4)17. 求下列函數(shù)在給定點和自變量增量的條件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似計算：(1) (1.02)3(0.97)2;(2);(3)(1.97)1.05.解：(1)設f(x,y)=x3y2，則故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，則(1.02)3(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)=1312+113110.02+212(-0.03)=1.(2)設f(x,y)=,則故取,則(3)設f(x,y)=xy,則df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則19.矩型一邊長a=10cm，另一邊長b=24cm,當a邊增加4mm，而b邊縮小1mm時，求對角線長的變化.解：設矩形對角線長為l，則當x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時，(cm)故矩形的對角線長約增加0.062cm.20. 1mol理想氣體在溫度0和1個大氣壓的標準狀態(tài)下，體積是22.4L，從這標準狀態(tài)下將溫度升高3，壓強升高0.015個大氣壓，問體積大約改變多少？解：由PV=RT得V=，且在標準狀態(tài)下，R=8.2056810-2,Vdv=-=故體積改變量大約為0.09.21. 測得一物體的體積V=4.45cm3,其絕對誤差限是0.01cm3，質(zhì)量m=30.80g，其絕對誤差限是0.01g，求由公式算出密度的絕對誤差與相對誤差.解：當V=4.45，m=30.80,dv=0.01,dm=0.01時,當v=4.45, m=30.80時.22. 求下列復合函數(shù)的偏導數(shù)或全導數(shù)：(1)求,；（2） z,xuv,yuv,求,；（3） ,yx3,求;（4） ux2y2z2, x,y,z,求.解：（1）(2)(3)(4).23. 設f具有一階連續(xù)偏導數(shù)，試求下列函數(shù)的一階偏導數(shù)：(1)(2)(3)解：(1)(2)(3)24.設為可導函數(shù)，證明：證明:故25. 設，其中f(u)為可導函數(shù)，驗證：.證明： ,26. ,其中f具有二階導數(shù)，求解：由對稱性知，27. 設f是c2類函數(shù)，求下列函數(shù)的二階偏導數(shù)：(1)(2)(3)解：(1),(2)(3)28. 試證：利用變量替換,可將方程化簡為 .證明：設故29. 求下列隱函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)：(1)，求;(2)，求；(3)，求;(4)，求.解：(1)解法1 用隱函數(shù)求導公式，設F(x,y)=siny+ex-xy2,則 故 .解法2 方程兩邊對x求導，得故 (2)設(3)方程兩邊求全微分，得則 故 (4)設,則 30. 設F(x,y,z)=0可以確定函數(shù)x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y),證明：.證明：31. 設確定了函數(shù)z=z(x,y),其中F可微，求.解：32. 求由下列方程組所確定的函數(shù)的導數(shù)或偏導數(shù)：(1) 求：(2) 求： (3) 其中f,g是類函數(shù)，求(4) 求解：(1)原方程組變?yōu)榉匠虄蛇厡求導，得當 (2)設故 (3)設則 故 (4)是已知函數(shù)的反函數(shù)，方程組兩邊對x求導，得整理得 解得 方程組兩邊對y求導得整理得 解得 33. 設，試求解：由方程組可確定反函數(shù)，方程組兩邊對x求導，得解得 所以 方程組兩邊對y求導，得解得 所以 .34. 求函數(shù)在(2，-1)點的泰勒公式.解：故35. 將函數(shù)在(1,1)點展到泰勒公式的二次項.解：