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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大(小)值學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大(?。┲祵W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值1理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義2會(huì)借助單調(diào)性求最值3掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值1最大值(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:xI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)M.那么,稱M是函數(shù)yf(x)的最大值(2)幾何意義:函數(shù)yf(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)2最小值(1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:xI,都有f(x)M;x0I,使得f(x0)M.那么,稱M是函數(shù)yf(x)的最小值(2)幾何意義:函數(shù)yf(x)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)溫馨提示:(1)最大(小)值必須是一個(gè)函數(shù)值,是值域中的一個(gè)元素(2)并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值,如函數(shù)y,既沒(méi)有最大值,也沒(méi)有最小值(3)最值是函數(shù)的整體性質(zhì),即在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)研究其最值1函數(shù)yf(x)在2,2上的圖象如圖所示,試指出此函數(shù)的最小值、最大值和相應(yīng)的x的值答案f(x)的最小值為1,此時(shí)x2;f(x)的最大值為2,此時(shí)x12判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何函數(shù)都有最大值或最小值()(2)函數(shù)的最小值一定比最大值小()(3)函數(shù)f(x)x在2,3)上的最大值為2,無(wú)最小值()(4)函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖象中的最高點(diǎn),且該點(diǎn)只有一個(gè)()答案(1)×(2)×(3)(4)×題型一圖象法求函數(shù)的最大(小)值【典例1】(1)已知函數(shù)f(x)求f(x)的最大值、最小值;(2)畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象,并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最小值思路導(dǎo)引作出函數(shù)f(x)的圖象,結(jié)合圖象求解解(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖1)由圖象可知,當(dāng)x±1時(shí),f(x)取最大值為f(±1)1;當(dāng)x0時(shí),f(x)取最小值f(0)0,故f(x)的最大值為1,最小值為0.(2)f(x)的圖象如圖2所示,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,0)和0,),函數(shù)的最小值為f(0)1.圖象法求最大(小)值的步驟針對(duì)訓(xùn)練1利用圖象求下列函數(shù)的最大值和最小值(1)y,x1,3;(2)y|x1|x2|.解(1)作出函數(shù)圖象如右圖所示,該函數(shù)的圖象既有最高點(diǎn),也有最低點(diǎn)(1,2),所以函數(shù)y,x1,3有最大值,最小值2;(2)y|x1|x2|作出函數(shù)的圖象,由右圖可知,y3,3所以函數(shù)的最大值為3,最小值為3.題型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值【典例2】已知函數(shù)f(x)x.(1)證明:f(x)在(1,)內(nèi)是增函數(shù);(2)求f(x)在2,4上的最值解(1)證明:設(shè)x1,x2(1,),且x1<x2.則f(x1)f(x2)x1x2(x1x2)·.x2>x1>1,x1x2<0,又x1x2>1,x1x21>0,故(x1x2)·<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(1,)內(nèi)是增函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在2,4上是增函數(shù),當(dāng)x2,4時(shí),f(2)f(x)f(4)又f(2)2,f(4)4,f(x)在2,4上的最大值為,最小值為.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系(1)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b上是增函數(shù),在區(qū)間b,c)上是減函數(shù),則函數(shù)yf(x),x(a,c)在xb處有最大值f(b)(2)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b上是減函數(shù),在區(qū)間b,c)上是增函數(shù),則函數(shù)yf(x),x(a,c)在xb處有最小值f(b)(3)如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上是增(減)函數(shù),則在區(qū)間a,b的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)值、最大(小)值針對(duì)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x),x2,5,判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求函數(shù)f(x)的最大值和最小值解任取2x1<x25,則f(x1),f(x2),f(x2)f(x1),2x1<x25,x1x2<0,x21>0,x11>0,f(x2)f(x1)<0.f(x2)<f(x1)f(x)在區(qū)間2,5上是單調(diào)減函數(shù)f(x)maxf(2)2,f(x)minf(5).題型三求二次函數(shù)的最大(小)值【典例3】(1)已知函數(shù)f(x)3x212x5,x0,3,求函數(shù)的最大值和最小值(2)求二次函數(shù)f(x)x22ax2在2,4上的最小值思路導(dǎo)引找出f(x)的對(duì)稱軸,分析對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性求最值解(1)函數(shù)f(x)3x212x53(x2)27,函數(shù)f(x)3(x2)27的圖象如圖所示,由圖可知,函數(shù)f(x)在0,2)上遞減,在2,3上遞增,并且f(0)5,f(2)7,f(3)4,所以在0,3上,f(x)maxf(0)5,f(x)minf(2)7.(2)函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是xa,當(dāng)a<2時(shí),f(x)在2,4上是增函數(shù),f(x)minf(2)64a.當(dāng)a>4時(shí),f(x)在2,4上是減函數(shù),f(x)minf(4)188a.當(dāng)2a4時(shí),f(x)minf(a)2a2.f(x)min變式本例(2)條件變?yōu)?,若f(x)x22ax2,當(dāng)x2,4時(shí),f(x)a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解在2,4內(nèi),f(x)a恒成立,即ax22ax2在2,4內(nèi)恒成立,即af(x)max,x2,4又f(x)max當(dāng)a3時(shí),a188a,解得a2,此時(shí)有2a3.當(dāng)a>3時(shí),a64a,解得a,此時(shí)有a>3.綜上有實(shí)數(shù)a的取值范圍是2,)求解二次函數(shù)最值問(wèn)題的順序(1)確定對(duì)稱軸與拋物線的開(kāi)口方向、作圖(2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置(3)觀察單調(diào)性寫(xiě)出最值針對(duì)訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)x22xa(x0,2)有最小值2,則f(x)的最大值為()A4 B6 C1 D2解析函數(shù)f(x)x22xa的對(duì)稱軸為x1,在0,2上為增函數(shù),所以f(x)的最小值為f(0)a2,f(x)的最大值為f(2)8a6.答案B4已知函數(shù)f(x)x26x8,x1,a,并且f(x)的最小值為f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析如圖可知f(x)在1,a內(nèi)是單調(diào)遞減的,又f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(,3,1<a3.答案(1,3題型四實(shí)際應(yīng)用中的最值【典例4】某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元,每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元,已知總收益滿足函數(shù):R(x)其中x是儀器的月產(chǎn)量(1)將利潤(rùn)表示為關(guān)于月產(chǎn)量的函數(shù)f(x);(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少元?(總收益總成本利潤(rùn))思路導(dǎo)引先將利潤(rùn)表示成關(guān)于x的函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性求最值解(1)月產(chǎn)量為x臺(tái),則總成本為(20000100x)元,從而f(x)(2)當(dāng)0x400時(shí),f(x)(x300)225000,當(dāng)x300時(shí),f(x)max25000;當(dāng)x>400時(shí),f(x)60000100x是減函數(shù),f(x)<60000100×40020000<25000.當(dāng)x300時(shí),f(x)max25000.即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)公司所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為25000元求解函數(shù)最大(小)值的實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意的2點(diǎn)(1)解實(shí)際應(yīng)用題要弄清題意,從實(shí)際出發(fā),引入數(shù)學(xué)符號(hào),建立數(shù)學(xué)模型,列出函數(shù)關(guān)系式,分析函數(shù)的性質(zhì),從而解決問(wèn)題,要注意自變量的取值范圍(2)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,最大利潤(rùn)、用料最省等問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來(lái)解決針對(duì)訓(xùn)練5將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí),能賣出500個(gè)已知這種商品每漲價(jià)1元,其銷售量就減少10個(gè),為得到最大利潤(rùn),售價(jià)應(yīng)為多少元?最大利潤(rùn)是多少?解設(shè)售價(jià)為x元,利潤(rùn)為y元,單個(gè)漲價(jià)(x50)元,銷量減少10(x50)個(gè)y(x40)(100010x)10(x70)290009000.故當(dāng)x70時(shí),ymax9000.答:售價(jià)為70元時(shí),利潤(rùn)最大為9000元.課堂歸納小結(jié)1求函數(shù)最大(小)值的常用方法(1)值域求出函數(shù)f(x)的值域,即可求其最值(注意必須確保存在函數(shù)值里的最值);(2)單調(diào)性法通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的最值;(3)特殊函數(shù)法利用特殊函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、函數(shù)yx(a>0)的單調(diào)性來(lái)求其最值.2.函數(shù)的值域與最大(小)值的區(qū)別(1)函數(shù)的值域是一個(gè)集合,函數(shù)的最值是一個(gè)函數(shù)值,它是值域的一個(gè)元素,即定義域中一定存在一個(gè)x0,使f(x0)M(最值)(2)函數(shù)的值域一定存在,但函數(shù)并不一定有最大(小)值,如yx在x(1,1)時(shí)無(wú)最值.1函數(shù)f(x)在2,)上的圖象如圖所示,則此函數(shù)的最大、最小值分別為()A3,0B3,1C3,無(wú)最小值D3,2解析觀察圖象可以知道,圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3),從而其最大值是3;另外從圖象看,無(wú)最低點(diǎn),即該函數(shù)不存在最小值故選C.答案C2已知函數(shù)f(x)|x|,x1,3,則f(x)的最大值為()A0 B1 C2 D3解析作出函數(shù)f(x)|x|,x1,3的圖象,如圖所示根據(jù)函數(shù)圖象可知,f(x)的最大值為3.答案D3下列函數(shù)在1,4上最大值為3的是()Ay2 By3x2Cyx2Dy1x解析B、C在1,4上均為增函數(shù),A、D在1,4上均為減函數(shù),代入端點(diǎn)值,即可求得最值,故選A.答案A4.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長(zhǎng)x為_(kāi)(m)解析設(shè)矩形花園的寬為y m,則,即y40x,矩形花園的面積Sx(40x)x240x(x20)2400,當(dāng)x20時(shí),面積最大答案205已知二次函數(shù)yx24x5,分別求下列條件下函數(shù)的最小值:(1)x1,0;(2)xa,a1解(1)二次函數(shù)yx24x5的對(duì)稱軸為x2且開(kāi)口向上,二次函數(shù)在x1,0上是單調(diào)遞減的ymin024×055.(2)當(dāng)a2時(shí),函數(shù)在xa,a1上是單調(diào)遞增的,ymina24a5;當(dāng)a12即a1時(shí),函數(shù)在a,a1上是單調(diào)遞減的,ymin(a1)24(a1)5a22a2;當(dāng)a<2<a1即1<a<2時(shí),ymin224×251.故函數(shù)的最小值為課后作業(yè)(二十)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1函數(shù)yf(x)(2x2)的圖象如右圖所示,則函數(shù)的最大值、最小值分別為()Af(2),f(2)Bf,f(1)Cf,fDf,f(0)解析根據(jù)函數(shù)最值定義,結(jié)合函數(shù)圖象可知,當(dāng)x時(shí),有最小值f;當(dāng)x時(shí),有最大值f.答案C2函數(shù)yx22x2在區(qū)間2,3上的最大值、最小值分別是()A10,5 B10,1C5,1 D以上都不對(duì)解析因?yàn)閥x22x2(x1)21,且x2,3,所以當(dāng)x1時(shí),ymin1,當(dāng)x2時(shí),ymax(21)2110.故選B.答案B3函數(shù)y(x2)在區(qū)間0,5上的最大值、最小值分別是()A.,0 B.,0C.,D最小值為,無(wú)最大值解析因?yàn)楹瘮?shù)y在區(qū)間0,5上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x0時(shí),ymax,當(dāng)x5時(shí),ymin.故選C.答案C4若函數(shù)yax1在1,2上的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)a的值是()A2B2C2或2D0解析由題意知a0,當(dāng)a>0時(shí),有(2a1)(a1)2,解得a2;當(dāng)a<0時(shí),有(a1)(2a1)2,解得a2.綜上知a±2.答案C5當(dāng)0x2時(shí),a<x22x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(,1 B(,0C(,0) D(0,)解析令f(x)x22x,則f(x)x22x(x1)21.又x0,2,f(x)minf(0)f(2)0.a<0.答案C二、填空題6函數(shù)y,x3,1的最大值與最小值的差是_解析因?yàn)楹瘮?shù)y在3,1上為增函數(shù),所以ymin,ymax1,所以ymaxymin1.答案7已知函數(shù)f(x)x24xa,x0,1,若f(x)有最小值2,則f(x)的最大值為_(kāi)解析函數(shù)f(x)x24xa(x2)24a,x0,1,且函數(shù)有最小值2.故當(dāng)x0時(shí),函數(shù)有最小值,當(dāng)x1時(shí),函數(shù)有最大值當(dāng)x0時(shí),f(0)a2,f(x)x24x2,當(dāng)x1時(shí),f(x)maxf(1)124×121.答案18.如圖,某地要修建一個(gè)圓形的噴水池,水流在各個(gè)方向上以相同的拋物線路徑落下,以水池的中央為坐標(biāo)原點(diǎn),水平方向?yàn)閤軸、豎直方向?yàn)閥軸建立平面直角坐標(biāo)系那么水流噴出的高度h(單位:m)與水平距離x(單位:m)之間的函數(shù)關(guān)系式為h(x)x22x,x,則水流噴出的高度h的最大值是_m.解析由函數(shù)h(x)x22x,x的圖象可知,函數(shù)圖象的頂點(diǎn)就是水流噴出的最高點(diǎn)此時(shí)函數(shù)取得最大值對(duì)于函數(shù)h(x)x22x,x,若x1,函數(shù)有最大值h(x)max122×1(m)于是水流噴出的最高高度是m.答案三、解答題9已知函數(shù)f(x).(1)證明:函數(shù)f(x)在上是減函數(shù);(2)求函數(shù)f(x)在1,5上的最大值和最小值解(1)證明:設(shè)x1、x2是區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x2>x1>,則f(x1)f(x2).由于x2>x1>,所以x2x1>0,且(2x11)·(2x21)>0,所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)(2)由(1)知,函數(shù)f(x)在1,5上是減函數(shù),因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5的兩個(gè)端點(diǎn)上分別取得最大值與最小值,即最大值為f(1)3,最小值為f(5).10求函數(shù)f(x)x22ax2在1,1上的最小值解函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線xa,且函數(shù)圖象開(kāi)口向上,如圖所示:當(dāng)a>1時(shí),f(x)在1,1上單調(diào)遞減,故f(x)minf(1)32a;當(dāng)1a1時(shí),f(x)在1,1上先減后增,故f(x)minf(a)2a2;當(dāng)a<1時(shí),f(x)在1,1上單調(diào)遞增,故f(x)minf(1)32a.綜上可知f(x)的最小值為f(x)min綜合運(yùn)用11函數(shù)f(x)則f(x)的最大值與最小值分別為()A10,6 B10,8C8,6 D以上都不對(duì)解析x1,2時(shí),f(x)max2×2610,f(x)min2×168;x1,1時(shí),f(x)max178,f(x)min176,f(x)max10,f(x)min6.答案A12已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0,m上有最大值3,最小值2,則m的取值范圍是()A1,) B0,2C(,2 D1,2解析f(x)(x1)22,f(x)min2,f(x)max3,且f(1)2,f(0)f(2)3,1m2,故選D.答案D13某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車,銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1x221x和L22x.若該公司在兩地共銷售15輛,則能獲得的最大利潤(rùn)為()A90萬(wàn)元B60萬(wàn)元C120萬(wàn)元D120.25萬(wàn)元解析設(shè)公司在甲地銷售x輛,則在乙地銷售(15x)輛,公司獲利為L(zhǎng)x221x2(15x)x219x30230,當(dāng)x9或10時(shí),L最大為120萬(wàn)元答案C14函數(shù)y|x1|x2|的最小值為_(kāi)解析化簡(jiǎn)函數(shù)為y其圖象如圖所示,所以函數(shù)的最小值為3.答案315已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x,yR,總有f(x)f(y)f(xy),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,f(1).(1)求證:f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)(2)求f(x)在3,3上的最小值解(1)證明:設(shè)x1,x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,則x2x1>0,因?yàn)閤>0時(shí),f(x)<0,所以f(x2x1)<0,又因?yàn)閤2(x2x1)x1,所以f(x2)f(x2x1)x1f(x2x1)f(x1),所以f(x2)f(x1)f(x2x1)<0,所以f(x2)<f(x1)所以f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)(2)由(1)可知f(x)在R上是減函數(shù),所以f(x)在3,3上也是減函數(shù),所以f(x)在3,3上的最小值為f(3)而f(3)f(1)f(2)3f(1)3×2.所以函數(shù)f(x)在3,3上的最小值是2.16

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本文(2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大(?。┲祵W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè))為本站會(huì)員(彩***)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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