《（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、（全國(guó)通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 數(shù)列 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案 文考情考向分析1.等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查是高考熱點(diǎn)，經(jīng)常以小題形式出現(xiàn).2.數(shù)列求和及數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的綜合能力熱點(diǎn)一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算1通項(xiàng)公式等差數(shù)列：ana1(n1)d；等比數(shù)列：ana1qn1.2求和公式等差數(shù)列：Snna1d；等比數(shù)列：Sn(q1)3性質(zhì)若mnpq，在等差數(shù)列中amanapaq；在等比數(shù)列中amanapaq.例1(1)(2018北京)設(shè)an是等差數(shù)列，且a13，a2a536，則an的通項(xiàng)公式為_(kāi)答案an6n3(nN*
2、)解析方法一設(shè)公差為d.a2a536，(a1d)(a14d)36，2a15d36.a13，d6，通項(xiàng)公式ana1(n1)d6n3(nN*)方法二設(shè)公差為d，a2a5a1a636，a13，a633，d6.a13，通項(xiàng)公式an6n3(nN*)(2)(2018華大新高考聯(lián)盟質(zhì)檢)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a3a112a，且S4S12S8，則_.答案解析a3a112a，a2a，q42，S4S12S8，1q41q12(1q8)，將q42代入計(jì)算可得.思維升華在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí)，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計(jì)算，以減少計(jì)
3、算量跟蹤演練1(1)設(shè)公比為q(q0)的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S23a22，S43a42，則a1等于()A2 B1 C. D.答案B解析S4S2a3a43a43a2，即3a2a32a40，即3a2a2q2a2q20，即2q2q30，解得q1(舍)或q，當(dāng)q時(shí)，代入S23a22，得a1a1q3a1q2，解得a11.(2)(2018全國(guó))等比數(shù)列an中，a11，a54a3.求an的通項(xiàng)公式；記Sn為an的前n項(xiàng)和，若Sm63，求m.解設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1(nN*)若an(2)n1，則Sn.由S
4、m63得(2)m188，此方程沒(méi)有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.熱點(diǎn)二等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明證明數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；利用等差中項(xiàng)，即證明2anan1an1(n2，nN*)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法：利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；利用等比中項(xiàng)，即證明aan1an1(n2，nN*)例2已知數(shù)列an，bn，其中a13，b11，且滿足an(3an1bn1)，bn(an13bn1)，nN*，n2.(1)求證：數(shù)列anbn為
5、等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明anbn(3an1bn1)(an13bn1)2(an1bn1)，又a1b13(1)4，所以anbn是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列(2)解由(1)知，anbn2n1，又anbn(3an1bn1)(an13bn1)an1bn1，又a1b13(1)2，所以anbn為常數(shù)數(shù)列，anbn2，聯(lián)立得，an2n1，所以Tn(nN*)思維升華(1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列，也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，但不能作為證明方法(2)aan1an1(n2)是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零跟蹤演練2(2018新余模擬)已知an是各項(xiàng)都
6、為正數(shù)的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且Sn為an與的等差中項(xiàng)(1)求證：數(shù)列S為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.(1)證明由題意知2Snan，即2Snana1，(*)當(dāng)n2時(shí)，有anSnSn1，代入(*)式得2Sn(SnSn1)(SnSn1)21，整理得SS1(n2)又當(dāng)n1時(shí)，由(*)式可得a1S11，數(shù)列S是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列(2)解由(1)可得S1n1n，數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，Sn，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1，又a1S11滿足上式，an(nN*)(3)解由(2)得bn(1)n()，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn1(1)()()()，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn1
7、(1)()()()，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn(1)n(nN*)熱點(diǎn)三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系；數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問(wèn)題，可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解例3已知等差數(shù)列an的公差為1，且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與其前n項(xiàng)和Sn；(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后，剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng)，記bn的前n項(xiàng)和為Tn，若存在mN*，使得對(duì)任意nN*，總有SnTm恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126，得a72，a14，an5n，從而Sn(nN*)(2)由題意知b
8、14，b22，b31，設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q，Tm8，m隨m的增加而減少，Tm為遞增數(shù)列，得4Tm8.又Sn(n29n)，故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使得對(duì)任意nN*，總有SnTm，則102.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(2，)思維升華(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問(wèn)題，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問(wèn)題(3)數(shù)列中的恒成立問(wèn)題可以通過(guò)分離參數(shù)，通過(guò)求數(shù)列的值域求解跟蹤演練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn13(an1)，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列bn滿足a
9、n1，若bnt對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解(1)由已知得Sn3an2，令n1，得a11，又an1Sn1Sn3an13an，得an1an，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以ann1(nN*)(2)由an1，得bnn1nn1，所以bn1bn(n1)nnn1(2n)，所以(bn)maxb2b3，所以t.即t的取值范圍為.真題體驗(yàn)1(2017全國(guó)改編)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為_(kāi)答案4解析設(shè)an的公差為d，由得解得d4.2(2017浙江改編)已知等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則“d0”是“S4S62S5”的_條件答案充
10、要解析方法一數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d0，則21d20d,10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，則10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0.“d0”是“S4S62S5”的充要條件3(2017北京)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.答案1解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則由a4a13d，得d3，
11、由b4b1q3，得q38，q2.1.4(2017江蘇)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知S3，S6，則a8_.答案32解析設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則解得所以a8272532.押題預(yù)測(cè)1設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然數(shù)n的值為()A6 B7 C12 D13押題依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和是數(shù)列最基本的知識(shí)點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)，可以考查學(xué)生靈活變換的能力答案C解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然數(shù)n的值為12.2在等比數(shù)列an中，a33a22，且5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，則an的公比等于(
12、)A3 B2或3C2 D6押題依據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題可反映知識(shí)運(yùn)用的綜合性和靈活性，是高考出題的重點(diǎn)答案C解析設(shè)公比為q,5a4為12a3和2a5的等差中項(xiàng)，可得10a412a32a5,10a3q12a32a3q2，得10q122q2，解得q2或3.又a33a22，所以a2q3a22，即a2(q3)2，所以q2.3已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5，存在兩項(xiàng)am，an使得 4a1，則的最小值為()A. B.C. D.押題依據(jù)本題在數(shù)列、方程、不等式的交匯處命題，綜合考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，是高考命題的方向答案A解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理得q
13、2q20，解得q2或q1(不合題意，舍去)，又由4a1，得aman16a，即a2mn216a，即有mn24，亦即mn6，那么(mn)，當(dāng)且僅當(dāng)，即n2m4時(shí)取等號(hào)4定義在(，0)(0，)上的函數(shù)f(x)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an，f(an)仍是等比數(shù)列，則稱f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(，0)(0，)上的如下函數(shù)：f(x)x2；f(x)2x；f(x)；f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()A B C D押題依據(jù)先定義一個(gè)新數(shù)列，然后要求根據(jù)定義的條件推斷這個(gè)新數(shù)列的一些性質(zhì)或者判斷一個(gè)數(shù)列是否屬于這類數(shù)列的問(wèn)題是近年來(lái)高考中逐漸興起的一類問(wèn)題，這類
14、問(wèn)題一般形式新穎，難度不大，常給人耳目一新的感覺(jué)答案C解析由等比數(shù)列的性質(zhì)得，anan2a.f(an)f(an2)aa(a)2f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)f(an1)2；f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f(an1)2.A組專題通關(guān)1(2018大慶質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an中，a49，S424，則a7等于()A3 B7 C13 D15答案D解析由于數(shù)列為等差數(shù)列，依題意得解得d2，所以a7a43d9615.2(2018淮北模擬)已知等比數(shù)列an中，a52，a6a88，則等于()A2 B4 C6 D8答案A解析數(shù)列an
15、是等比數(shù)列，a6a8a8，a72(與a5同號(hào))，q2，從而q4()22.3(2018株洲質(zhì)檢)已知等差數(shù)列an的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，則S9等于()A8 B6 C0 D10答案C解析a1，a3，a4成等比數(shù)列，aa1a4，(a122)2a1(a132)，化為2a116，解得a18，則S98920.4一個(gè)等比數(shù)列的前三項(xiàng)的積為2，最后三項(xiàng)的積為4，且所有項(xiàng)的積為64，則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是()A13 B12C11 D10答案B解析設(shè)等比數(shù)列為an，其前n項(xiàng)積為Tn，由已知得a1a2a32，anan1an24，可得(a1an)324，a1an2，Tna1a2an，
16、T(a1a2an)2(a1an)(a2an1)(ana1)(a1an)n2n642212，n12.5(2018荊州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足525，且a2a4a69，則(a5a7a9)等于()A3 B3 C D.答案A解析25，an1an2，數(shù)列an是等差數(shù)列，且公差為2.a2a4a69，3a49，a43.log(a5a7a9)log3a7log3(a46)log273.6(2018資陽(yáng)模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a19，a51，則使得Sn0成立的最大的自然數(shù)n為_(kāi)答案9解析因?yàn)閍19，a51，所以d2，所以Sn9nn(n1)(2)0，即n0成立的最大的自然數(shù)n為9.7(2018石嘴山
17、模擬)在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，若a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則_.答案32解析由于a1，a3，2a2成等差數(shù)列，所以a3a12a2，即a1q2a12a1q，q22q10，解得q1或q1(舍去)故q232.8已知數(shù)列an滿足a12，且an(n2，nN*)，則an_.答案解析由an，得，于是1(n2，nN*)又1，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故1，an(nN*)9意大利數(shù)學(xué)家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，即F(1)F(2)1，F(xiàn)(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化
18、學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被3整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則b2 017_.答案1解析由題意得引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，此數(shù)列被3 整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，構(gòu)成以8項(xiàng)為周期的周期數(shù)列，所以b2 017b11.10(2018天津)設(shè)an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(nN*)；bn是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為Tn(nN*)，已知b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整數(shù)n的值解(
19、1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q(q0)由b11，b3b22，可得q2q20.因?yàn)閝0，可得q2，故bn2n1.所以Tn2n1(nN*)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.由b4a3a5，可得a13d4.由b5a42a6，可得3a113d16，從而a11，d1，故ann，所以Sn(nN*)(2)由(1)，有T1T2Tn(21222n)nn2n1n2.由Sn(T1T2Tn)an4bn，可得2n1n2n2n1，整理得n23n40，解得n1(舍去)或n4.所以n的值為4.B組能力提高11數(shù)列an是以a為首項(xiàng)，b為公比的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn1a1a2an(n1,2，)，數(shù)列滿足cn2b1b2bn(n1,2，)
20、，若為等比數(shù)列，則ab等于()A. B3 C. D6答案B解析由題意知，當(dāng)b1時(shí)，cn不是等比數(shù)列，所以b1.由anabn1，得bn11，則cn2n2n，要使為等比數(shù)列，必有得ab3.12艾薩克牛頓(1643年1月4日1727年3月31日)是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，英國(guó)著名物理學(xué)家，同時(shí)在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻(xiàn)，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列滿足xn1xn，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列如果函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)anln ，已知a12，xn2，則an的通項(xiàng)公式an_.答案2n解析 函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2， 解
21、得 f(x)ax23ax2a，則f(x)2ax3a.則xn1xnxn，2，則數(shù)列an是以2為公比的等比數(shù)列，又a12，數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則an22n12n.13(2018攀枝花統(tǒng)考)記m，若是等差數(shù)列，則稱m為數(shù)列an的“dn等差均值”；若是等比數(shù)列，則稱m為數(shù)列an的“dn等比均值”已知數(shù)列an的“2n1等差均值”為2，數(shù)列bn的“3n1等比均值”為3.記cnklog3bn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)n都有SnS6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_答案解析由題意得2，所以a13a2(2n1)an2n，所以a13a2(2n3)an12n2(n2，nN*)，兩式相減得
22、an(n2，nN*)當(dāng)n1時(shí)，a12，符合上式，所以an(nN*)又由題意得3，所以b13b23n1bn3n，所以b13b23n2bn13n3(n2，nN*)，兩式相減得bn32n(n2，nN*)當(dāng)n1時(shí)，b13，符合上式，所以bn32n(nN*)所以cn(2k)n2k1.因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n都有SnS6，所以解得k.14設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a(a1,1)，b(1，a10)，若ab24，且S11143，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，且滿足Tn(a11)(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和Mn；(2)是否存在非零實(shí)數(shù)，使得數(shù)列bn為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a(a1,1)，b(1，a10)，ab24，得a1a1024，又S11143，解得a13，d2，因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an2n1(nN*)，所以，所以Mn(nN*)(2)因?yàn)門n(a11)(nN*)，且a13，所以Tn，當(dāng)n1時(shí)，b1；當(dāng)n2時(shí)，bnTnTn1，此時(shí)有4，若bn是等比數(shù)列，則有4，而b1，b2，彼此相矛盾，故不存在非零實(shí)數(shù)使數(shù)列bn為等比數(shù)列
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