2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大（?。┲祵W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大（?。┲祵W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大（?。┲祵W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（16頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值1理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義2會(huì)借助單調(diào)性求最值3掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值1最大值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)2最小值(1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，稱M是函數(shù)yf(x)的最小值(2)幾何意義：函數(shù)yf(x)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)溫馨提示：(1)最大(小)值必須是一個(gè)函數(shù)值

2、，是值域中的一個(gè)元素(2)并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值，如函數(shù)y，既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值(3)最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，即在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)研究其最值1函數(shù)yf(x)在2,2上的圖象如圖所示，試指出此函數(shù)的最小值、最大值和相應(yīng)的x的值答案f(x)的最小值為1，此時(shí)x2；f(x)的最大值為2，此時(shí)x12判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值()(2)函數(shù)的最小值一定比最大值小()(3)函數(shù)f(x)x在2,3)上的最大值為2，無(wú)最小值()(4)函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖象中的最高點(diǎn)，且該點(diǎn)只有一個(gè)()答案(1)(2)(3)(4)題型一圖象法求函數(shù)的最大(小)值【典例1】(1)已

3、知函數(shù)f(x)求f(x)的最大值、最小值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值思路導(dǎo)引作出函數(shù)f(x)的圖象，結(jié)合圖象求解解(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖1)由圖象可知，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取最大值為f(1)1；當(dāng)x0時(shí)，f(x)取最小值f(0)0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.(2)f(x)的圖象如圖2所示，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，0)和0，)，函數(shù)的最小值為f(0)1.圖象法求最大(小)值的步驟針對(duì)訓(xùn)練1利用圖象求下列函數(shù)的最大值和最小值(1)y，x1,3；(2)y|x1|x2|.解(1)作出函數(shù)圖象如右圖所示，該函數(shù)的圖象既有最高點(diǎn)，也有最低點(diǎn)(1

4、，2)，所以函數(shù)y，x1,3有最大值，最小值2；(2)y|x1|x2|作出函數(shù)的圖象，由右圖可知，y3,3所以函數(shù)的最大值為3，最小值為3.題型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值【典例2】已知函數(shù)f(x)x.(1)證明：f(x)在(1，)內(nèi)是增函數(shù)；(2)求f(x)在2,4上的最值解(1)證明：設(shè)x1，x2(1，)，且x1x11，x1x21，x1x210，故(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，)內(nèi)是增函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函數(shù)，當(dāng)x2,4時(shí)，f(2)f(x)f(4)又f(2)2，f(4)4，f(x)在2,4上的最大值為，最小值為.函數(shù)的最值與單調(diào)性的

5、關(guān)系(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是增函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是減函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最大值f(b)(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b上是減函數(shù)，在區(qū)間b，c)上是增函數(shù)，則函數(shù)yf(x)，x(a，c)在xb處有最小值f(b)(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是增(減)函數(shù)，則在區(qū)間a，b的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)值、最大(小)值針對(duì)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)，x2,5，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解任取2x1x25，則f(x1)，f(x2)，f(x2)f(x1)，2x1x25，x1x20，x110，f(x2)f(x1)

6、0.f(x2)f(x1)f(x)在區(qū)間2,5上是單調(diào)減函數(shù)f(x)maxf(2)2，f(x)minf(5).題型三求二次函數(shù)的最大(小)值【典例3】(1)已知函數(shù)f(x)3x212x5，x0,3，求函數(shù)的最大值和最小值(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值思路導(dǎo)引找出f(x)的對(duì)稱軸，分析對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性求最值解(1)函數(shù)f(x)3x212x53(x2)27，函數(shù)f(x)3(x2)27的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)在0,2)上遞減，在2,3上遞增，并且f(0)5，f(2)7，f(3)4，所以在0,3上，f(x)maxf(0)5，f(x)minf(2)7

7、.(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是xa，當(dāng)a4時(shí)，f(x)在2,4上是減函數(shù)，f(x)minf(4)188a.當(dāng)2a4時(shí)，f(x)minf(a)2a2.f(x)min變式本例(2)條件變?yōu)椋鬴(x)x22ax2，當(dāng)x2,4時(shí)，f(x)a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解在2,4內(nèi)，f(x)a恒成立，即ax22ax2在2,4內(nèi)恒成立，即af(x)max，x2,4又f(x)max當(dāng)a3時(shí)，a188a，解得a2，此時(shí)有2a3.當(dāng)a3時(shí)，a64a，解得a，此時(shí)有a3.綜上有實(shí)數(shù)a的取值范圍是2，)求解二次函數(shù)最值問(wèn)題的順序(1)確定對(duì)稱軸與拋物線的開口方向、作圖(2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置(3)觀察單調(diào)性寫出最

8、值針對(duì)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x22xa(x0,2)有最小值2，則f(x)的最大值為()A4 B6 C1 D2解析函數(shù)f(x)x22xa的對(duì)稱軸為x1，在0,2上為增函數(shù)，所以f(x)的最小值為f(0)a2，f(x)的最大值為f(2)8a6.答案B4已知函數(shù)f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值為f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析如圖可知f(x)在1，a內(nèi)是單調(diào)遞減的，又f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，3，1400時(shí)，f(x)60000100x是減函數(shù)，f(x)60000100400200000)的單調(diào)性來(lái)求其最值.2.函數(shù)的值域與最大(小)值的區(qū)別(1)函數(shù)的值域是一個(gè)集合，函數(shù)的最

9、值是一個(gè)函數(shù)值，它是值域的一個(gè)元素，即定義域中一定存在一個(gè)x0，使f(x0)M(最值)(2)函數(shù)的值域一定存在，但函數(shù)并不一定有最大(小)值，如yx在x(1,1)時(shí)無(wú)最值.1函數(shù)f(x)在2，)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分別為()A3,0B3,1C3，無(wú)最小值D3，2解析觀察圖象可以知道，圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，從而其最大值是3；另外從圖象看，無(wú)最低點(diǎn)，即該函數(shù)不存在最小值故選C.答案C2已知函數(shù)f(x)|x|，x1,3，則f(x)的最大值為()A0 B1 C2 D3解析作出函數(shù)f(x)|x|，x1,3的圖象，如圖所示根據(jù)函數(shù)圖象可知，f(x)的最大值為3.答案D3下列函數(shù)

10、在1,4上最大值為3的是()Ay2 By3x2Cyx2Dy1x解析B、C在1,4上均為增函數(shù)，A、D在1,4上均為減函數(shù)，代入端點(diǎn)值，即可求得最值，故選A.答案A4.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x為_(m)解析設(shè)矩形花園的寬為y m，則，即y40x，矩形花園的面積Sx(40x)x240x(x20)2400，當(dāng)x20時(shí)，面積最大答案205已知二次函數(shù)yx24x5，分別求下列條件下函數(shù)的最小值：(1)x1,0；(2)xa，a1解(1)二次函數(shù)yx24x5的對(duì)稱軸為x2且開口向上，二次函數(shù)在x1,0上是單調(diào)遞減的ymin024055.(2)當(dāng)a2

11、時(shí)，函數(shù)在xa，a1上是單調(diào)遞增的，ymina24a5；當(dāng)a12即a1時(shí)，函數(shù)在a，a1上是單調(diào)遞減的，ymin(a1)24(a1)5a22a2；當(dāng)a2a1即1a0時(shí)，有(2a1)(a1)2，解得a2；當(dāng)a0時(shí)，有(a1)(2a1)2，解得a2.綜上知a2.答案C5當(dāng)0x2時(shí)，ax22x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1 B(，0C(，0) D(0，)解析令f(x)x22x，則f(x)x22x(x1)21.又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0.ax1，則f(x1)f(x2).由于x2x1，所以x2x10，且(2x11)(2x21)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x

12、2)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在1,5上是減函數(shù)，因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值，即最大值為f(1)3，最小值為f(5).10求函數(shù)f(x)x22ax2在1,1上的最小值解函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線xa，且函數(shù)圖象開口向上，如圖所示：當(dāng)a1時(shí)，f(x)在1,1上單調(diào)遞減，故f(x)minf(1)32a；當(dāng)1a1時(shí)，f(x)在1,1上先減后增，故f(x)minf(a)2a2；當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(1).(1)求證：f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)(2)求f(x)在3,3上的最小值解(1)證明：設(shè)x1，x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10，因?yàn)閤0時(shí)，f(x)0，所以f(x2x1)0，又因?yàn)閤2(x2x1)x1，所以f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1)，所以f(x2)f(x1)f(x2x1)0，所以f(x2)f(x1)所以f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)在3,3上也是減函數(shù)，所以f(x)在3,3上的最小值為f(3)而f(3)f(1)f(2)3f(1)32.所以函數(shù)f(x)在3,3上的最小值是2.16