2020屆高中數(shù)學(xué)《簡單幾何體的表面積與體積》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修2

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1、第13課時簡單幾何體的表面積與體積1.通過對柱、錐、臺、球的研究,了解球的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式),掌握柱、錐、臺、球的表面積與體積的求法,能運(yùn)用公式進(jìn)行計算并解決有關(guān)的實際問題.2.讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開過程,感知幾何體的形狀,通過對照比較柱體、錐體、臺體,掌握三者之間的表面積與體積的轉(zhuǎn)化.3.感受幾何體體積和表面積公式的推導(dǎo)過程,提高空間思維能力和空間想象能力,增強(qiáng)探索問題和解決問題的能力.2020年6月11號,神州十號發(fā)射成功并在太空與天宮一號對接成功,女航天員王亞平在天宮倉內(nèi)上了一堂生動的太空課,其中水球演示實驗非常神奇,即水在太空中的形狀是球狀的形式.其原理就是在

2、失重的狀態(tài)下,影響水的形狀的主要因素就是水的表面張力,而表面張力的作用就是壓縮水的表面積,而在相同體積下的幾何體中,球的表面積最小,這就是為什么在太空中水的形狀是球狀的原因.問題1: 直棱柱、棱錐、棱臺表面積展開圖是什么,該如何計算?直棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算,可以先計算其側(cè)面積,然后加上它們的底面積.(1)從側(cè)面展開圖可知:直棱柱側(cè)面積S側(cè)=ch,底面周長為c,側(cè)棱為h.(2)棱錐側(cè)面積S側(cè)=,底面周長為c,斜高為h.(3)棱臺側(cè)面積S側(cè)=,上、下底面的周長分別為c、c,斜高為h .問題2:圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是什么?側(cè)面積及表面積公式呢?圓柱:側(cè)面展開圖是矩形,長是圓柱底

3、面圓的周長,寬是圓柱的高(母線),S圓柱側(cè)=2rl,S圓柱表=2r(r+l),其中r為圓柱底面半徑,l為母線長.圓錐:側(cè)面展開圖為一個扇形,扇形的半徑是圓錐的母線,弧長等于圓錐底面周長,側(cè)面展開圖的扇形圓心角為=360,S圓錐側(cè)=rl,S圓錐表=r(r+l),其中r為圓錐底面半徑,l為母線長.圓臺:側(cè)面展開圖是扇環(huán),內(nèi)弧長等于圓臺上底周長,外弧長等于圓臺下底周長,側(cè)面展開圖的扇環(huán)圓心角為=360,S圓臺側(cè)=(r+r)l,S圓臺表=(r2+rl+rl+r2).問題3:寫出柱體、錐體、臺體、球的體積計算公式.(1)V柱=Sh,其中S和h分別是柱體的底面積和高.特別地,V圓柱=r2h,其中r和h分別

4、是圓柱的底面半徑和高.(2)V錐=,其中S和h分別是錐體的底面積和高.特別地,V圓錐=,其中r和h分別是圓錐的底面半徑和高.(3)V臺=(S+S)h,其中S、S和h分別是臺體的上底面面積、下底面面積和高.特別地,V圓臺=(r2+rr+r2)h,其中r、r和h分別是圓臺的上底面半徑、下底面半徑和高.(4)V球=R3.問題4:柱、錐、臺的體積計算公式有何關(guān)系?從錐、臺、柱的形狀可以看出,當(dāng)臺體上底縮為一點(diǎn)時,臺成為錐;當(dāng)臺體上底放大為與下底相同時,臺成為柱.因此只要分別令S=S和S=0便可以從臺體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式.從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺體的體積公式.柱體、錐體、臺體的體積公式之

5、間存在的關(guān)系.(S、S分別為上、下底面面積,h為柱、錐、臺的高)1.圓錐的底面半徑為1,高為,則圓錐的表面積為().A.B.2C.3D.42.長方體的高為1,底面積為2,垂直于底的對角面的面積是,則長方體的側(cè)面積等于().A.2B.4C.6D.33.半徑為R的半圓卷成一個圓錐,這個圓錐的體積為.4.一個底面直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個鐵球,球全部沒入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面積.棱柱、棱錐、棱臺的體積與表面積已知棱長為5,底面為正方形,各側(cè)面均為正三角形的四棱錐,求它的表面積與體積.球的表面積與體積已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半且AC=BC=6,

6、AB=4,求球的表面積與球的體積.簡單組合體的表面積和體積如圖,在四邊形ABCD中,DAB=90,ADC=135,AB=5,CD=2,AD=2.求四邊形ABCD繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積.如圖所示,在長方體ABCD-ABCD中,用截面截下一個三棱錐C-ADD,求三棱錐C-ADD的體積與剩余部分的體積之比.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱錐O-ABCD的體積.牧民居住的蒙古包的形狀是一個圓柱與圓錐的組合體,尺寸如圖所示,請你幫忙算出要搭建這樣的一個蒙古包至少需要多少m2的篷布,這個蒙古包占多大的體積?(精確到0.01 )1.一個球的

7、大圓面積為9,則球的表面積和體積分別為().A.9,27B.9,36C.36,36D.36,482.若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,則這個圓錐的表面積是().A.3B.3C.6D.93.長方體的三個面的面積分別為2、6和9,則長方體的體積為.4.如圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求這個圓臺的表面積和體積.(2020年江蘇卷)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1V2=.考題變式(我來改編):第13課時簡單幾何體的表面積與體積知識體系梳理問題1:(1)ch(2)

8、ch(3)(c+c)h問題2:矩形周長扇形母線扇環(huán)上底周長下底周長問題3:(1)Shr2h(2)Shr2h問題4:錐柱S=SS=0基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.Cl=2, =r(r+l)=(1+2)=3.2.C設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c,則c=1,ab=2,c=,a=2,b=1,故S側(cè)=2(ac+bc)=6.3.R3設(shè)圓錐的底面半徑為r,則有R=2r,所以r=,所以圓錐高為R,所以V圓錐=()2R=R3.4.解:水面上升的體積就等于球的體積,設(shè)球的半徑為R,圓柱底面半徑為r.則V=r2h=R3,R=12.所以球的表面積S=4R2=4144=576(平方厘米).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】如圖,四棱

9、錐S-ABCD的各棱長均為5,各側(cè)面都是全等的正三角形.設(shè)E為AB的中點(diǎn),則SEAB.SE=,S側(cè)=4SSAB=4ABSE=25=25,S表=S側(cè)+S底=25+25.易知四棱錐的高SO= .V=S底h=25=.【小結(jié)】解決棱柱、棱錐、棱臺的體積與表面積問題的關(guān)鍵是找到高,這需要在常見的幾何體中構(gòu)造特殊圖形:一般地,在棱柱中構(gòu)造矩形、在棱錐中構(gòu)造直角三角形、在棱臺中構(gòu)造直角梯形,將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決.探究二:【解析】設(shè)球心為O,球半徑為R,作OO1平面ABC于O1,如圖.由于OA=OB=OC=R,則O1是ABC的外心,設(shè)M是AB的中點(diǎn),由于AC=BC,則O1CM,連接O1A.設(shè)O1M=x

10、,易知O1MAB,則O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又O1A=O1C,=-x,解得x=,則O1A=O1B=O1C=.在RtOO1A中,O1O=,OO1A=90,OA=R,由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4R2=54,V球=R3=27.【小結(jié)】球的截面問題主要考查球的半徑、截面圓的半徑、球心到截面的距離構(gòu)成直角三角形的計算問題,注意大圓半徑與小圓半徑之間的轉(zhuǎn)化.探究三:【解析】過點(diǎn)C作CEAB交AB于點(diǎn)E,將四邊形ABCD繞AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是由直角梯形ADCE旋轉(zhuǎn)出的圓臺與CBE旋轉(zhuǎn)出的圓錐拼接而成的組合體.由圖計算可得CE=4,AE=2,CD=2,

11、BE=3,BC=5,S表= AD2+(CE+AD) CD+ CE BC=24+12;V=(CE2+CE AD+AD2) AE+CE2 BE=.【小結(jié)】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的圖像,確定形成的旋轉(zhuǎn)體由哪些簡單幾何體組成,再套用公式求表面積和體積.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:已知長方體可以看成直四棱柱ADDA-BCCB,設(shè)它的底面ADDA的面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh. 而三棱錐C-ADD的底面面積為S,高是h,因此,三棱錐C-ADD的體積VC-ADD=Sh=Sh.剩余部分的體積是Sh-Sh=Sh.所以三棱錐C-ADD的體積與剩余部分的體積之比為ShSh=15.應(yīng)用二:如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O1,則O

12、1為矩形ABCD所在小圓的圓心,連接OO1,則OO1面ABCD,易求得O1C=2,又OC=4,OO1=2,棱錐體積V=622=8.應(yīng)用三:上部分圓錐體的母線長為,其側(cè)面積為S1=,下部分圓柱體的側(cè)面積為S2=51.8.S=S1+S2=+51.850.03(m2).所以,要搭建這樣的一個蒙古包至少需要約50.03m2的篷布.V=()21.8+()21.2=35.325+7.8543.18(m3).這個蒙古包占的體積約為43.18(m3).基礎(chǔ)智能檢測1.C由球的大圓面積為9,得到球的半徑R=3,S表=4R2=36,V=R3=36.2.A設(shè)底面圓半徑為r,則(2r)2=,r=1,母線l=2,S底=r2=,S側(cè)=rl=2,S表=3.故選A.3.6設(shè)長方體的三邊長為a,b,c,則則V=abc=6.4.解:設(shè)圓臺的上底半徑為r,下底半徑為R.由圖知母線l=8,2r=16,2R=24,所以r=2,R=3,S側(cè)=8=40,所以S表=22+32+40=53,h=3,所以V=(4+9)3=19.全新視角拓展由題意知,三棱錐F-ADE與三棱柱A1B1C-ABC的高之比為,底面積之比為,故V1V2=.思維導(dǎo)圖構(gòu)建S圓柱側(cè)=2rlS圓錐側(cè)=rlS圓臺側(cè)=(r+r)lV圓柱=r2hV圓錐=r2hV圓臺=h(r2+rr+r2)S球=4R2