平新喬《微觀經(jīng)濟(jì)十八講》第四講 答案

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1、平新喬微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)十八講答案EatingNoodles第四講 VNM效用函數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)升水1 （單項(xiàng)選擇）一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為，則他的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為：（A） （B） （C） （D）解：B計(jì)算過程為 2 證明：若一個(gè)人的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)為常數(shù)，則其效用函數(shù)形式必為，這里代表財(cái)產(chǎn)水平 說明：這個(gè)結(jié)論是有問題的，若要成立需要加上條件證明：由已知得，因此 ，其中，為任意實(shí)數(shù)如果，根據(jù)效用函數(shù)可單調(diào)變換的性質(zhì)，該偏好可以用效用函數(shù)形式表示如果，那么該偏好可以用效用函數(shù)形式表示3 若一個(gè)人的效用函數(shù)為，證明：其絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)是財(cái)富的嚴(yán)格增函數(shù)說明：這個(gè)結(jié)論是有問題的一個(gè)正確的結(jié)論是，補(bǔ)充條件，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)

2、避系數(shù)在時(shí)，是財(cái)富的嚴(yán)格增函數(shù)證明：直接運(yùn)用絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的定義：當(dāng)時(shí)，；即，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)在上是財(cái)富的嚴(yán)格增函數(shù)注意：，注在出現(xiàn)從負(fù)無窮到正無窮的跳躍，與時(shí)，效用是財(cái)富的減函數(shù)，而時(shí)是財(cái)富的增函數(shù)有關(guān)不過，也許正是為了避免很不符合實(shí)際又麻煩的情況，一般研究不確定情況下的選擇時(shí)，效用函數(shù)被認(rèn)定為財(cái)富的增函數(shù)；而下面的所有類似題目中，我均假設(shè)效用函數(shù)為財(cái)富的增函數(shù)另外，我在題目中沒有限制財(cái)富量為非負(fù)4 設(shè)一種彩票贏得900元的概率為，而獲得100元的概率為計(jì)算該彩票的期望收入若一個(gè)人對(duì)該彩票的出價(jià)超過彩票的期望收入，請(qǐng)寫出這個(gè)人的效用函數(shù)形式（形式不唯一）解：彩票的期望收入為260元這個(gè)人是

3、風(fēng)險(xiǎn)偏好的；要描述他的效用，最方便的形式之一就是有常絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)的效用函數(shù)形式，比如 ，其中為收入水平5 證明：在下列效用函數(shù)中，哪些顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為：5.1 ，由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為注 這里規(guī)定，下同5.2 由，知，因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為5.3 ，由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為5.4 由，得到，因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避行為6 一個(gè)具有VNM效用函數(shù)的人擁有160000單位的初始財(cái)產(chǎn)，但他面臨火災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)：一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會(huì)使其損失70000；另一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會(huì)使其損失120000他的效用函數(shù)形

4、式是若他購買保險(xiǎn)，保險(xiǎn)公司要求他自己承擔(dān)前7620單位的損失（若火災(zāi)發(fā)生）什么是這個(gè)投保人愿支付的最高保險(xiǎn)金？（需要補(bǔ)充的條件為：兩種火災(zāi)的發(fā)生是相斥事件）解：如果保險(xiǎn)人不購買保險(xiǎn)，他不發(fā)生火災(zāi)損失的概率為他的期望效用水平為 同時(shí)，他愿支付的最高保險(xiǎn)金，就是使他在支付前后效用水平相等的保險(xiǎn)金， 即有解得：，（舍去）即，投保人愿意付的最高保險(xiǎn)金為22008元注 一般的假定是，如果決策者在選擇間無差異的時(shí)候，就表示他在做一個(gè)隨機(jī)決策，也就是說，任何決策他都是愿意接受的反過來，假定決策者在選擇間無差異時(shí)，卻出現(xiàn)了他不愿意選擇某一個(gè)決策的情況，那就是說明他在決策間不是無差異的這種“無差異”方法在解題中

5、使用很多支付賭局10000元1000元0元12347 考慮下列賭局上表內(nèi)，矩陣中的數(shù)字代表每一種結(jié)果的發(fā)生概率（比如，在賭局1中，發(fā)生10000元的概率為）如果有人告訴你，他在賭局“1”與“2”之間嚴(yán)格偏好于“1”，在賭局“3”與“4”之間嚴(yán)格偏好于“3”請(qǐng)問他的選擇一致嗎？請(qǐng)做出說明說明：設(shè)此人的效用函數(shù)為令，其中計(jì)算出賭局所對(duì)應(yīng)的期望效用，根據(jù)已知條件可以得到，由于，所以我們不能斷定他的選擇不是一致的注 此前我對(duì)這道題的解答依賴于對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的偏好是否一致，不好現(xiàn)在的解法中，判斷依據(jù)僅僅是關(guān)于不確定性下選擇的幾個(gè)公理，具有更廣的一般性8 兩匹馬賽跑李某對(duì)該賽馬打賭馬A與B之間，或A贏，或B贏，無

6、平局李某按下列偏好序?qū)Υ蛸€進(jìn)行排序：他在A上下賭注2元，如果A贏了，則會(huì)獲得元；若A輸了，則分文無收不賭他在B上下賭注2元，如果B贏了，則會(huì)獲得元；若B輸了，則分文無收8.1 你能得出結(jié)論說，李某相信A獲勝的概率P大于嗎？解：記李某的效用函數(shù)為，不賭時(shí)的財(cái)富水平為令，那么在A身上下賭注，那么期望效用，在B身上下賭注，期望效用為，不下注，效用由李某的偏好關(guān)系，我們可以得到，即注 一個(gè)比較瘋狂的想法是想看看時(shí)是否與相同的偏好關(guān)系相容事實(shí)上，只要財(cái)富的邊際效用為正（這也是我一直假設(shè)的），這就是不可能的8.2 如果李某是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，你能知道的值嗎？解：如果李某是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的，有，其中由，那么存在一個(gè)，使

7、得即有，即得到9 一個(gè)消費(fèi)者具有VNM效用函數(shù)，他面臨四種結(jié)局：A、B、C、D其偏好序?yàn)樵囼?yàn)顯示，他認(rèn)為 （這里的等號(hào)表示“無差異”）請(qǐng)對(duì)A、B、C、D四種結(jié)局構(gòu)筑出一組VNM效用值解：令，（由連續(xù)性公理）有 ， 10 近年來保險(xiǎn)業(yè)在我國得到迅速發(fā)展，本題應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)原理分析為什么人們?cè)敢赓徺I保險(xiǎn)假定有一戶居民擁有財(cái)富10萬元，包括一輛價(jià)值2萬元的摩托車該戶居民所住地區(qū)時(shí)常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜假定該戶居民的效用函數(shù)為，其中表示財(cái)富價(jià)值10.1 計(jì)算該戶居民的效用期望值解：10.2 如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該戶居民是愿意避免風(fēng)險(xiǎn)，還是愛好風(fēng)險(xiǎn)？解：利用絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)來計(jì)

8、算，具體地，由，（）可以得到該戶居民是愿意避免風(fēng)險(xiǎn)的10.3 如果居民支付一定數(shù)額的保險(xiǎn)費(fèi)則可以在摩托車被盜時(shí)從保險(xiǎn)公司得到與摩托車價(jià)值相等的賠償試計(jì)算該戶居民最多愿意支付多少元的保險(xiǎn)費(fèi)解：思路同第六題該戶居民最多愿意支付的保險(xiǎn)費(fèi)就是使他的期望效用在支付前后不變的保險(xiǎn)費(fèi)設(shè)保險(xiǎn)費(fèi)為，有 元即該戶居民最多愿意支付的保險(xiǎn)費(fèi)是6099元10.4 在該保險(xiǎn)費(fèi)中“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險(xiǎn)公司扣除“公平”的保險(xiǎn)費(fèi)后的純收入是多少元？解：公平保險(xiǎn)為元保險(xiǎn)公司扣除公平保險(xiǎn)費(fèi)的純收入R的期望值為 11 下列三個(gè)說法對(duì)嗎？請(qǐng)說明理由11.1 摸彩票的期望收益低于消費(fèi)者付出的貨幣，而消費(fèi)者

9、卻常常熱衷于此，說明在這種情況下，摸彩票的人是喜愛風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)注 小賭時(shí)可能是風(fēng)險(xiǎn)趨向的，大賭就不一定了11.2 一個(gè)人面對(duì)兩種收入可能，一種是獲得2000元和1000元收入的概率均為0.5，另一種是獲得2500元和500元收入的概率各為0.5，兩種情況的期望收入相同，故消費(fèi)者對(duì)二者的評(píng)價(jià)相同不全面它沒有考慮風(fēng)險(xiǎn)問題假如消費(fèi)者對(duì)不同的風(fēng)險(xiǎn)水平不是無差異的，這兩種收入可能的風(fēng)險(xiǎn)是不一樣的（比如，它們收入的標(biāo)準(zhǔn)差是不一樣的），因此，消費(fèi)者對(duì)二者的評(píng)價(jià)不一定會(huì)相同11.3 一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為，有兩種可能的收益，第一種是獲得4元和25元的概率均為0.5，另一種情況是他獲得9元和16元的概率分別為0.4

10、和0.6，則他對(duì)第一種的評(píng)價(jià)好于第二種錯(cuò)在第一種情況下，；在第二種情況下，即他對(duì)第二種的評(píng)價(jià)好于第一種12 一個(gè)人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)的原形是他有機(jī)會(huì)參與擲硬幣，頭面向上的概率均為如果他下賭注元，若頭面向上，他會(huì)擁有；反之，若背面向上，則他只擁有請(qǐng)解出其作為的函數(shù)的最優(yōu)賭注量當(dāng)，什么是他的關(guān)于的最佳選擇？解：設(shè)擲硬幣為賭局那么該賭局的效用 使最大化的所滿足的一階條件為： 解得又，因此他的最優(yōu)賭注為當(dāng)時(shí)，直接應(yīng)用前面得到的結(jié)果，得出他的最佳選擇是注 多說兩句當(dāng)想強(qiáng)調(diào)是一個(gè)函數(shù)的時(shí)候，但又不愿意寫出它的自變量時(shí)，就常常采用的形式如果只愿意寫出自變量，但又想說是多元函數(shù)，那么可以采用的形式1

11、3 一個(gè)人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形為他的財(cái)產(chǎn)初值為4元他擁有一張獎(jiǎng)券，該獎(jiǎng)券值12元的概率為0.5，值零元什么是這個(gè)人的期望效用？若要他出讓該彩票，他索取的最低價(jià)會(huì)是多少？解：擁有這張獎(jiǎng)券意味著參加了抽獎(jiǎng)的賭局，設(shè)該賭局為他的期望效用為 若讓他出讓該彩票，他索取的最低價(jià)應(yīng)當(dāng)是使他出讓前后效用水平不變化的價(jià)格，設(shè)該價(jià)格為，有 ，即解得即他索取的最低價(jià)會(huì)是5元14 一個(gè)人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形為他有機(jī)會(huì)參加一場(chǎng)賭博，若贏了，他的財(cái)產(chǎn)會(huì)達(dá)到，贏率為；但該賭局下他的財(cái)產(chǎn)為的概率為為使他對(duì)持有當(dāng)前財(cái)產(chǎn)與參與賭博無差異，則他當(dāng)前的財(cái)產(chǎn)水平應(yīng)該是多少？解：他對(duì)持有當(dāng)前財(cái)產(chǎn)與參與賭博無差異，也就是說，有 ，解得 即，當(dāng)前財(cái)產(chǎn)水平應(yīng)當(dāng)為時(shí)，才使他對(duì)持有當(dāng)前財(cái)產(chǎn)與參與賭博無差異