2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-10 圓錐曲線的綜合問題《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 高三一輪 第八章 平面解析幾何 8-10 圓錐曲線的綜合問題教案【教學(xué)目標(biāo)】1.能根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值等2.能利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題【重點(diǎn)難點(diǎn)】 1.教學(xué)重點(diǎn)：掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值、定點(diǎn)、定值、存在性問題；2.教學(xué)難點(diǎn)：學(xué)會對知識進(jìn)行整理達(dá)到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學(xué)策略與方法】自主學(xué)習(xí)、小組討論法、師生互動法【教學(xué)過程】教學(xué)流程教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真:1.能根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值等2.能利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題真題再現(xiàn);1.(xx·全國，20)設(shè)圓x2y22x150的圓心為A，直線l過點(diǎn)B(1，0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.(1)證明因為|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2y216，從而|AD|4，所以|EA|EB|4.由題設(shè)得A(1，0)，B(1，0)，|AB|2，由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：1(y0).(2)解當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2).由得(4k23)x28k2x4k2120.則x1x2，x1x2，所以|MN|x1x2|.過點(diǎn)B(1，0)且與l垂直的直線m：y(x1)，A到m的距離為，所以|PQ|24.故四邊形MPNQ的面積S|MN|PQ|12.可得當(dāng)l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍為(12，8).當(dāng)l與x軸垂直時，其方程為x1，|MN|3，|PQ|8，四邊形MPNQ的面積為12.綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為12，8).2.(xx·北京，19)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，OAB的面積為1.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N.求證：|AN|·|BM|為定值.(1)解由已知，ab1.又a2b2c2，解得a2，b1，c.橢圓方程為y21.(2)證明由(1)知，A(2，0)，B(0，1).設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(x0，y0)，則y01.當(dāng)x00時，直線PA方程為y(x2)，令x0得yM.從而|BM|1yM|.直線PB方程為yx1.令y0得xN.|AN|2xN|.|AN|·|BM|··4.當(dāng)x00時，y01，|BM|2，|AN|2，所以|AN|·|BM|4.故|AN|·|BM|為定值.知識梳理：1必會結(jié)論；(1)橢圓上兩點(diǎn)間的最大距離為2a(長軸長)；焦半徑的取值范圍為ac，ac；焦點(diǎn)弦中垂直于長軸的弦最短，長為.(2)雙曲線上不同支的兩點(diǎn)間最小距離為2a(實(shí)軸長)；左支上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最短距離為ca，到右焦點(diǎn)的最短距離為ac；焦點(diǎn)弦中垂直于實(shí)軸的弦最短，長為.(3)拋物線上頂點(diǎn)與拋物線的準(zhǔn)線距離最短，頂點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離最小(4)定點(diǎn)問題；在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線，不論參數(shù)如何變化，其都過某定點(diǎn)，這類問題稱為定點(diǎn)問題(5)定值問題；在解析幾何中，有些幾何量，如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點(diǎn)坐標(biāo)或動線中的參變量無關(guān)，這類問題統(tǒng)稱為定值問題(6)存在性問題；存在性問題是一種具有開放性和發(fā)散性的問題，此類題目的條件和結(jié)論不完備，要求學(xué)生結(jié)合已有的條件進(jìn)行觀察、分析、比較和概括，它對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的能力有較高的要求，尤其對定點(diǎn)、定值、定直線問題的探索是高考的熱點(diǎn)，試題難度較大2必知關(guān)系；(1)直線與圓錐曲線相切，是直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)時斜率取最值的情形(2)圓與圓錐曲線相切，是圓心與圓錐曲線上的點(diǎn)的距離取最值的情形. (3)使用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程時，應(yīng)考慮直線斜率不存在的情形(4)涉及直線與圓錐曲線相交問題時，應(yīng)考慮直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立后得到的一元二次方程二次項系數(shù)不為零及判別式>0兩種情形.考點(diǎn)分項突破考點(diǎn)一：圓錐曲線中的證明問題1.(xx·福建高考)已知橢圓E：1(a>b>0)過點(diǎn)(0，)，且離心率e. (1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)直線l：xmy1(mR)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由【解】法一(1)由已知，得解得所以橢圓E的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為H(x0，y0)由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而y0.所以|GH|22y2y(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2)，故|GH|2my0(1m2)y1y2>0，所以|GH|>.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外法二(1)同法一(2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，從而·y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)>0，所以cos，>0.又，不共線，所以AGB為銳角故點(diǎn)G 在以AB為直徑的圓外歸納；兩類與圓錐曲線有關(guān)的證明問題一類是直接給出證明結(jié)論，其思路為將待證問題轉(zhuǎn)化為與點(diǎn)、線、向量等幾何元素或斜率、長度等與數(shù)量有關(guān)的計算問題求解另一類是先判斷后證明，如本例先判斷直線與圓相切，再證明考點(diǎn)二: 圓錐曲線中的最值問題命題角度1數(shù)形結(jié)合利用幾何性質(zhì)求最值1F是橢圓1的右焦點(diǎn)，P是其上一點(diǎn)，定點(diǎn)B(2，1)，則|PB|PF|的最小值為_【解析】如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1(4,0)，由|PF1|PF|10得|PF|10|PF1|.所以|PB|PF|10|PB|PF1|10(|PF1|PB|)10|F1B|，當(dāng)且僅當(dāng)F1，B，P三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P在點(diǎn)P2位置時取等號又|F1B|.所以|PB|PF|的最小值為10.【答案】10命題角度2建立目標(biāo)函數(shù)求最值2若P，Q分別為拋物線C：x24y與圓M：x2(y3)21上的兩個動點(diǎn)，則|PQ|的最小值為_【解析】先求圓心M(0,3)到點(diǎn)P的距離的最小值，法一(建立目標(biāo)函數(shù))設(shè)P(x，y)，則x24y，|PM|2(當(dāng)y1時等號成立)|PQ|min21.法二(數(shù)形結(jié)合)以點(diǎn)M為圓心作同心圓，當(dāng)圓與拋物線相切時，點(diǎn)M到點(diǎn)P的距離最小，設(shè)為r，則由得y22y9r20.此時(2)24(9r2)0，解得r2.從而|PQ|的最小值為21.【答案】213(xx·四川高考)已知橢圓C：1(ab0)的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x3上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))；當(dāng)最小時，求點(diǎn)T的坐標(biāo)【解】(1)由已知可得解得a26，b22，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1.(2)由(1)可得F點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，m)，則直線TF的斜率kTFm.當(dāng)m0時，直線PQ的斜率kPQ，直線PQ的方程是xmy2.當(dāng)m0時，直線PQ的方程是x2，也符合xmy2的形式設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得消去x，得(m23)y24my20，其判別式16m28(m23)0，所以y1y2，y1y2，x1x2m(y1y2)4.所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為.所以直線OM的斜率kOM.又直線OT的斜率kOT，所以點(diǎn)M在直線OT上，因此OT平分線段PQ.由可得|TF|，|PQ|.所以.當(dāng)且僅當(dāng)m21，即m±1時，等號成立，此時取得最小值所以當(dāng)最小時，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,1)或(3，1)歸納：圓錐曲線中常見最值問題及解題方法1兩類最值問題(1)涉及距離、面積的最值以及與之相關(guān)的一些問題；(2)求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關(guān)的一些問題2兩種常見解法(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立起目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，最值常用基本不等式法、配方法及導(dǎo)數(shù)法求解提醒：求最值問題時，一定要注意對特殊情況的討論如直線斜率不存在的情況，二次三項式最高次項的系數(shù)的討論等考點(diǎn)三: 圓錐曲線中的范圍問題(1)已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，對于左支上任意一點(diǎn)P都有|PF2|28a|PF1|(a為實(shí)半軸長)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2(2)已知圓M：(x)2y2r2(r>0)若橢圓C：1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為圓M的圓心，離心率為.求橢圓C的方程；若存在直線l：ykx，使得直線l與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，與圓M分別交于G，H兩點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AB上，且|AG|BH|，求圓M半徑r的取值范圍【解析】(1)由P是雙曲線左支上任意一點(diǎn)及雙曲線的定義，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e>1，所以1<e3.故選C.【答案】C(2)設(shè)橢圓的焦距為2c，由橢圓的右頂點(diǎn)為圓M的圓心(，0)得a，又，所以c1，b1.所以橢圓C的方程為y21.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(2k21)x220，則x1x20，x1x2，所以|AB|.點(diǎn)M(，0)到直線l的距離d，則|GH|2.顯然，若點(diǎn)H也在線段AB上，則由對稱性可知，直線ykx就是y軸，矛盾，所以要使|AG|BH|，只要|AB|GH|，所以4，r22，當(dāng)k0時，r，當(dāng)k0時，22>2，則0<<.所以2<r2<3，即<r<.綜上知，r<.歸納：解決圓錐曲線中的取值范圍問題的五種常用解法1利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍2利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系3利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍4利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍5利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍考點(diǎn)四：定點(diǎn)問題1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,1)，(0，1)，動點(diǎn)P滿足直線AP與直線BP的斜率之積為，直線AP，BP與直線y2分別交于點(diǎn)M，N.(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；(2)求線段MN的最小值；(3)以線段MN為直徑的圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)？若經(jīng)過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點(diǎn)，請說明理由【解】(1)已知A(0,1)，B(0，1)，設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則直線AP的斜率k1，直線BP的斜率k2(x0)，又k1k2，·，即y21(x0)(2)設(shè)直線AP的方程為y1k1(x0)，直線BP的方程為y1k2(x0)，由得M.由得N.k1k2，|MN|24，當(dāng)且僅當(dāng)4|k1|，即k1±時，等號成立，線段MN長的最小值為4.(3)設(shè)點(diǎn)Q(x，y)是以線段MN為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則·0，即(y2)(y2)0，又k1k2，故以線段MN為直徑的圓的方程為x2x(y2)2120，令x0，得(y2)212，解得y2±2，以線段MN為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)(0，22)或(0，22)歸納；求解定點(diǎn)問題的基本思路1把直線或者曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把常量當(dāng)作未知數(shù)，將方程一端化為零，即化為kf(x，y)g(x，y)0的形式(這里把常量k當(dāng)作未知數(shù))2既然是過定點(diǎn)，那么這個方程就要對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關(guān)于x，y的方程組，即3這個方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)，即滿足的點(diǎn)(x0，y0)為直線或曲線所過的定點(diǎn)考點(diǎn)五：定值問題1.(xx·江西高考)如圖，已知雙曲線C：y21(a>0)的右焦點(diǎn)為F.點(diǎn)A，B分別在C的兩條漸近線上，AFx軸，ABOB，BFOA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)) (1)求雙曲線C的方程；(2)過C上一點(diǎn)P(x0，y0)(y00)的直線l：y0y1與直線AF相交于點(diǎn)M，與直線x相交于點(diǎn)N，證明：當(dāng)點(diǎn)P在C上移動時，恒為定值，并求此定值【解】(1)設(shè)F(c,0)，因為b1，所以c，直線OB方程為y x，直線BF的方程為y(xc)，解得B.又直線OA的方程為yx，則A，kAB.又因為ABOB，所以·1，解得a23，故雙曲線C的方程為y21.(2)證明：由(1)知a，則直線l的方程為y0y1(y00)，即y.因為直線AF的方程為x2，所以直線l與AF的交點(diǎn)M；直線l與直線x的交點(diǎn)為N，則·.因為P(x0，y0)是C上一點(diǎn)，則y1，代入上式得··，所求定值為.歸納；圓錐曲線中定值問題的特點(diǎn)及兩大解法1特點(diǎn)特征幾何量不受動點(diǎn)或動線的影響而有固定的值2兩大解法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)引進(jìn)變量法：其解題流程為 考點(diǎn)六：存在性問題命題角度1探究是否存在常數(shù)問題1(xx·四川高考)如圖，橢圓E：1(a>b>0)的離心率是，點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上，且·1.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P的動直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)是否存在常數(shù)，使得··為定值？若存在，求的值；若不存在，請說明理由【解】(1)由已知，點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(0，b)，(0，b)又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，且·1，于是解得a2，b.所以橢圓E的方程為1.(2)當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為ykx1，A，B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立得(2k21)x24kx20.其判別式(4k)28(2k21)>0，所以x1x2，x1x2.從而，··x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以，當(dāng)1時，23.此時，··3為定值當(dāng)直線AB斜率不存在時，直線AB即為直線CD.此時，····213.故存在常數(shù)1，使得··為定值3.命題角度2探究是否存在點(diǎn)或線問題2已知橢圓W：y21，直線l與W相交于M，N兩點(diǎn)，l與x軸、y軸分別交于C，D兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若直線l的方程為x2y10，求OCD外接圓的方程；(2)判斷是否存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由【解】(1)因為直線l的方程為x2y10，所以C(1,0)，D，則線段CD的中點(diǎn)，|CD|，則OCD外接圓的圓心為，半徑為|CD|，所以O(shè)CD外接圓的方程為22.(2)存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)理由如下：由題意，設(shè)直線l的方程為ykxm(km0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，則C，D(0，m)，由方程組得(12k2)x24kmx2m220，所以16k28m28>0，(*)由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2.由C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，得線段MN的中點(diǎn)與線段CD的中點(diǎn)重合所以x1x20，解得k±.由C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，得|MN|3|CD|，所以|x1x2|3，又|x1x2|，可解得m±，驗證知(*)成立所以存在直線l，使得C，D是線段MN的兩個三等分點(diǎn)，此時直線l的方程為yx±或yx±.歸納；解決探究性、存在性問題的常用方法1解決是否存在常數(shù)的問題時，應(yīng)首先假設(shè)存在，看是否能求出符合條件的參數(shù)值，如果推出矛盾就不存在，否則就存在2解決是否存在點(diǎn)的問題時，可依據(jù)條件，直接探究其結(jié)果；也可以舉特例，然后再證明3解決是否存在直線的問題時，可依據(jù)條件尋找適合條件的直線方程，聯(lián)立方程消元得出一元二次方程，利用判別式得出是否有解。學(xué)生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學(xué)生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生通過對基礎(chǔ)知識的逐點(diǎn)掃描，來澄清概念，加強(qiáng)理解。從而為后面的練習(xí)奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導(dǎo)學(xué)生自主分析和解決問題，教師及時點(diǎn)撥從而提高學(xué)生的解題能力和興趣。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學(xué)生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學(xué)生形成解題模塊，提高模式識別能力和解題效率。教師引導(dǎo)學(xué)生及時總結(jié)，以幫助學(xué)生形成完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)的知識進(jìn)行小結(jié)，由利于學(xué)生對已有的知識結(jié)構(gòu)進(jìn)行編碼處理，加強(qiáng)理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.能根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)的范圍、最值等2.能利用方程思想、數(shù)形結(jié)合思想解決圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、存在性問題學(xué)生回顧，總結(jié).引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行反思，為在今后的學(xué)習(xí)中，進(jìn)行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學(xué)生版練與測學(xué)生通過作業(yè)進(jìn)行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學(xué)的知識。