2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理本專題主要知識，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進一步理解柯西不等式，熟練掌握柯西不等式的各種形式及應(yīng)用技巧.3.理解排序不等式及應(yīng)用.4.進一步體會柯西不等式與排序不等式所蘊含的數(shù)學(xué)思想及方法1二維形式的柯西不等式(1)二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(2)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個向量，則|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù)k，使k時，等號成立(3)二維形式的三角不等式：設(shè)x1，y1，x2，y2R，那么.2一般形式的柯西不等式設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)

2、(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立3排序不等式設(shè)a1a2an，b1b2bn為兩組實數(shù)，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，則a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.類型一利用柯西不等式證明不等式例1已知a，b，c，d為不全相等的正數(shù)，求證：.證明由柯西不等式知，2，于是.等號成立abcd.又已知a，b，c，d不全相等，則中等號不成立即.反思與感悟利用柯西不等式證題的技巧(1)柯西不等式的一般形式為(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2(ai，

3、biR，i1,2，n)，形式簡潔、美觀、對稱性強，靈活地運用柯西不等式，可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解(2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進行轉(zhuǎn)化，運用時要注意體會跟蹤訓(xùn)練1若n是不小于2的正整數(shù)，求證：1.證明12，所以求證式等價于.由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，于是，又由柯西不等式，有.綜上，1.類型二利用排序不等式證明不等式例2設(shè)A，B，C表示ABC的三個內(nèi)角弧度數(shù)，a，b，c表示其對邊，求證：.證明不妨設(shè)0abc，于是ABC.由排序不等式，得aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相

4、加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得.引申探究若本例條件不變，求證：.證明不妨設(shè)0abc，于是ABC.由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)得.反思與感悟利用排序不等式證明不等式的策略(1)在利用排序不等式證明不等式時，首先考慮構(gòu)造出兩個合適的有序數(shù)組，并能根據(jù)需要進行恰當(dāng)?shù)亟M合這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點進行合理選擇(2)根據(jù)排序不等式的特點，與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題，利用排序不等式解決往往很簡捷跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a，b

5、，c為正數(shù)，求證：a10b10c10.證明由a，b，c的對稱性，不妨設(shè)abc，于是a12b12c12，.由排序不等式，得.又因為a11b11c11，再次由排序不等式，得.由得a10b10c10.類型三利用柯西不等式或排序不等式求最值例3(1)求實數(shù)x，y的值使得(y1)2(xy3)2(2xy6)2達到最小值(1)解由柯西不等式，得(122212)(y1)2(3xy)2(2xy6)21(y1)2(3xy)1(2xy6)21，即(y1)2(xy3)2(2xy6)2，當(dāng)且僅當(dāng)，即x，y時，上式取等號故x，y.(2)設(shè)a1，a2，a3，a4，a5是互不相同的正整數(shù)，求Ma1的最小值解設(shè)b1，b2，b3

6、，b4，b5是a1，a2，a3，a4，a5的一個排列，且b1b2b3b4b5.因此b11，b22，b33，b44，b55.又1.由排序不等式，得a1b11123451.即M的最小值為.反思與感悟利用柯西或排序不等式求最值的技巧(1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對式子或量的范圍的限定，其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理在這類題目中，利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易(2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時，要關(guān)注等號成立的條件，不能忽略跟蹤訓(xùn)練3已知正數(shù)x，y，z滿足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范圍解.故的取值范圍是.1函數(shù)y2的最大值為()A.BC3D3答案D解析y2

7、(1)2()212()2()2339.y3，y的最大值為3.2已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，則a的最大值是()A1B2C3D4答案B解析(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.5a2(3a)2.解得1a2.驗證：當(dāng)a2時，等號成立3已知2x3y4z10，則x2y2z2取到最小值時的x，y，z的值為()A.，B.，C1，D1，答案B解析由柯西不等式得(223242)(x2y2z2)(2x3y4z)2，即x2y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以聯(lián)立可得x，y，z.4設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：abc.證明不妨設(shè)abc0，則，abacb

8、c，abc，abc.1對于柯西不等式要特別注意其向量形式的幾何意義，從柯西不等式的幾何意義出發(fā)就得到了三角形式的柯西不等式，柯西不等式的一般形式也可以寫成向量形式2參數(shù)配方法是由舊知識得到的新方法，注意體會此方法的數(shù)學(xué)思想3對于排序不等式要抓住它的本質(zhì)含義：兩實數(shù)序列同方向單調(diào)(同時增或同時減)時所得兩兩乘積之和最大，反方向單調(diào)(一增一減)時所得兩兩乘積之和最小，注意等號成立條件是其中一序列為常數(shù)序列4數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種新形式，它為學(xué)生提供了自己學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生了解數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系一、選擇題1已知a，b是給定的正數(shù)，則的最小值為()A2a

9、2b2B2abC(2ab)2D4ab答案C解析(sin2cos2)2(2ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)sin cos時，等號成立故的最小值為(2ab)2.2已知a，b，c為正數(shù)且abc3，則的最小值為()A4B4C6D6答案C解析a，b，c為正數(shù)，ab.同理bc，ca，相加得()2(bca)6，即6，當(dāng)且僅當(dāng)abc時取等號3已知(x1)2(y2)24，則3x4y的最大值為()A21B11C18D28答案A解析根據(jù)柯西不等式，得(x1)2(y2)232423(x1)4(y2)2(3x4y11)2，(3x4y11)2100.可得3x4y21，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號4已知x，y，z是非負(fù)實數(shù)，若9x212y25z29

10、，則函數(shù)u3x6y5z的最大值是()A9B10C14D15答案A解析(3x6y5z)212()2()2(3x)2(2y)2(z)29(9x212y25z2)81，當(dāng)且僅當(dāng)3x2yz時，等號成立故u3x6y5z的最大值為9.5已知x，y，zR，且1，則x的最小值為()A5B6C8D9答案D解析由柯西不等式知，(111)29，因為1，所以x9.即x的最小值為9.6設(shè)c1，c2，cn是a1，a2，an的某一排列(a1，a2，an均為正數(shù))，則的最小值是()AnB.C.D2n答案A解析不妨設(shè)a1a2an0，則，由排序不等式知，a1a2ann.二、填空題7設(shè)a，b，c，d，m，nR，P，Q，則P，Q的大

11、小關(guān)系為_答案PQ解析由柯西不等式得PQ，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，PQ.8設(shè)x，y，zR，若x2y2z24，則x2y2z的最小值為_答案6解析由柯西不等式，得(x2y2z2)12(2)222(x2y2z)2，故(x2y2z)24936.當(dāng)且僅當(dāng)k，k時，上式取得等號，當(dāng)k時，x2y2z取得最小值6.9已知點P是邊長為2的等邊三角形內(nèi)一點，它到三邊的距離分別為x，y，z，則x，y，z所滿足的關(guān)系式為_，x2y2z2的最小值是_答案xyz33解析利用三角形面積相等，得2(xyz)(2)2，即xyz3.由(111)(x2y2z2)(xyz)29，得x2y2z23，當(dāng)且僅當(dāng)xyz1時取等號10若a，b，

12、cR，設(shè)xa3b3c3，ya2bb2cc2a，則x，y的大小關(guān)系為_答案xy解析取兩組數(shù)a，b，c；a2，b2，c2.不管a，b，c的大小順序如何，a3b3c3都是順序和，a2bb2cc2a都是亂序和，a3b3c3a2bb2cc2a.三、解答題11(2018江蘇)若x，y，z為實數(shù)，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值解由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因為x2y2z6，所以x2y2z24，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式取等號，此時x，y，z，所以x2y2z2的最小值為4.12已知a，b，c為正數(shù)，求證：abc.證明考慮到正數(shù)a，b，c的對稱性，不妨設(shè)abc0，則，bcc

13、aab，由排序不等式知，順序和亂序和，即abc.a，b，c為正數(shù)，兩邊同乘以，得abc.13設(shè)a，b，c，dR，令S，求證：1S2.證明首先證明(ab0，m0)因為0，所以S2，所以S2.又S1，所以1S2.四、探究與拓展14已知5a23b2，則a22abb2的最大值為_答案1解析(a)2(b)22(ab)2a22abb2，當(dāng)且僅當(dāng)5a3b，即a，b時取等號(5a23b2)a22abb2.a22abb2(5a23b2)1.a22abb2的最大值為1.15已知a，b，c均為實數(shù)，且abc22m0，a2b2c2m10.(1)求證：a2b2c2；(2)求實數(shù)m的取值范圍(1)證明由柯西不等式得(122232)(abc)2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立，即14(abc)2，a2b2c2.(2)解由已知得abc2m2，a2b2c21m，由(1)可知，14(1m)(2m2)2，即2m23m50，解得m1.又a2b2c21m0，m1，m1.即實數(shù)m的取值范圍為.12