平新喬《微觀經(jīng)濟十八講》第四講 答案

平新喬微觀經(jīng)濟學十八講答案EatingNoodles第四講 VNM效用函數(shù)與風險升水1 （單項選擇）一個消費者的效用函數(shù)為，則他的絕對風險規(guī)避系數(shù)為：（A） （B） （C） （D）解：B計算過程為 2 證明：若一個人的絕對風險規(guī)避系數(shù)為常數(shù)，則其效用函數(shù)形式必為，這里代表財產(chǎn)水平 說明：這個結(jié)論是有問題的，若要成立需要加上條件證明：由已知得，因此 ，其中，為任意實數(shù)如果，根據(jù)效用函數(shù)可單調(diào)變換的性質(zhì)，該偏好可以用效用函數(shù)形式表示如果，那么該偏好可以用效用函數(shù)形式表示3 若一個人的效用函數(shù)為，證明：其絕對風險規(guī)避系數(shù)是財富的嚴格增函數(shù)說明：這個結(jié)論是有問題的一個正確的結(jié)論是，補充條件，絕對風險規(guī)避系數(shù)在時，是財富的嚴格增函數(shù)證明：直接運用絕對風險規(guī)避系數(shù)的定義：當時，；即，絕對風險規(guī)避系數(shù)在上是財富的嚴格增函數(shù)注意：，注在出現(xiàn)從負無窮到正無窮的跳躍，與時，效用是財富的減函數(shù)，而時是財富的增函數(shù)有關不過，也許正是為了避免很不符合實際又麻煩的情況，一般研究不確定情況下的選擇時，效用函數(shù)被認定為財富的增函數(shù)；而下面的所有類似題目中，我均假設效用函數(shù)為財富的增函數(shù)另外，我在題目中沒有限制財富量為非負4 設一種彩票贏得900元的概率為，而獲得100元的概率為計算該彩票的期望收入若一個人對該彩票的出價超過彩票的期望收入，請寫出這個人的效用函數(shù)形式（形式不唯一）解：彩票的期望收入為260元這個人是風險偏好的；要描述他的效用，最方便的形式之一就是有常絕對風險規(guī)避系數(shù)的效用函數(shù)形式，比如 ，其中為收入水平5 證明：在下列效用函數(shù)中，哪些顯示出遞減的風險規(guī)避行為：5.1 ，由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風險規(guī)避行為注 這里規(guī)定，下同5.2 由，知，因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風險規(guī)避行為5.3 ，由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風險規(guī)避行為5.4 由，得到，因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風險規(guī)避行為6 一個具有VNM效用函數(shù)的人擁有160000單位的初始財產(chǎn)，但他面臨火災風險：一種發(fā)生概率為5%的火災會使其損失70000；另一種發(fā)生概率為5%的火災會使其損失120000他的效用函數(shù)形式是若他購買保險，保險公司要求他自己承擔前7620單位的損失（若火災發(fā)生）什么是這個投保人愿支付的最高保險金？（需要補充的條件為：兩種火災的發(fā)生是相斥事件）解：如果保險人不購買保險，他不發(fā)生火災損失的概率為他的期望效用水平為 同時，他愿支付的最高保險金，就是使他在支付前后效用水平相等的保險金， 即有解得：，（舍去）即，投保人愿意付的最高保險金為22008元注 一般的假定是，如果決策者在選擇間無差異的時候，就表示他在做一個隨機決策，也就是說，任何決策他都是愿意接受的反過來，假定決策者在選擇間無差異時，卻出現(xiàn)了他不愿意選擇某一個決策的情況，那就是說明他在決策間不是無差異的這種“無差異”方法在解題中使用很多支付賭局10000元1000元0元12347 考慮下列賭局上表內(nèi)，矩陣中的數(shù)字代表每一種結(jié)果的發(fā)生概率（比如，在賭局1中，發(fā)生10000元的概率為）如果有人告訴你，他在賭局“1”與“2”之間嚴格偏好于“1”，在賭局“3”與“4”之間嚴格偏好于“3”請問他的選擇一致嗎？請做出說明說明：設此人的效用函數(shù)為令，其中計算出賭局所對應的期望效用，根據(jù)已知條件可以得到，由于，所以我們不能斷定他的選擇不是一致的注 此前我對這道題的解答依賴于對風險的偏好是否一致，不好現(xiàn)在的解法中，判斷依據(jù)僅僅是關于不確定性下選擇的幾個公理，具有更廣的一般性8 兩匹馬賽跑李某對該賽馬打賭馬A與B之間，或A贏，或B贏，無平局李某按下列偏好序?qū)Υ蛸€進行排序：他在A上下賭注2元，如果A贏了，則會獲得元；若A輸了，則分文無收不賭他在B上下賭注2元，如果B贏了，則會獲得元；若B輸了，則分文無收8.1 你能得出結(jié)論說，李某相信A獲勝的概率P大于嗎？解：記李某的效用函數(shù)為，不賭時的財富水平為令，那么在A身上下賭注，那么期望效用，在B身上下賭注，期望效用為，不下注，效用由李某的偏好關系，我們可以得到，即注 一個比較瘋狂的想法是想看看時是否與相同的偏好關系相容事實上，只要財富的邊際效用為正（這也是我一直假設的），這就是不可能的8.2 如果李某是風險規(guī)避的，你能知道的值嗎？解：如果李某是風險規(guī)避的，有，其中由，那么存在一個，使得即有，即得到9 一個消費者具有VNM效用函數(shù)，他面臨四種結(jié)局：A、B、C、D其偏好序為試驗顯示，他認為 （這里的等號表示“無差異”）請對A、B、C、D四種結(jié)局構(gòu)筑出一組VNM效用值解：令，（由連續(xù)性公理）有 ， 10 近年來保險業(yè)在我國得到迅速發(fā)展，本題應用經(jīng)濟學原理分析為什么人們愿意購買保險假定有一戶居民擁有財富10萬元，包括一輛價值2萬元的摩托車該戶居民所住地區(qū)時常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜假定該戶居民的效用函數(shù)為，其中表示財富價值10.1 計算該戶居民的效用期望值解：10.2 如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該戶居民是愿意避免風險，還是愛好風險？解：利用絕對風險規(guī)避系數(shù)來計算，具體地，由，（）可以得到該戶居民是愿意避免風險的10.3 如果居民支付一定數(shù)額的保險費則可以在摩托車被盜時從保險公司得到與摩托車價值相等的賠償試計算該戶居民最多愿意支付多少元的保險費解：思路同第六題該戶居民最多愿意支付的保險費就是使他的期望效用在支付前后不變的保險費設保險費為，有 元即該戶居民最多愿意支付的保險費是6099元10.4 在該保險費中“公平”的保險費（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是多少元？解：公平保險為元保險公司扣除公平保險費的純收入R的期望值為 11 下列三個說法對嗎？請說明理由11.1 摸彩票的期望收益低于消費者付出的貨幣，而消費者卻常常熱衷于此，說明在這種情況下，摸彩票的人是喜愛風險的對注 小賭時可能是風險趨向的，大賭就不一定了11.2 一個人面對兩種收入可能，一種是獲得2000元和1000元收入的概率均為0.5，另一種是獲得2500元和500元收入的概率各為0.5，兩種情況的期望收入相同，故消費者對二者的評價相同不全面它沒有考慮風險問題假如消費者對不同的風險水平不是無差異的，這兩種收入可能的風險是不一樣的（比如，它們收入的標準差是不一樣的），因此，消費者對二者的評價不一定會相同11.3 一個消費者的效用函數(shù)為，有兩種可能的收益，第一種是獲得4元和25元的概率均為0.5，另一種情況是他獲得9元和16元的概率分別為0.4和0.6，則他對第一種的評價好于第二種錯在第一種情況下，；在第二種情況下，即他對第二種的評價好于第一種12 一個人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)的原形是他有機會參與擲硬幣，頭面向上的概率均為如果他下賭注元，若頭面向上，他會擁有；反之，若背面向上，則他只擁有請解出其作為的函數(shù)的最優(yōu)賭注量當，什么是他的關于的最佳選擇？解：設擲硬幣為賭局那么該賭局的效用 使最大化的所滿足的一階條件為： 解得又，因此他的最優(yōu)賭注為當時，直接應用前面得到的結(jié)果，得出他的最佳選擇是注 多說兩句當想強調(diào)是一個函數(shù)的時候，但又不愿意寫出它的自變量時，就常常采用的形式如果只愿意寫出自變量，但又想說是多元函數(shù)，那么可以采用的形式13 一個人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形為他的財產(chǎn)初值為4元他擁有一張獎券，該獎券值12元的概率為0.5，值零元什么是這個人的期望效用？若要他出讓該彩票，他索取的最低價會是多少？解：擁有這張獎券意味著參加了抽獎的賭局，設該賭局為他的期望效用為 若讓他出讓該彩票，他索取的最低價應當是使他出讓前后效用水平不變化的價格，設該價格為，有 ，即解得即他索取的最低價會是5元14 一個人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形為他有機會參加一場賭博，若贏了，他的財產(chǎn)會達到，贏率為；但該賭局下他的財產(chǎn)為的概率為為使他對持有當前財產(chǎn)與參與賭博無差異，則他當前的財產(chǎn)水平應該是多少？解：他對持有當前財產(chǎn)與參與賭博無差異，也就是說，有 ，解得 即，當前財產(chǎn)水平應當為時，才使他對持有當前財產(chǎn)與參與賭博無差異