(貴陽專用)2022中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題解讀 專題五 幾何圖形探究問題針對(duì)訓(xùn)練

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1、(貴陽專用)2022中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二部分 熱點(diǎn)專題解讀 專題五 幾何圖形探究問題針對(duì)訓(xùn)練1在正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng)圖1圖2圖3(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自D向C移動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自C向B移動(dòng)時(shí),連接AE和DF交于點(diǎn)P,請(qǐng)你寫出AE與DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理由;(2)如圖2,當(dāng)E,F(xiàn)分別在邊CD,BC的延長線上移動(dòng)時(shí),連接AE,DF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請(qǐng)你直接回答“是”或“否”,不需證明);連接AC,請(qǐng)你直接寫出ACE為等腰三角形時(shí)CECD的值;(3)如圖3,當(dāng)E,F(xiàn)分別在直線DC,CB上移動(dòng)時(shí),連

2、接AE和DF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)E,F(xiàn)的移動(dòng),使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng),請(qǐng)你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖若AD2,試求出線段CP的最大值解:(1)AEDF,AEDF.理由:四邊形ABCD是正方形,ADDC,ADEDCF90.動(dòng)點(diǎn)E,F(xiàn)分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動(dòng),DECF.在ADE和DCF中, ADEDCF(SAS),AEDF,DAEFDCADE90,ADPCDF90,ADPDAE90,APD1809090,AEDF.(2)是,CECD或2.【解法提示】有兩種情況:如答圖1,當(dāng)ACCE時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長為a.由勾股定理得,ACCEa,則CECDaa ; 如答圖2,當(dāng)AE

3、AC時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長為a,由勾股定理得,ACAEa.四邊形ABCD是正方形,ADC90,即ADCE,DECDa,CECD2aa2.即CECD或2.圖1 圖2圖3(3)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持APD90,點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓上的一段弧如答圖3,設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接CQ并延長交圓弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長度最大在RtQDC中,QC ,CPQCQP 1,即線段CP的最大值是1.2問題探究(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)M和N分別是邊BC,CD上兩點(diǎn),且BMCN,連接AM和BN,交于點(diǎn)P.猜想AM與BN的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論(2)如圖2,已知正方形ABCD的邊長為4,點(diǎn)M和N

4、分別從點(diǎn)B,C同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿BC,CD方向向終點(diǎn)C和D運(yùn)動(dòng)連接AM和BN,交于點(diǎn)P,求APB周長的最大值;問題解決(3)如圖3,AC是邊長為2的菱形ABCD的對(duì)角線,ABC60.點(diǎn)M和N分別從點(diǎn)B,C同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿BC,CA向終點(diǎn)C和A運(yùn)動(dòng)連接AM和BN,交于點(diǎn)P.求APB周長的最大值圖1 圖2圖3解:(1)AMBN.證明:四邊形ABCD是正方形,ABBC,ABMBCN90.BMCN,ABMBCN,BAMCBN.CBNABN90,ABNBAM90,APB90,AMBN.(2)如答圖1,以AB為斜邊向外作等腰直角三角形AEB,AEB90,作EFPA于F,作EGPB交PB延長線

5、于G,連接EP.答圖1EFPFPGG90,四邊形EFPG是矩形,F(xiàn)EGAEB90,AEFBEG.EAEB,EFAG90,AEFBEG,EFEG,AFBG,四邊形EFPG是正方形,PAPBPFAFPGBG2PF2EF.EFAE,EF的最大值為AE2 ,APB周長的最大值為44 . (3)如答圖2,延長DA到K,使得AKAB,則ABK是等邊三角形,連接PK,取PHPB,連接BH.答圖2ABBC,ABMBCN,BMCN,ABMBCN,BAMCBN,APNBAMABPCBNABN60,APB120.AKB60,AKBAPB180,A,K,B,P四點(diǎn)共圓,BPHKAB60.PHPB,PBH是等邊三角形,

6、KBAHBP,BHBP,KBHABP.BKBA,KBHABP,HKAP,PAPBKHPHPK,當(dāng)PK的值最大時(shí),APB的周長最大,當(dāng)PK是ABK外接圓的直徑時(shí),PK的值最大,最大值為4,PAB的周長最大值為2 4.3(xx貴陽)(1)閱讀理解:如圖1,在ABC中,若AB10,AC6,求BC邊上的中線AD的取值范圍解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DEAD,再連接BE(或?qū)CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180得到EBD),把AB,AC,2AD集中在ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_2ADEF.(3)問題拓展:如圖3,在四邊形ABCD中,BD180,CBCD,BCD14

7、0,以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F(xiàn)兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明圖1圖2 圖3 (1)解:2AD8.【解法提示】AD是BC邊上的中線,BDCD在BDE和CDA中, BDECDA(SAS),BEAC6.在ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得ABBEAEABBE,106AE106,即4AE16,2ADEM,BECFEF.(3)解:BEDFEF.理由如下:如答圖2,延長AB至點(diǎn)N,答圖2使BNDF,連接CN.ABCD180,NBCABC180,NBCD在NBC和FDC中, NBCFDC(SAS),CNCF,NCBFCDBCD140,ECF70,

8、BCEFCD70,ECN70ECF.在NCE和FCE中, NCEFCE(SAS),ENEF.BEBNEN,BEDFEF.4(xx湖北)問題:如圖1,在RtABC中,ABAC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),將線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到AE,連接EC,則線段BC,DC,EC之間滿足的等量關(guān)系式為_BCDCEC_;探索:如圖2,在RtABC與RtADE中,ABAC,ADAE,將ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)D落在BC邊上,試探索線段AD,BD,CD之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;應(yīng)用:如圖3,在四邊形ABCD中,ABCACBADC45.若BD9,CD3,求AD的長圖1圖2圖3解:(1)BC

9、DCEC【解法提示】BACDAE90,BACDACDAEDAC,即BADCAE.在BAD和CAE中,BADCAE(SAS),BDCE,BCBDCDECCD,即BCDCEC(2)BD2CD22AD2.證明:如答圖1,連接CE.由(1)得BADCAE,BDCE,ACEB,DCE90,CE2CD2ED2.在RtADE中,ADAE,DAE90,DE22AD2.BD2CD22AD2.答圖1答圖2(3)如答圖2,作AEAD,使AEAD,連接CE,DE.BACCADDAECAD,BADCAE,在BAD和CAE中, BADCAE(SAS),CEBD9.ADC45,EDA45,EDC90,DE6 .DAE90,

10、ADAEDE6.5(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC,CD上,EAF45,連接EF,則EFBEDF,試說明理由;(2)類比引申:如圖2,在四邊形ABCD中,ABAD,BAD90,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,EAF45,若B,D都不是直角,則當(dāng)B與D滿足等量關(guān)系_BD180_時(shí),仍有EFBEDF;(3)聯(lián)想拓展:如圖3,在ABC中,BAC90,ABAC,點(diǎn)D,E均在邊BC上,且DAE45,猜想BD,DE,EC滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過程圖1圖2圖3解:(1)如答圖1.ABAD,把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADG,使AB與AD重合ADCB90,F(xiàn)DG180,即點(diǎn)F,

11、D,G共線,則DAGBAE,AEAG,F(xiàn)AGFADGADFADBAE904545EAF,即EAFFAG.在EAF和GAF中,EAFGAF(SAS),EFFGBEDF. 圖1 圖2(2)BD180.【解法提示】ABAD,如答圖2,把ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至ADG,使AB與AD重合,BAEDAG.BAD90,EAF45,BAEDAF45,DAGDAF45,EAFFAG.ADCB180,F(xiàn)DG180,即點(diǎn)F,D,G共線在AFE和AFG中,AFEAFG(SAS),EFFG,即EFBEDF.故BADC180.答圖3(3)BD2CE2DE2.推理過程:如答圖,把ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到ABF的位置

12、,連接DF,則FABCAE.BAC90,DAE45,BADCAE45.FABCAE,F(xiàn)ADDAE45.在ADF和ADE中,ADFADE(SAS),DFDE.CABF45,DBF90,BDF是直角三角形,BD2BF2DF2,BD2CE2DE2.6(xx衡陽)如圖,在RtABC中,C90,ACBC4 cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以1 cm/s的速度沿CA勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以 cm/s的速度沿AB勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)P,Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上?(2)是否存在某一時(shí)刻t,使APQ是以PQ為腰的等腰三角形?若存在,求出t的值;

13、若不存在,請(qǐng)說明理由;(3)以PC為邊,往CB方向作正方形CPMN,設(shè)四邊形QNCP的面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式解:(1)如答圖1,連接BP.答圖1在RtACB中,ACBC4,C90,AB4.點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上,BPBQ.AQ t,CPt,BQ4t,PB242t2 ,(4t)216t2,解得t84或84(舍去),當(dāng)t(84)s時(shí),點(diǎn)B在線段PQ的垂直平分線上(2)存在如答圖2,當(dāng)PQQA時(shí),易知APQ是等腰直角三角形,AQP90,則有PAAQ,4tt,解得t;存在如答圖3,當(dāng)APPQ時(shí),易知APQ是等腰直角三角形,APQ90,則有AQAP,t(4t),解得t2.綜上所述,當(dāng)t

14、s或2 s時(shí),APQ是以PQ為腰的等腰三角形圖2 圖3(3)如答圖4,連接QC,作QEAC于E,作QFBC于F.則QEAE,QFEC,可得QEQFAEECAC4,答圖4SSQNCSPCQCNQFPCQEt(QEQF)2t(0t4). 7(xx婁底)如圖,已知四邊形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且OAOC,OBOD,過O點(diǎn)作EFBD,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F(xiàn).(1)求證:AOECOF;(2)判斷四邊形BEDF的形狀,并說明理由(1)證明:OAOC,OBOD,四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,EAOFCO.在AOE和COF中,AOECOF(ASA)(2)解:四邊形BEDF是菱形理由如下:AOECOF,AECF.ADBC,DEBF.DEBF,四邊形BEDF是平行四邊形OBOD,EFBD,EBED,四邊形BEDF是菱形

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