2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-10 圓錐曲線的綜合問(wèn)題《教案》

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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-10 圓錐曲線的綜合問(wèn)題教案【教學(xué)目標(biāo)】1.能根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值等2.能利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值、定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題；2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會(huì)對(duì)知識(shí)進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動(dòng)法【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)流程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.能根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值等2.能利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想

2、解決圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題真題再現(xiàn);1.(xx全國(guó)，20)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過(guò)點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過(guò)B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.(1)證明因?yàn)閨AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1，0)，B(

3、1，0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：1(y0).(2)解當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.過(guò)點(diǎn)B(1，0)且與l垂直的直線m：y(x1)，A到m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN|PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12，8).當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12，8).2.(xx北京，19)

4、已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|BM|為定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則y01.當(dāng)x00時(shí)，直線PA方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB方程為yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|BM|4.當(dāng)x00時(shí)，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|BM|4.

5、故|AN|BM|為定值.知識(shí)梳理：1必會(huì)結(jié)論；(1)橢圓上兩點(diǎn)間的最大距離為2a(長(zhǎng)軸長(zhǎng))；焦半徑的取值范圍為ac，ac；焦點(diǎn)弦中垂直于長(zhǎng)軸的弦最短，長(zhǎng)為.(2)雙曲線上不同支的兩點(diǎn)間最小距離為2a(實(shí)軸長(zhǎng))；左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為ca，到右焦點(diǎn)的最短距離為ac；焦點(diǎn)弦中垂直于實(shí)軸的弦最短，長(zhǎng)為.(3)拋物線上頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最短，頂點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離最小(4)定點(diǎn)問(wèn)題；在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線，不論參數(shù)如何變化，其都過(guò)某定點(diǎn)，這類問(wèn)題稱為定點(diǎn)問(wèn)題(5)定值問(wèn)題；在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)線中的參變量無(wú)關(guān)，這類問(wèn)題統(tǒng)稱

6、為定值問(wèn)題(6)存在性問(wèn)題；存在性問(wèn)題是一種具有開放性和發(fā)散性的問(wèn)題，此類題目的條件和結(jié)論不完備，要求學(xué)生結(jié)合已有的條件進(jìn)行觀察、分析、比較和概括，它對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識(shí)及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力有較高的要求，尤其對(duì)定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題的探索是高考的熱點(diǎn)，試題難度較大2必知關(guān)系；(1)直線與圓錐曲線相切，是直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)時(shí)斜率取最值的情形(2)圓與圓錐曲線相切，是圓心與圓錐曲線上的點(diǎn)的距離取最值的情形. (3)使用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程時(shí)，應(yīng)考慮直線斜率不存在的情形(4)涉及直線與圓錐曲線相交問(wèn)題時(shí)，應(yīng)考慮直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零及判別式0兩種情形.考點(diǎn)

7、分項(xiàng)突破考點(diǎn)一：圓錐曲線中的證明問(wèn)題1.(xx福建高考)已知橢圓E：1(ab0)過(guò)點(diǎn)(0，)，且離心率e. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l：xmy1(mR)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由【解】法一(1)由已知，得解得所以橢圓E的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為H(x0，y0)由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而y0.所以|GH|22y2y(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|GH|2my0(1m2)y1y20，所以|GH|.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外法二(1)同法一(2)設(shè)點(diǎn)A

8、(x1，y1)，B(x2，y2)，則，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0，所以cos，0.又，不共線，所以AGB為銳角故點(diǎn)G 在以AB為直徑的圓外歸納；兩類與圓錐曲線有關(guān)的證明問(wèn)題一類是直接給出證明結(jié)論，其思路為將待證問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)、線、向量等幾何元素或斜率、長(zhǎng)度等與數(shù)量有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題求解另一類是先判斷后證明，如本例先判斷直線與圓相切，再證明考點(diǎn)二: 圓錐曲線中的最值問(wèn)題命題角度1數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)求最值1F是橢圓1的右焦點(diǎn)，P是其上一點(diǎn)，定點(diǎn)B(2，1)，則|PB|PF|的最小值為_【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F

9、1(4,0)，由|PF1|PF|10得|PF|10|PF1|.所以|PB|PF|10|PB|PF1|10(|PF1|PB|)10|F1B|，當(dāng)且僅當(dāng)F1，B，P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在點(diǎn)P2位置時(shí)取等號(hào)又|F1B|.所以|PB|PF|的最小值為10.【答案】10命題角度2建立目標(biāo)函數(shù)求最值2若P，Q分別為拋物線C：x24y與圓M：x2(y3)21上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為_【解析】先求圓心M(0,3)到點(diǎn)P的距離的最小值，法一(建立目標(biāo)函數(shù))設(shè)P(x，y)，則x24y，|PM|2(當(dāng)y1時(shí)等號(hào)成立)|PQ|min21.法二(數(shù)形結(jié)合)以點(diǎn)M為圓心作同心圓，當(dāng)圓與拋物線相切時(shí)，點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離

10、最小，設(shè)為r，則由得y22y9r20.此時(shí)(2)24(9r2)0，解得r2.從而|PQ|的最小值為21.【答案】213(xx四川高考)已知橢圓C：1(ab0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)【解】(1)由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)由(1)可得F點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方

11、程是xmy2.當(dāng)m0時(shí)，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.所以直線OM的斜率kOM.又直線OT的斜率kOT，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.由可得|TF|，|PQ|.所以.當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值所以當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1)或(3，1)歸納：圓錐曲線中常見最值問(wèn)題及解題方法1兩類最值問(wèn)題(1)涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)

12、的一些問(wèn)題；(2)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時(shí)確定與之有關(guān)的一些問(wèn)題2兩種常見解法(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解提醒：求最值問(wèn)題時(shí)，一定要注意對(duì)特殊情況的討論如直線斜率不存在的情況，二次三項(xiàng)式最高次項(xiàng)的系數(shù)的討論等考點(diǎn)三: 圓錐曲線中的范圍問(wèn)題(1)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，對(duì)于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF2|28a|PF1|(a為實(shí)半軸長(zhǎng))，則此雙

13、曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2(2)已知圓M：(x)2y2r2(r0)若橢圓C：1(ab0)的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為.求橢圓C的方程；若存在直線l：ykx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|BH|，求圓M半徑r的取值范圍【解析】(1)由P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)及雙曲線的定義，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以12，則0.所以2r23，即r.綜上知，r0

14、)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)) (1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x相交于點(diǎn)N，證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，恒為定值，并求此定值【解】(1)設(shè)F(c,0)，因?yàn)閎1，所以c，直線OB方程為y x，直線BF的方程為y(xc)，解得B.又直線OA的方程為yx，則A，kAB.又因?yàn)锳BOB，所以1，解得a23，故雙曲線C的方程為y21.(2)證明：由(1)知a，則直線l的方程為y0y1(y00)，即y.因?yàn)橹本€AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)M；直線l與直

15、線x的交點(diǎn)為N，則.因?yàn)镻(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則y1，代入上式得，所求定值為.歸納；圓錐曲線中定值問(wèn)題的特點(diǎn)及兩大解法1特點(diǎn)特征幾何量不受動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線的影響而有固定的值2兩大解法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)(2)引進(jìn)變量法：其解題流程為 考點(diǎn)六：存在性問(wèn)題命題角度1探究是否存在常數(shù)問(wèn)題1(xx四川高考)如圖，橢圓E：1(ab0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解】(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，

16、b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且1，于是解得a2，b.所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2.從而，x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，當(dāng)1時(shí)，23.此時(shí)，3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB即為直線CD.此時(shí)，213.故存在常數(shù)1，使得為定值3.命題角度2探究是否存在點(diǎn)或線問(wèn)題2已知橢圓W：y21，直線l與W相交于M，N兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別交于C，

17、D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若直線l的方程為x2y10，求OCD外接圓的方程；(2)判斷是否存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由【解】(1)因?yàn)橹本€l的方程為x2y10，所以C(1,0)，D，則線段CD的中點(diǎn)，|CD|，則OCD外接圓的圓心為，半徑為|CD|，所以O(shè)CD外接圓的方程為22.(2)存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)理由如下：由題意，設(shè)直線l的方程為ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則C，D(0，m)，由方程組得(12k2)x24kmx2m220，所以16k28m280，(*)由根與系數(shù)的關(guān)系得

18、x1x2，x1x2.由C，D是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得線段MN的中點(diǎn)與線段CD的中點(diǎn)重合所以x1x20，解得k.由C，D是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，得|MN|3|CD|，所以|x1x2|3，又|x1x2|，可解得m，驗(yàn)證知(*)成立所以存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn)，此時(shí)直線l的方程為yx或yx.歸納；解決探究性、存在性問(wèn)題的常用方法1解決是否存在常數(shù)的問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在2解決是否存在點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，可依據(jù)條件，直接探究其結(jié)果；也可以舉特例，然后再證明3解決是否存在直線的問(wèn)題時(shí)，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)

19、立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解。學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對(duì)知識(shí)的掌握情況。 學(xué)生通過(guò)對(duì)高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的逐點(diǎn)掃描，來(lái)澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問(wèn)題，教師及時(shí)點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過(guò)對(duì)考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問(wèn)題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識(shí)別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時(shí)總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對(duì)已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.能根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值等2.能利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問(wèn)題學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測(cè)學(xué)生通過(guò)作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過(guò)思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識(shí)。