2020屆高中數(shù)學(xué)《簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修2

第13課時(shí)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積1.通過(guò)對(duì)柱、錐、臺(tái)、球的研究,了解球的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式),掌握柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積的求法,能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算并解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.2.讓學(xué)生經(jīng)歷幾何體的側(cè)面展開(kāi)過(guò)程,感知幾何體的形狀,通過(guò)對(duì)照比較柱體、錐體、臺(tái)體,掌握三者之間的表面積與體積的轉(zhuǎn)化.3.感受幾何體體積和表面積公式的推導(dǎo)過(guò)程,提高空間思維能力和空間想象能力,增強(qiáng)探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.2020年6月11號(hào),神州十號(hào)發(fā)射成功并在太空與天宮一號(hào)對(duì)接成功,女航天員王亞平在天宮倉(cāng)內(nèi)上了一堂生動(dòng)的太空課,其中水球演示實(shí)驗(yàn)非常神奇,即水在太空中的形狀是球狀的形式.其原理就是在失重的狀態(tài)下,影響水的形狀的主要因素就是水的表面張力,而表面張力的作用就是壓縮水的表面積,而在相同體積下的幾何體中,球的表面積最小,這就是為什么在太空中水的形狀是球狀的原因.問(wèn)題1: 直棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積展開(kāi)圖是什么,該如何計(jì)算?直棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的計(jì)算,可以先計(jì)算其側(cè)面積,然后加上它們的底面積.(1)從側(cè)面展開(kāi)圖可知:直棱柱側(cè)面積S側(cè)=ch,底面周長(zhǎng)為c,側(cè)棱為h. (2)棱錐側(cè)面積S側(cè)=,底面周長(zhǎng)為c,斜高為h'. (3)棱臺(tái)側(cè)面積S側(cè)=,上、下底面的周長(zhǎng)分別為c'、c,斜高為h' . 問(wèn)題2:圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖分別是什么?側(cè)面積及表面積公式呢?圓柱:側(cè)面展開(kāi)圖是矩形,長(zhǎng)是圓柱底面圓的周長(zhǎng),寬是圓柱的高(母線(xiàn)),S圓柱側(cè)=2rl,S圓柱表=2r(r+l),其中r為圓柱底面半徑,l為母線(xiàn)長(zhǎng). 圓錐:側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)扇形,扇形的半徑是圓錐的母線(xiàn),弧長(zhǎng)等于圓錐底面周長(zhǎng),側(cè)面展開(kāi)圖的扇形圓心角為=×360°,S圓錐側(cè)=rl,S圓錐表=r(r+l),其中r為圓錐底面半徑,l為母線(xiàn)長(zhǎng). 圓臺(tái):側(cè)面展開(kāi)圖是扇環(huán),內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng),外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng),側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)圓心角為=×360°,S圓臺(tái)側(cè)=(r+r')l,S圓臺(tái)表=(r2+rl+r'l+r'2). 問(wèn)題3:寫(xiě)出柱體、錐體、臺(tái)體、球的體積計(jì)算公式.(1)V柱=Sh,其中S和h分別是柱體的底面積和高. 特別地,V圓柱=r2h,其中r和h分別是圓柱的底面半徑和高. (2)V錐=,其中S和h分別是錐體的底面積和高. 特別地,V圓錐=,其中r和h分別是圓錐的底面半徑和高. (3)V臺(tái)=(S+S')h,其中S、S'和h分別是臺(tái)體的上底面面積、下底面面積和高.特別地,V圓臺(tái)=(r2+rr'+r'2)h,其中r、r'和h分別是圓臺(tái)的上底面半徑、下底面半徑和高.(4)V球=R3.問(wèn)題4:柱、錐、臺(tái)的體積計(jì)算公式有何關(guān)系?從錐、臺(tái)、柱的形狀可以看出,當(dāng)臺(tái)體上底縮為一點(diǎn)時(shí),臺(tái)成為錐;當(dāng)臺(tái)體上底放大為與下底相同時(shí),臺(tái)成為柱.因此只要分別令S'=S和S'=0便可以從臺(tái)體的體積公式得到柱、錐的相應(yīng)公式.從而錐、柱的公式可以統(tǒng)一為臺(tái)體的體積公式. 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間存在的關(guān)系.(S'、S分別為上、下底面面積,h為柱、錐、臺(tái)的高)1.圓錐的底面半徑為1,高為,則圓錐的表面積為().A.B.2C.3D.42.長(zhǎng)方體的高為1,底面積為2,垂直于底的對(duì)角面的面積是,則長(zhǎng)方體的側(cè)面積等于().A.2B.4C.6D.33.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐,這個(gè)圓錐的體積為. 4.一個(gè)底面直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球,球全部沒(méi)入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面積.棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積與表面積已知棱長(zhǎng)為5,底面為正方形,各側(cè)面均為正三角形的四棱錐,求它的表面積與體積.球的表面積與體積已知過(guò)球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的距離等于球半徑的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的表面積與球的體積.簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積如圖,在四邊形ABCD中,DAB=90°,ADC=135°,AB=5,CD=2,AD=2.求四邊形ABCD繞AB所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一個(gè)三棱錐C-A'DD',求三棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比.已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上,且AB=6,BC=2,求棱錐O-ABCD的體積.牧民居住的蒙古包的形狀是一個(gè)圓柱與圓錐的組合體,尺寸如圖所示,請(qǐng)你幫忙算出要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要多少m2的篷布,這個(gè)蒙古包占多大的體積?(精確到0.01 )1.一個(gè)球的大圓面積為9,則球的表面積和體積分別為().A.9,27B.9,36C.36,36D.36,482.若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為,則這個(gè)圓錐的表面積是().A.3B.3C.6D.93.長(zhǎng)方體的三個(gè)面的面積分別為2、6和9,則長(zhǎng)方體的體積為. 4.如圖是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求這個(gè)圓臺(tái)的表面積和體積.(2020年·江蘇卷)如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分別是AB,AC,AA1的中點(diǎn),設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V1,三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2,則V1V2=. 考題變式(我來(lái)改編):第13課時(shí)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積知識(shí)體系梳理問(wèn)題1:(1)ch(2)ch'(3)(c+c')h'問(wèn)題2:矩形周長(zhǎng)扇形母線(xiàn)扇環(huán)上底周長(zhǎng)下底周長(zhǎng)問(wèn)題3:(1)Shr2h(2)Shr2h問(wèn)題4:錐柱S'=SS'=0基礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.Cl=2, =r(r+l)=(1+2)=3.2.C設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c,則c=1,ab=2,·c=,a=2,b=1,故S側(cè)=2(ac+bc)=6.3.R3設(shè)圓錐的底面半徑為r,則有R=2r,所以r=,所以圓錐高為R,所以V圓錐=()2·R=R3.4.解:水面上升的體積就等于球的體積,設(shè)球的半徑為R,圓柱底面半徑為r.則V=r2h=R3,R=12.所以球的表面積S=4R2=4×144=576(平方厘米).重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】如圖,四棱錐S-ABCD的各棱長(zhǎng)均為5,各側(cè)面都是全等的正三角形.設(shè)E為AB的中點(diǎn),則SEAB.SE=,S側(cè)=4SSAB=4××AB×SE=2×5×=25,S表=S側(cè)+S底=25+25.易知四棱錐的高SO= .V=S底h=×25×=.【小結(jié)】解決棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積與表面積問(wèn)題的關(guān)鍵是找到高,這需要在常見(jiàn)的幾何體中構(gòu)造特殊圖形:一般地,在棱柱中構(gòu)造矩形、在棱錐中構(gòu)造直角三角形、在棱臺(tái)中構(gòu)造直角梯形,將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題解決.探究二:【解析】設(shè)球心為O,球半徑為R,作OO1平面ABC于O1,如圖.由于OA=OB=OC=R,則O1是ABC的外心,設(shè)M是AB的中點(diǎn),由于A(yíng)C=BC,則O1CM,連接O1A.設(shè)O1M=x,易知O1MAB,則O1A=,O1C=CM-O1M=-x.又O1A=O1C,=-x,解得x=,則O1A=O1B=O1C=.在RtOO1A中,O1O=,OO1A=90°,OA=R,由勾股定理得()2+()2=R2,解得R=.故S球=4R2=54,V球=R3=27.【小結(jié)】球的截面問(wèn)題主要考查球的半徑、截面圓的半徑、球心到截面的距離構(gòu)成直角三角形的計(jì)算問(wèn)題,注意大圓半徑與小圓半徑之間的轉(zhuǎn)化.探究三:【解析】過(guò)點(diǎn)C作CEAB交AB于點(diǎn)E,將四邊形ABCD繞AB所在直線(xiàn)為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是由直角梯形ADCE旋轉(zhuǎn)出的圓臺(tái)與CBE旋轉(zhuǎn)出的圓錐拼接而成的組合體.由圖計(jì)算可得CE=4,AE=2,CD=2,BE=3,BC=5,S表=· AD2+(CE+AD)· CD+· CE· BC=24+12;V=(CE2+CE· AD+AD2) AE+CE2· BE=.【小結(jié)】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的圖像,確定形成的旋轉(zhuǎn)體由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成,再套用公式求表面積和體積.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:已知長(zhǎng)方體可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B',設(shè)它的底面ADD'A'的面積為S,高為h,則它的體積為V=Sh. 而三棱錐C-A'DD'的底面面積為S,高是h,因此,三棱錐C-A'DD'的體積VC-A'DD'=×Sh=Sh.剩余部分的體積是Sh-Sh=Sh.所以三棱錐C-A'DD'的體積與剩余部分的體積之比為ShSh=15.應(yīng)用二:如圖,連接AC,BD交于點(diǎn)O1,則O1為矩形ABCD所在小圓的圓心,連接OO1,則OO1面ABCD,易求得O1C=2,又OC=4,OO1=2,棱錐體積V=×6×2×2=8.應(yīng)用三:上部分圓錐體的母線(xiàn)長(zhǎng)為,其側(cè)面積為S1=××,下部分圓柱體的側(cè)面積為S2=×5×1.8.S=S1+S2=××+×5×1.850.03(m2).所以,要搭建這樣的一個(gè)蒙古包至少需要約50.03m2的篷布.V=×()2×1.8+××()2×1.2=35.325+7.8543.18(m3).這個(gè)蒙古包占的體積約為43.18(m3).基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.C由球的大圓面積為9,得到球的半徑R=3,S表=4R2=36,V=R3=36.2.A設(shè)底面圓半徑為r,則(2r)2=,r=1,母線(xiàn)l=2,S底=r2=,S側(cè)=rl=2,S表=3.故選A.3.6設(shè)長(zhǎng)方體的三邊長(zhǎng)為a,b,c,則則V=abc=6.4.解:設(shè)圓臺(tái)的上底半徑為r,下底半徑為R.由圖知母線(xiàn)l=8,2r=×16,2R=×24,所以r=2,R=3,S側(cè)=××8=40,所以S表=×22+×32+40=53,h=3,所以V=(4+9)×3=19.全新視角拓展由題意知,三棱錐F-ADE與三棱柱A1B1C-ABC的高之比為,底面積之比為,故V1V2=.思維導(dǎo)圖構(gòu)建S圓柱側(cè)=2rlS圓錐側(cè)=rlS圓臺(tái)側(cè)=(r+r')lV圓柱=r2hV圓錐=r2hV圓臺(tái)=h(r2+rr'+r'2)S球=4R2