（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題18 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

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1、（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題18 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)【母題原題1】【2018浙江，22】已知函數(shù)f(x)=lnx（）若f(x)在x=x1，x2(x1x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)88ln2；（）若a34ln2，證明：對(duì)于任意k0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn)【答案】（）見解析（）見解析【解析】分析: （）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件解得x1，x2關(guān)系，再化簡(jiǎn)f(x1)+f(x2)為，利用基本不等式求得取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明不等式，（）一方面利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)有零點(diǎn)，另一方面，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，即至多一個(gè)零點(diǎn).兩者綜合

2、即得結(jié)論.詳解：（）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由得，因?yàn)?，所以由基本不等式得因?yàn)?，所以由題意得設(shè)，則，所以x（0，16）16（16，+）-0+2-4ln2所以g（x）在256，+）上單調(diào)遞增，故，即設(shè)h（x）=，則h（x）=，其中g(shù)（x）=由（）可知g（x）g（16），又a34ln2，故g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，所以h（x）0，即函數(shù)h（x）在（0，+）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）kxa=0至多1個(gè)實(shí)根綜上，當(dāng)a34ln2時(shí)，對(duì)于任意k0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略：(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確

3、定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).【母題原題2】【2017浙江，7】函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】原函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【命題意圖】考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)法則

4、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)式子變形能力、運(yùn)算求解能力、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及分析問題與解決問題的能力 【命題規(guī)律】從全國(guó)看，高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一般有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.浙江卷2018年作為壓軸題，其考查的靈活性可見一斑.【答

5、題模板】求解應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)問題的一般思路：第一步：牢記求導(dǎo)法則，正確求導(dǎo).在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類解答題中，通常都會(huì)涉及求導(dǎo)，正確的求導(dǎo)是解題關(guān)鍵，因此要牢記求導(dǎo)公式，做到正確求導(dǎo)，解題時(shí)應(yīng)先寫出函數(shù)定義域第二步：研究（1）（2）問的關(guān)系，注意利用第(1)問的結(jié)果.在題設(shè)條件下，如果第(1)問的結(jié)果第(2)問能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問的結(jié)果甚至無法解決第三步：根據(jù)條件，尋找或構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，注意分類討論.高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題，一般都會(huì)涉及分類討論，并且討論的步驟也是得分點(diǎn)，所以一定要重視分類討論第四步：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，注意寫全得分關(guān)鍵：在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中，求導(dǎo)的結(jié)果、分類討論

6、的條件、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn)，在解答時(shí)一定要寫清楚【方法總結(jié)】1.導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性的步驟(1)求；(2)確認(rèn)在內(nèi)的符號(hào)；(3)作出結(jié)論：時(shí)為增函數(shù)；時(shí)為減函數(shù)2.圖象法確定函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)的圖象在哪個(gè)區(qū)間位于x軸上方(下方)，說明導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間大于0(小于0)，那么它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)在那個(gè)區(qū)間就單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)3.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的兩個(gè)方法：(1)利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f(x)0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f(x)0”來求解4.

7、求函數(shù)f(x)極值的步驟： (1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f(x)在f(x)0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值【溫馨提醒】導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，“函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)在該點(diǎn)取得極值”的必要不充分條件找函數(shù)的極值點(diǎn)，即先找導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，但并不是說導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)就是極值點(diǎn)(如yx3)，還要保證該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)6.求函數(shù)f(x)在a，b上的最大值和最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值

8、f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值【溫馨提醒】函數(shù)在限定區(qū)間內(nèi)最多只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端點(diǎn)或極大值點(diǎn)取得，最小值一般是在端點(diǎn)或極小值點(diǎn)取得極值與最值的區(qū)別(1)“極值”反映函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)；“最值”是個(gè)整體概念，是整個(gè)區(qū)間上的最大值或最小值，具有絕對(duì)性(2)從個(gè)數(shù)上看，最值若存在，則必定是惟一的，而極值可以同時(shí)存在若干個(gè)或不存在，且極大(小)值并不一定比極小(大)值大(小)(3)從位置上看，極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的

9、端點(diǎn)處取得；有極值未必有最值，有最值未必有極值7. 解決含參數(shù)問題及不等式問題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化：(1)利用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問題可將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用(2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題處理8.關(guān)于最值問題：對(duì)求函數(shù)在某一閉區(qū)間上，先用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)的值和區(qū)間端點(diǎn)的值，最大者為最大值，最小者為最小值，對(duì)求函數(shù)定義域上最值問題或值域，先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而弄清函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像求出極值；對(duì)已知最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，通過參變分離轉(zhuǎn)化為不等式（）（ 是自變量，是參數(shù)）恒成立問題，（），轉(zhuǎn)化為求函

10、數(shù)的最值問題，注意函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系.1【2018屆河北省衡水中學(xué)三輪復(fù)習(xí)系列七】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底)，則的大致圖象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，利用零點(diǎn)存在定理判斷極值點(diǎn)位置，結(jié)合，利用排除法可得結(jié)果.詳解：函數(shù)的極值點(diǎn)就是的根，相當(dāng)于函數(shù)和函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象如圖，由圖知函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)?.所以，可排除選項(xiàng)；由，可排除選項(xiàng)，故選C.點(diǎn)睛：本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但

11、是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.2【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)仿真】設(shè)函數(shù)，（）求曲線在點(diǎn)（1,0）處的切線方程；（）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍【答案】（1）（2）（）,因?yàn)?，所?令，則在單調(diào)遞減， 因?yàn)椋栽谏显?，在單調(diào)遞增. , 因?yàn)椋栽趨^(qū)間上的值域?yàn)?3【浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2018年5月模擬】已知函數(shù)，其中.（）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；（）若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，求的值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化

12、為在上有解，再求a的取值范圍.(2)先對(duì)a分類討論求函數(shù)在區(qū)間上極大值，得，再求和a的值.詳解：（1）= 在上有解，所以在上有解，設(shè)g(x)=所以函數(shù)g(x)在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，+）上是增函數(shù).所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由極大值，得（*）又，代入（*）得設(shè)函數(shù)，則所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在由極大值.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值、極值，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本題的難點(diǎn)求得極大值，得（*）后，如何求的值.這里又利用了構(gòu)造函數(shù)和求導(dǎo)解答.4【2018屆浙江省溫州市9月一模】已

13、知函數(shù)（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求證：【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）求出， 解不等式即可得的單調(diào)增區(qū)間；（2）等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明，從而可得結(jié)果.試題解析：（1） ，令，解得或，又由于函數(shù)的定義域?yàn)?，的單調(diào)遞增區(qū)間為和（2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，恒有，即5【2018屆山東省濰坊市青州市三?！恳阎?1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】分析：（1）由函數(shù)，求得，通過討論實(shí)數(shù)的取值范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造函數(shù)，

14、與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，問題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可作出證明.詳解：（1），當(dāng)時(shí)，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，時(shí)，時(shí)，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，不妨設(shè)，由條件知，即構(gòu)造函數(shù)，與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由可得而，知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知欲證，只需證，即證，考慮到在上遞增，只需證由知，只需證令 ，則 ，所以為增函數(shù)，又，結(jié)合知，即成立，即成立. 點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1

15、)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6【2018屆江蘇省鹽城中學(xué)全仿真】已知函數(shù)，.(I)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；()若存在極小值點(diǎn)，且，其中，求證: ；()試問過點(diǎn)可作多少條直線與的圖像相切?并說明理由.【答案】()單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；()證明見解析；()答案見解析.【解析】分析：（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算即可得到單調(diào)區(qū)間；（2）若存在極小值點(diǎn)，則，由可得，化簡(jiǎn)代入，即可得到證明；解析：(1) ，所以的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為

16、；(2) ，存在極小值點(diǎn)，則.，則，所以 代入所以 ，則，又，所以；(3) 時(shí)，有1條切線；時(shí)，有2條切線.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是，依題意：即，化簡(jiǎn)得：設(shè)，故函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是曲線切線的條數(shù).，當(dāng)時(shí)， ，在上恰有一個(gè)零點(diǎn)1；當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，在上單調(diào)遞減，且，故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， 在上恰有個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，在上遞減，在上遞增，故在至多有兩個(gè)零點(diǎn)，且又函數(shù)在單調(diào)遞增，且值域是，故對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在，使，此時(shí) 由于，函數(shù)在上必有一零點(diǎn)； 先證明當(dāng)時(shí)， ，即證若，而，由于若，構(gòu)建函數(shù) ， 在為增函數(shù)， 綜上時(shí)，所以 ，故又，所以在必有一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn)綜上：時(shí)，有1條切線；時(shí)，有2條切線

17、.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)中的作用(1)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)，歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等(2)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決7【2018屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)模擬卷（二）】已知函數(shù)，（，且）.（1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，設(shè) ，是的導(dǎo)函數(shù)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明.【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：（1）由題意，求導(dǎo)，若k0，則g（x）0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得g（x）最大值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）構(gòu)造

18、輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，即可求得f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)詳解: （1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，令，求導(dǎo)，由，則，若，則，所以在上是增函數(shù)，所以，符合題意，當(dāng)時(shí)，令，解得，則在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不符合題意，綜上可知的取值范圍為.其中，則，當(dāng)時(shí)，由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一的零點(diǎn)，取，則，令，知在上是減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，即，由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一，由的單調(diào)遞減區(qū)間是，則在上僅存在唯一的零點(diǎn)，綜上可知共有三個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)睛：（1）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）的判斷方法：結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；利用函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程根的個(gè)

19、數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（2）本題將方程實(shí)根個(gè)數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題解決，解題時(shí)注意換元法的應(yīng)用，以便將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題處理.8【2018屆四川省成都市龍泉驛區(qū)第二中學(xué)校3月市“二診”】設(shè)a 0，已知函數(shù) (x0)()討論函數(shù)的單調(diào)性；()試判斷函數(shù)在上是否有兩個(gè)零點(diǎn)，并說明理由【答案】(1)見解析(2) 函數(shù)沒有兩個(gè)零點(diǎn)【解析】試題分析：（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（）假設(shè)2個(gè)零點(diǎn)，推出矛盾即可試題解析：（），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)， ， ，即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， ，由得，, 可知，由的圖象得：在和上單調(diào)遞增； 在 上單調(diào)遞減 （

20、）解法：函數(shù)在上不存在兩個(gè)零點(diǎn)假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（）知， ，因?yàn)?，則，即，由知，所以，設(shè)，則（）， 由，得，設(shè)，得，所以在遞增，得，即，這與（）式矛盾， 所以上假設(shè)不成立，即函數(shù)沒有兩個(gè)零點(diǎn)9【2018屆安徽亳州市渦陽一中最后一卷】已知.（1）若，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）當(dāng)，時(shí)，證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；（3）若的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：.【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】分析：（1）在上遞增， 對(duì)恒成立即對(duì)恒成立， 只需即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為，當(dāng)時(shí)，即，

21、從而可得結(jié)果；（3）由已知得，化為，可得，只需證明即可得結(jié)論.（2）當(dāng)，時(shí)，其定義域是， ， ， 時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為當(dāng)時(shí)，即 函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)（3）由已知得兩式相減，得 ，由及，得 令， ， 在上遞減， ， 10【2018屆河南省洛陽市第三次統(tǒng)一考試】已知函數(shù)，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：不等式恒成立（其中，）.【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為證明 恒成立設(shè)，則上式等價(jià)于，要證明對(duì)任意，恒成立，要證明g（x1+x2）

22、g（x1-x2）對(duì)任意x1R，x2（0，+）恒成立，即證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可詳解：（1）由于.1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減；2）當(dāng)時(shí)，由得或.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，遞增；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）依題意 恒成立.設(shè)，則上式等價(jià)于，要證明對(duì)任意，恒成立，即證明在上單調(diào)遞增，又，只需證明即可.令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，那么，當(dāng)時(shí)，所以 ；當(dāng)時(shí)， ，恒成立.從而原不等式成立.11【2018屆四川省南

23、充市三診】函數(shù).（）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求單調(diào)遞減區(qū)間和極值（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）； （）若對(duì)任意，恒成立.求的取值范圍.【答案】（）的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2，無極大值.（）【解析】分析：（）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出k的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)單調(diào)區(qū)間及其極值；（）由題意可知，函數(shù)f（x）-x在（0，+）上遞增，即該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于等于零在（0，+）恒成立，然后轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的最值問題來解詳解：（）由，知，.因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直，所以，即，得. 所以.當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為.綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2，無極大值.（）因?yàn)?/p>

24、對(duì)任意，恒成立所以對(duì)任意恒成立，令，則在單調(diào)遞減，所以在恒成立，所以恒成立.令，則.所以的取值范圍是.點(diǎn)睛：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性有兩種題型，一種是求單調(diào)區(qū)間，只需令導(dǎo)數(shù)大于0求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0求減區(qū)間；另一種是已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，若已知函數(shù)單增，只需函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上恒大于等于0即可，若已知函數(shù)單減，只需函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于等于0即可.注意等號(hào)！12【2018屆安徽省合肥市高三三?！恳阎瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（）求證：.【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：() 函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理與函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；()由()知，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，在上單調(diào)遞減，問題轉(zhuǎn)化為，要證，只需證，即證，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而可得結(jié)論.詳解： ()，.設(shè)，則.令，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).不妨設(shè)，則.當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為. 函數(shù)在上也單調(diào)遞減，.要證，只需證，即證.設(shè)函數(shù)，則.設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，即.在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，則，.